Интерлюдия:
Арифметика Ничто

В математике у ничто есть имя – нуль. Понятие нуля изобрели индийские математики, грекам и римлянам оно и в голову не могло прийти: как ничто может быть чем-то? В античной математике не было цифры ноль, без которой невозможно пользоваться преимуществами позиционной системы счисления (в которой, например, «307» означает 3 сотни, 0 десятков и 7 единиц); именно поэтому умножение в римской системе счисления ужасно неудобно.

С идеей пустоты индийских математиков познакомила буддийская философия, поэтому они с легкостью оперировали абстрактным символом, означавшим ничто. В средние века арабские ученые перенесли эту систему записи чисел на запад, в Европу, поэтому эти цифры стали называть «арабскими». Индийское слово «sunya» («ноль») в арабском превратилось в «sifr» и перешло в русский в виде «цифра» и «шифр».

Хотя европейские математики с восторгом встретили ноль как способ записи числа, к стоявшей за ним идее они поначалу отнеслись настороженно: ноль считался всего лишь обозначением, а не настоящим числом. Впрочем, вскоре он стал обретать более значимое содержание, чему, как ни странно, способствовало развитие торговли. Когда в 40-е годы XIV века в Италии изобрели бухгалтерский учет методом двойной записи, ноль стал служить естественным разделителем между кредитами и дебитами.

Неважно, открыт был ноль или придуман, он был числом, и не считаться с ним невозможно. Философские сомнения в его сущности отступили перед виртуозными вычислениями таких математиков, как Фибоначчи и Ферма. Когда дело доходит до решения уравнений, ноль – просто подарок для алгебраистов: если уравнение можно привести к виду ab=0, то либо a=0, либо b=0.

Что касается происхождения самого символа «0», то историкам античности так и не удалось его обнаружить. Согласно одной теории (ныне развенчанной), он произошел от первой буквы греческого слова «ouden» («ничто»). Согласно другой, довольно причудливой теории, 0 произошел от округлого отпечатка, оставленного монетой на песке, – материальный след нематериального.

Пусть 0 означает Ничто, а 1 – Нечто. Тогда мы можем задать игрушечный вариант загадки существования: как нам из 0 получить 1?

В высшей математике есть простой способ показать, что переход от 0 к 1 невозможен. Математики называют число «регулярным», если его нельзя получить из чисел, предшествующих ему. Точнее, число n является регулярным, если его нельзя получить сложением менее чем n чисел, меньших, чем n.

Легко показать, что 1 является регулярным числом: единицу нельзя получить сложением предшествующих ей чисел, потому что единственное, что можно сложить, это ноль, а сумма нулей равна нулю в любом случае. Поэтому нельзя получить Нечто из Ничто.

Забавно, но не только единицу нельзя получить таким способом. Оказывается, число два тоже регулярное, поскольку его нельзя получить сложением менее чем двух чисел, меньших двух (сами попробуйте – и убедитесь). Поэтому нельзя получить Множество из Единства.

Все остальные конечные числа не обладают этим любопытным свойством регулярности, то есть их можно получить из предшествующих им чисел. Например, число три получается сложением двух чисел, 1 и 2, каждое из которых меньше, чем три. А вот первое бесконечное число, обозначаемое греческой буквой «омега», оказывается регулярным: его нельзя получить сложением конечного числа конечных чисел. Поэтому нельзя получить Бесконечность из Конечности.

Вернемся теперь к 0 и 1. Можно ли как-то перескочить через пропасть между ними – через арифметическую пропасть между Ничто и Нечто? Для этого понадобился гений самого Лейбница, который был не только выдающимся философом, но и великим математиком, придумавшим математический анализ примерно в одно время с Ньютоном. (Эти двое ожесточенно спорили о том, кто был на самом деле первым, но одно ясно наверняка: система записи Лейбница гораздо удобнее!). Помимо всего прочего, математический анализ имеет дело с бесконечными рядами, например, с таким:

С потрясающей невозмутимостью Лейбниц подставил в этот ряд —1 и получил:

Если расставить скобки соответствующим образом, то мы придем к интересному равенству:

или

Лейбниц был ошеломлен: перед ним математическая аналогия тайны творения! Похоже, это уравнение доказывает, что Нечто в самом деле можно создать из Ничто!

Увы, он обманулся. Вскоре математики осознали, что подобные ряды имеют смысл, только если они сходятся, т. е. в конце концов бесконечная сумма имеет предел, определенное число. Знакочередующийся ряд Лейбница предела не имеет, так как его частичные суммы все время прыгают от 0 к 1 и обратно. Таким образом, «доказательство» Лейбница неверно; и как математик он наверняка подозревал это, хотя как метафизик поначалу возликовал.

А не удастся ли нам спасти хоть что-нибудь из обломков этой гипотезы? Давайте рассмотрим простое равенство:

Что оно может обозначать? Разумеется, оно обозначает, что при сложении 1 и -1 получается 0. И вот это уже интересно! Представьте себе обратный процесс: не сложение 1 и -1, чтобы получить 0, а разделение 0 на 1 и -1. Если сначала у нас не было ничего, то теперь вдруг появились два нечто! Очевидно, противоположных друг другу – как положительная и отрицательная энергия, материя и антиматерия, инь и ян³⁹.

Еще более интересная идея, за которую ухватился оксфордский химик (и страстный атеист) Питер Эткинс, состоит в том, что —1 есть то же самое, что 1, только движущаяся из будущего в прошлое. По словам Эткинса, «противоположности различаются направлением движения во времени». При отсутствии времени -1 и 1 взаимоуничтожаются, объединяясь в ноль. Время позволяет двум противоположностям отделиться друг от друга, что таким образом и отмечает появление времени. Эткинс предполагает, что именно так спонтанно зародилась Вселенная. (Джон Апдайк был настолько поражен этой идеей, что использовал ее в романе «Россказни Роджера» в качестве альтернативы теистическому объяснению бытия.)

И все это из 0=1–1! В этом уравнении гораздо больше онтологического смысла, чем кажется.

Математика может перекинуть мостик от Ничто к Нечто не только с помощью простой арифметики, но и через теорию множеств. На довольно раннем этапе обучения, часто еще в средней школе, дети знакомятся с интересным понятием под названием «пустое множество». Пустое множество не содержит ни одного элемента: например, множество президентов США женского пола, предшествовавших Бараку Обаме. Пустое множество принято обозначать {}, т. е. пустыми фигурными скобками, или символом 0. Иногда дети встречают понятие пустого множества в штыки: как может быть множеством то, что ничего не содержит? И не только дети реагируют подобным образом: один из величайших математиков XIX века Рихард Дедекинд отказался признавать пустое множество чем-либо, кроме удобной выдумки. Эрнст Цермело, создатель теории множеств, называл пустое множество «неприличным».

Позднее великий американский философ Дэвид Льюис насмехался над пустым множеством, называя его «песчинка в абсолютной пустоте, вроде черной дыры в самой ткани реальности… особая индивидуальность, попахивающая ничем»⁴⁰.

Существует ли пустое множество? Может ли существовать нечто, что заключается в – и чьей единственной определяющей чертой является – Ничто? Ни сторонники, ни противники не сумели привести весомых аргументов за или против пустого множества. В математике оно просто принимается как данность: его существование может быть доказано на основе аксиом теории множеств, если предположить, что во Вселенной существует хотя бы еще одно множество, помимо пустого.

Давайте проявим метафизическое свободомыслие и скажем, что пустое множество в самом деле существует. Даже если нет ничего, то должно быть пустое множество, его содержащее. В результате такого допущения разворачивается целая онтологическая оргия: если существует пустое множество Ø, то существует и множество {Ø}, содержащее его; тогда существует и множество, содержащее как Ø, так и {Ø}: {Ø, {Ø}}; а также множество, содержащее это новое множество плюс Ø и {Ø}: {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}, и так далее.

Из абсолютной пустоты вдруг возникает невероятное количество сущностей! Эти сущности не состоят из чего-то, а представляют собой чисто абстрактные структуры и могут имитировать структуру чисел: в предыдущем параграфе мы «создали» цифры 1, 2 и 3 из пустого множества. А числа, благодаря своим широким взаимосвязям, могут имитировать всю Вселенную. По крайней мере, они способны на это, если Вселенная состоит из математически структурированной информации, как полагают некоторые мыслители, например Джон Арчибальд Уилер. Взгляды Уилера отражает лозунг «всё из бита» («it from bit»). Вся феерия реальности может быть создана из пустого множества – из Ничто.

Однако для этого, разумеется, необходимо существование самого Ничто.