Плавательный комплекс, построенный к пекинской Олимпиаде, – необычайно красивое сооружение, в особенности когда включается ночная подсветка и он кажется прозрачной коробкой, наполненной пузырями. Проектировавшая его компания Arup стремилась к тому, чтобы совместить дух водных состязаний, проводимых внутри, с естественным и органичным внешним видом комплекса.

В компании начали с того, что принялись изучать формы, которыми можно замостить плоскость, наподобие квадратов, равносторонних треугольников и правильных шестиугольников. Но разработчики решили, что они слишком регулярны и не позволяют создать желаемый органичный вид. Тогда проектировщики решили изучить другие возможности, которые использует природа для упаковки многих предметов, например кристаллы и клеточные структуры в тканях растений. Во всех этих структурах встречаются примеры тех форм, которые, согласно открытию Архимеда, позволяют сделать хорошие футбольные мячи. Но команду Arup в особенности привлекло то, как множество пузырей группируется вместе и создает пену.

Поскольку лишь в 1884 г. было доказано, что сфера – самая эффективная форма для единичного пузыря, становится неудивительно, что слипание множества пузырей для образования пены поставило перед математиками нелегкие вопросы, которые мучают их по сегодняшний день. Если у вас два пузыря, содержащие одинаковый объем воздуха, какую форму они примут при объединении? Неизменное правило состоит в том, что пузыри ленивы и предпочитают формы с наименьшей площадью поверхности мыльной пленки. Поскольку у объединившихся пузырей есть общая граница, они могут трансформироваться так, чтобы не просто касаться в точке, а сделать меньше площадь поверхности.

Если вы выдуваете пузыри и два пузыря одинакового объема слипаются, их комбинация выглядит так (рис. 2.09):

Две неполные сферы пересекаются под углом 120°, кроме того, их разделяет плоская мембрана. Разумеется, это состояние стабильно, в противном случае природа не позволила бы сохранять его. Но вопрос в том, возможна ли другая форма, у которой еще меньше площадь поверхности и, соответственно, энергия, что сделало бы ее более эффективной? Вероятно, потребуется потратить энергию, чтобы вывести пузыри из данного стабильного состояния, но энергия нового результирующего состояния двух пузырей может быть еще ниже. Например, вдруг более эффективна причудливая конфигурация двух слипшихся пузырей, когда один из них принимает форму бублика и обертывается вокруг другого, поджимая тот до формы арахиса (рис. 2.10)?

О первом доказательстве того, что невозможно улучшить обычную конфигурацию слипшихся пузырей, было объявлено в 1995 г. Хотя математики не особенно любят прибегать к помощи компьютера, поскольку это вступает в противоречие с их понятиями красоты и элегантности, авторам пришлось воспользоваться им, чтобы проверить свои длинные численные расчеты, вовлеченные в доказательство.

Пять лет спустя было заявлено о доказательстве предположения о двойном пузыре, которое использовало лишь ручку и бумагу. В действительности было доказано более общее предположение: если объем заключенного воздуха неодинаков, то есть один пузырь меньше другого, то они слипаются таким образом, что разделяющая их мембрана уже не плоская, а выгибается в сторону большего пузыря. Эта мембрана является частью третьей сферы, она пересекается с двумя сферическими пузырями таким образом, что получающиеся углы между тремя мыльными пленками равны 120° (рис. 2.11 и 2.12).

По сути, это свойство 120° оказывается общим правилом для слипания мыльных пузырей. Впервые оно было открыто бельгийским ученым Жозефом Плато, родившимся в 1801 г. Когда Плато желал изучить влияние света на сетчатку, он полминуты смотрел на полуденный солнечный диск, из-за чего временно ослеп. К 40 годам он окончательно потерял зрение. Затем, опираясь на помощь родственников и коллег, он переключился на исследование формы пузырей.

Плато начал с того, что погружал в мыльный раствор разнообразные проволочные каркасы и исследовал получающиеся формы. Например, если ваш каркас сделан в форме куба, результатом будет 13 мембран внутри его, причем в центре образуется квадрат (рис. 2.13).

Правда, это не совсем квадрат, его стороны несколько выпирают наружу. По мере того как Плато исследовал множество пленок, получающихся в разных каркасах, он начал формулировать набор правил для объединения пузырей. Первое из них состояло в том, что пленки всегда пересекаются тройками, образуя между собой углы в 120°. Край, образующийся при пересечении этих трех пленок, называется в его честь границей Плато. Второе правило касается пересечения этих границ. Границы Плато пересекаются четверками, образуя между собой угол в 109,47° (если точнее, arccos(−⅓)). Если вы возьмете тетраэдр и проведете из его центра масс линии к четырем вершинам, то получите конфигурацию четверки границ Плато в пене (рис. 2.14). Итак, выпирающие наружу стороны квадрата, находящегося в центре кубического проволочного каркаса, в действительности пересекаются под углом 109,47°.

Полагается, что если какой-либо пузырь не подчиняется правилам Плато, то он нестабилен, следовательно, должна произойти перестройка конфигурации в стабильную, подчиняющуюся этим правилам. Лишь в 1976 г. Джин Тейлор окончательно доказала, что форма пузырьков в пене должна подчиняться правилам, установленным Плато. Ее работа говорит нам о том, как пузыри объединяются, но какова же фактическая форма пузырей в пене? Поскольку пузыри ленивы, появляется возможность ответить на этот вопрос, если найти формы пузырей в пене, каждая из которых охватывает заданный объем воздуха и при этом минимизирует площадь мыльной пленки.

Медоносные пчелы уже решили эту задачу в двух измерениях. Причина, по которой они сооружают соты, используя шестиугольники, состоит в том, что при этом требуется наименьшее количество воска при фиксированном количестве меда в каждой ячейке. Но опять-таки лишь благодаря недавнему прорыву удалось доказать теорему о медовых сотах: никакая другая двумерная структура не превзойдет шестиугольные соты по эффективности.

Тем не менее, когда мы переходим к трехмерным структурам, положение вещей становится менее очевидным. В 1887 г. знаменитый британский физик лорд Кельвин предположил, что один из Архимедовых футбольных мячей играет ключевую роль в минимизации площади поверхности в пене. В то время как шестиугольник является строительным кирпичиком при сооружении эффективных пчелиных сот, усеченный октаэдр определяет построение пены. Усеченный октаэдр получается срезанием шести углов обычного октаэдра:

Правила, которые установил Плато для пересечения пузырей, показывают, что грани и ребра должны быть не плоскими, а изогнутыми. Например, стороны квадрата образуют угол 90°, но по второму правилу Плато это недопустимо. Вместо этого края квадрата должны немного выгибаться наружу, как в случае кубического проволочного каркаса, тогда между ними образуется необходимый угол 109,47°.

Рис. 2.16. Пена из усеченных октаэдров

Многие считали, что структура Кельвина является ответом на вопрос, как получить пену с минимальной поверхностной энергией, но никто не мог доказать этого. Но в 1993 г. Денис Уэйр и Роберт Фелан из Дублинского университета обнаружили две формы, которые при совместной упаковке превосходят структуру Кельвина на 0,3 % (пусть это послужит предупреждением тем, кто полагает, что доказательство в математике – напрасная трата времени).

Использованные ими формы не были в списке Архимеда. Гранями первой из них являются неправильные пятиугольники, они объединены в искаженный додекаэдр (пентагондодекаэдр). Вторая форма называется тетракаидекаэдр, ее грани – два удлиненных шестиугольника и 12 неправильных пятиугольников двух видов. Уэйр и Фелан выяснили, что они могут упаковать эти формы вместе, так что получится более эффективная пена, чем предложенная Кельвином. Опять-таки, чтобы удовлетворить правилам Плато, нужно немного искривить ребра и грани. Оказывается, довольно трудно проникнуть внутрь настоящей пены, чтобы посмотреть, что происходит на самом деле. Двое ученых проводили численные эксперименты, использовали компьютеры для моделирования пены и обнаружили новую структуру.

Рис. 2.17. Формы, которые нашли Уэйр и Фелан

Это – лучшее, на что способны пузыри? Мы не знаем. Мы считаем, что данная структура наиболее эффективна. Но ведь и Кельвин полагал, что нашел ответ.

Дизайнеры Arup в своем поиске интересных природных форм, напоминающих о состязаниях, проходящих в олимпийском плавательном комплексе, изучали туман, айсберги и волны. Они случайно натолкнулись на пену Уэйра – Фелана и поняли, что у нее был потенциал к созданию совершенно новых архитектурных форм. Чтобы избежать чрезмерной регулярности, решили разрезать пену под углом. Внешние стены «Водяного куба», как неформально называется плавательный центр, представляют ту структуру пузырей, которую вы увидите, если вставите лист стекла в пену под углом.

Хотя структура, созданная Arup, кажется вполне случайной, она начинает повторяться на протяжении здания. Тем не менее она вызывает именно то органичное ощущение, к которому стремились дизайнеры. Однако если вы получше приглядитесь, то заметите пузырь, который противоречит правилам Плато, ведь в его очертаниях заметны прямые углы вместо предписанных Плато 120° и 109,47°. Так стабилен ли «Водяной куб»? Будь он сделан из пузырей, ответом было бы «нет». Данный прямоугольный пузырь изменил бы свою форму, чтобы прийти в соответствие тем математическим правилам, которым должны подчиняться все пузыри. И все-таки у китайских властей нет повода для беспокойства. Насколько можно ожидать, «Водяной куб» будет стоять благодаря математике, которая была задействована при создании этого прекрасного сооружения.

Рис. 2.18. На поверхности олимпийского плавательного центра в Пекине есть нестабильный пузырь

Но не только Arup и китайские власти интересуются формой, которую приобретают пузыри, когда их прижимают друг к другу. Понимание строения пены помогает нам разобраться во многих других природных структурах, например в структуре органических клеток в шоколаде, взбитых сливках или в шапке над пинтой пива. Пена используется при тушении пожаров, в защите водных ресурсов от радиоактивных утечек и при переработке минералов. Интересуетесь ли вы борьбой с пожарами или тем, как добиться, чтобы пенная шапка над вашим «Гиннессом» не оседала слишком быстро, ключ к ответу определяется пониманием математической структуры пены.