Книга: Тайны чисел: Математическая одиссея
Назад: Почему Уэйн Руни решает квадратное уравнение всякий раз, когда забивает гол с лета?
Дальше: Почему маятники не столь предсказуемы, как может показаться на первый взгляд?
Почему бумеранг возвращается назад?
С вращающимися предметами происходят странные явления. Когда вы наносите по футбольному мячу нецентральный удар, он, закручиваясь, отклоняется вбок. Когда вы подкидываете теннисную ракетку, она всякий раз приходит во вращение, прежде чем вы ловите ее. Кажется, что закрученный гироскоп бросает вызов гравитации, удерживая горизонтальное положение. Но классическим примером странного поведения вращающихся предметов является возвращение бумеранга.
Динамика вращающихся предметов очень сложна, она сбивала с толку поколения ученых. Но теперь мы понимаем, что возвращение бумеранга назад обусловлено двумя разными факторами. Первый из них связан с подъемной силой крыла самолета, а второй называется гироскопическим эффектом. Математические уравнения позволяют нам объяснить и в конечном счете предсказать, как геометрия крыла генерирует силу, толкающую его вверх, противодействуя силе гравитации, которая тянет самолет вниз. Крыльям самолета придается такая форма, чтобы воздух обтекал их быстрее сверху и медленнее снизу. Воздух сверху сдавливается и быстрее проталкивается по крылу. По такому же принципу вода течет через трубу: в месте сужения трубы вода течет быстрее.
Одно из основных уравнений гидромеханики, уравнение Бернулли, говорит нам, что бо́льшая скорость воздуха над крылом приводит к меньшему давлению, а меньшая скорость воздуха под крылом приводит к большему давлению. Разность давлений под крылом и над ним создает силу, которая поднимает самолет.
Если вы внимательно рассмотрите бумеранг, то увидите, что каждое его плечо по форме напоминает крыло самолета, благодаря этому бумеранг поворачивает в сторону. Для возвращения бумеранга после броска вам нужно запустить его из вертикального положения таким образом (снова представьте самолет), чтобы правое крыло было наверху, а левое крыло внизу. Та же самая сила, которая приподнимает самолет, теперь будет толкать бумеранг влево.
Но у происходящего есть более тонкие моменты. Веди себя бумеранг как самолет, сила, действующая на плечи, просто повернула бы его влево и он бы не вернулся. Бумеранг возвращается назад оттого, что при запуске ему придается вращение, и благодаря гироскопическому эффекту сила, толкающая его влево, постоянно меняет направление. В результате бумеранг описывает дугу окружности.
Когда я бросаю бумеранг, его верхняя часть вращается вперед, а нижняя – назад. Верхняя часть подобна крылу самолета, быстрее движущемуся относительно воздуха, и более высокая скорость должна приводить к большей подъемной силе. Но, действуя на бумеранг, запущенный из вертикального положения, эта сила будет приводить к его крену, и верхняя часть будет наклоняться к горизонтальному положению.
Но здесь на сцену выходит гироскопический эффект. Когда вы ставите вращающийся гироскоп на подставку в вертикальном положении, он ведет себя подобно юле. Но, если вы наклоняете его так, что ось вращения образует некоторый угол с вертикалью, происходит то, что называется прецессией: ось вращения сама начинает вращаться. Именно это происходит с закрученным бумерангом. Его ось вращения – это воображаемая линия, проходящая через центр бумеранга, вращение данной оси приводит к тому, что бумеранг движется по дуге окружности.
Рис. 5.03. Геометрия сил и скоростей бумеранга. Сила F обусловлена подъемной силой, V – скорость, с которой движется центр бумеранга, R – радиус его траектории и W – скорость прецессии
Любой человек, бросавший бумеранг, знает, что не так-то просто заставить его вернуться назад. Вам требуется запустить его таким образом, чтобы скорость V, с которой он вылетает из вашей руки, и угловая скорость S, характеризующая частоту его вращения, были связаны соотношением:
a × S= √(2) V.
Здесь а – радиус бумеранга, расстояние от его кончика до оси симметрии. Закручивая сильнее вашу кисть при броске, вы можете увеличить S и добиться, чтобы соотношение выполнялось.
Рис. 5.04. Верхушка бумеранга A движется быстрее, чем его низ B, благодаря вращению
Угол наклона бумеранга зависит от разности скоростей вверху и внизу бумеранга. Верхушка движется со скоростью V + aS, в то время как низ перемещается медленнее, со скоростью V – aS, где угловая скорость S определяет частоту вращения бумеранга вокруг центра (см. рис. 5.04). Поэтому вы можете варьировать наклон бумеранга, изменяя скорости V и S, результатом чего будет изменение скорости прецессии бумеранга при его движении с линейной скоростью V. Если ваш бумеранг не хочет возвращаться назад, вам необходимо освоить кистевое движение, придающее ему правильную угловую скорость S по отношению к линейной скорости V. Соотношение выше поможет вам отладить бросок.
После того как вы освоили искусство броска с возвращением бумеранга, можно поставить вопрос, будет ли он двигаться по дуге большего радиуса, если запускать его с большей скоростью? Математические преобразования позволяют вывести уравнение, задающее радиус траектории бумеранга. И опять уравнение напоминает рецепт, в котором берутся различные ингредиенты, определяющие бумеранг и условия его полета. Эти ингредиенты смешиваются, и на выходе получается радиус. Вот список ингредиентов:
J, момент инерции бумеранга. Он характеризует то, насколько трудно закрутить бумеранг; чем тяжелее бумеранг, тем больше J. Момент инерции также зависит от формы бумеранга;ρ, плотность воздуха, в котором летит бумеранг;CL, коэффициент подъемной силы, – число, определяющее подъемную силу, действующую на бумеранг. Зависит от его формы;π, число 3,14159…;а, радиус бумеранга.
Радиус траектории бумеранга R определяется перемешиванием данных ингредиентов по следующему рецепту:
Из этого уравнения мы видим, что радиус траектории бумеранга не изменится, если мы будем бросать его сильнее, потому что скорость не входит в число ингредиентов приведенного рецепта. Но что произойдет, если мы сделаем бумеранг тяжелее, прилепив какое-то количество клейкой массы к концам его плеч-крыльев? Уравнение позволяет нам предсказать, что утяжеление массы увеличит момент инерции J, что, в свою очередь, приведет к возрастанию радиуса R. Итак, более тяжелый бумеранг будет лететь по окружности большего радиуса. Это полезно знать при запуске бумерангов в ограниченном пространстве!
С веб-сайта «Тайн 4исел» вы можете загрузить PDF-файл с инструкциями по изготовлению бумеранга.
Как заставить яйцо бросить вызов гравитации?
Возьмите яйцо, сваренное вкрутую. Положите его на стол и приведите во вращение. Яйцо примет вертикальное положение, словно бросая вызов законам гравитации. Не менее удивительно и то, что этот фокус не удастся с сырым яйцом.Лишь в 2002 г. математики нашли объяснение этого поведения. Энергия вращательного движения преобразуется под действием силы трения поверхности стола в потенциальную энергию, и центр тяжести яйца приподнимается. Если у стола слишком малое либо слишком большое трение, то такого не произойдет. У сырого яйца часть вращательной энергии поглощается жидким содержимым, и остается недостаточно энергии для приподнимания центра тяжести.
Назад: Почему Уэйн Руни решает квадратное уравнение всякий раз, когда забивает гол с лета?
Дальше: Почему маятники не столь предсказуемы, как может показаться на первый взгляд?
