Приложение 8. Аксиомы арифметики
Величественное здание арифметики опирается на следующие аксиомы.
1. Для любых чисел m и n
m + n = n + m и mn = nm.
2. Для любых чисел m, n и k
(m + n) + k = m + (n + k) и (mn)k = m(nk).
3. Для любых чисел m, n и k
m(n + k) = mn + mk.
4. Существует число 0, такое, что для любого числа n
n + 0 = n.
5. Существует число 1, такое, что для любого числа n
n·1 = n.
6. Для любого числа n существует другое число k, такое, что
n + k = 0.
7. Для любых чисел m, n и k
если k ≠ 0 и kn = km, то m = n.
Исходя из этих аксиом, можно доказать другие правила арифметики. Например, используя только приведенные выше аксиомы и не прибегая ни к каким другим допущениям, мы можем строго доказать правило, которое кажется очевидным и заключается в следующем:
если m + k = n + k, то m = n.
Прежде всего, пусть
m + k = n + k.
Аксиома 6 гарантирует, что существует число l, такое, что k+l=0, поэтому
(m + k) + l = (n + k) + l.
Но по аксиоме 2
m + (k + l) = n + (k + l).
Принимая во внимание, что k+l=0, получаем:
m + 0 = n + 0.
Аксиома 4 позволяет нам утверждать то, что требовалось доказать, а именно:
m = n.
