Мелкий ремонт ковров
Когда Катц осознал всю важность обнаруженной им ошибки, он стал размышлять о том, почему ошибка была пропущена им весной, когда Уайлс читал ему лекции с единственной целью — выявить возможные ошибки. «Я полагаю, ответ заключается в следующем. Когда вы слушаете чью-нибудь лекцию, перед вами возникает довольно трудный выбор: понять все до мельчайших деталей или предоставить лектору излагать материал так, как было им задумано. Если вы станете перебивать лектора на каждом слове (я не понял это, не понял то), то ему никогда не удастся объяснить все, что он хотел, и вы ничего не достигнете. С другой стороны, если вы не будете прерывать лектора, то вы скоро не сможете следить за ходом рассуждений и будете лишь кивать головой из вежливости, но совершенно утратите понимание деталей. Каждый, кто слушает лекцию, стоит перед выбором — задавать ли слишком много вопросов или слишком мало вопросов. По-видимому, к концу лекций, в том месте, где проскользнула обнаруженная впоследствии ошибка, я предпочел задавать слишком мало вопросов».
Всего лишь несколькими неделями раньше газеты всего земного шара называли Уайлса самым блестящим математиком на Земле, и специалисты по теории чисел после 350 лет разочарования уверовали в то, что им удалось, наконец, одержать верх над Пьером де Ферма. Теперь же Уайлс должен был сделать унизительное признание в том, что в своем доказательстве он допустил ошибку. Но прежде, чем признавать ошибку, Уайлс решил собраться с духом и попытаться восполнить пробел. «Я не мог так просто сдаться. Проблема захватила все мои помыслы, и я все еще верил, что стоит лишь еще немного поразмыслить над методом Колывагина-Флаха, как все получится. Нужно лишь немного модифицировать метод, и он великолепно заработает. Я решил вернуться к своему старому образу жизни и полностью отказаться от контактов с внешним миром. Мне было необходимо всецело сосредоточиться на проблеме, но на этот раз при гораздо более трудных обстоятельствах. Долгое время я полагал, что спасительная идея где-то рядом, что мне не достает чего-то простого и что не сегодня-завтра все встанет на свое место. Разумеется, так вполне могло случиться, но по мере того, как шло время, я видел, что проблема становится все более сложной».
Жена Уайлса, наблюдавшая за его напряженной работой все семь лет, которые ушли на первоначальный вариант доказательства, теперь стала свидетельницей того, как ее муж из последних сил пытается бороться с ошибкой, которая грозит разрушить все. Уайлс вспоминает ее оптимизм: «В сентябре Нада сказала мне, что единственный подарок, который она хотела бы получить на день рождения — это правильное доказательство. Ее день рождения — шестое октября. У меня оставались две недели, но исправить ошибку я так и не сумел».
Для Ника Катца это также был напряженный период: «К октябрю об ошибке знали только я сам, Иллюзи, рецензенты остальных глав и Эндрю. Этим круг осведомленных исчерпывался. Я придерживался того мнения, что рецензент должен хранить тайну. По моему глубокому убеждению, мне не следовало обсуждать возникшую проблему с кем-нибудь помимо Эндрю, и о том, что мне было известно, я не проронил ни слова. Думаю, что внешне Эндрю выглядел нормально, но в том, что касалось представленного им доказательства, он хранил от всего мира тайну. Я полагаю, что он чувствовал себя весьма неуютно. Эндрю все надеялся, что через день-другой ему удастся преодолеть обнаруженный пробел, но время шло, а исправленный вариант рукописи в редакцию все не поступал. Пошли слухи, что с доказательством Уайлса возникла какая-то проблема».
Другой рецензент, Кен Рибет, вспоминает, что хранить тайну становилось все труднее: «По какой-то чисто случайной причине меня стали называть "службой информации по теореме Ферма". В "New York Times" появилась статья, в которой среди прочего говорилось: "Рибет, который выступает в роли пресс-атташе при Эндрю Уайлсе…" — или что-то в этом роде. После этой публикации я стал магнитом для всех, кто так или иначе интересуется Великой теоремой Ферма как изнутри, так и извне математического сообщества. Журналисты со всех концов света обрывали мои телефоны, и за два-три месяца мне пришлось неоднократно выступать с лекциями о доказательстве Великой теоремы Ферма. В своих лекциях я подчеркивал, каким великим достижением было представленное Уайлсом доказательство, излагал общий ход доказательства, рассказывал более подробно те его части, которые знал лучше всего, но слушатели довольно скоро начинали терять терпение и начинали задавать неприятные вопросы…
Уайлс заявил во всеуслышание о том, что ему удалось доказать Великую теорему Ферма, но никто, кроме узкой группы рецензентов, не видел рукописи с изложением доказательства. Математики были исполнены ожидания: Эндрю обещал представить рукопись через несколько недель после своего выступления в июне. Люди говорили: "Ну хорошо, о доказательстве теоремы заявлено. Но как ему удалось ее доказать? Почему нам ничего не сообщают?" Математики испытывали легкое беспокойство по поводу того, что их держали в неведении, и они просто хотели знать, в чем дело. Затем ситуация ухудшилась: над доказательством стали сгущаться тучи, и коллеги приходили и делились со мной слухами о том, что в главе 3 обнаружен пробел. Им хотелось знать, что мне известно по этому поводу, а я не знал, что им сказать».
Поскольку Уайлс и рецензенты отрицали, что им что-либо известно о пробеле в доказательстве, или вовсе отказывались от комментариев на эту тему, стали множиться самые дикие слухи. Математики обменивались по электронной почте самыми невероятными догадками в надежде докопаться до сути дела.
Дата: 18 нояб 1993 21:04:49
Тема: Пробел в доказательстве Уайлса
Циркулирует множество слухов об одном или нескольких пробелах в доказательстве Уайлса. Но что означает пробел — небольшую трещину, расщелину, расселину, ущелье или бездну? Располагает ли кто-нибудь надежной информацией?
Джозеф Липман
Университет Пурду
В чайной комнате любого математического факультета слухи вокруг доказательства Уайлса росли с каждым днем. Некоторые математики пытались успокоить математическое сообщество:
Дата: 19 нояб 1993 15:42:20
Тема: Ответ на вопрос: пробел в доказательстве Уайлса?
Не располагаю никакой информацией из первых рук и не беру на себя смелость обсуждать информацию, полученную из вторых рук. Полагаю, что в подобной ситуации лучше всего сохранять спокойствие и предоставить компетентным рецензентам, которые тщательно изучают доказательство Уайлса, выполнять свой долг. О том, что им удастся обнаружить, рецензенты сообщат, когда у них будет, что сообщить. Всякий, кому приходилось писать или рецензировать статью, знает, как часто в процессе проверки доказательств возникают различные вопросы. Было бы удивительно, если бы они не возникли в связи со столь важным результатом и таким длинным доказательством.
Леонард Эванс
Северо-Западный университет
Несмотря на призывы к спокойствию, дебаты по электронной почте становились все напряженнее.
Дата: 24 нояб 93 12:00:34
Тема: Новые слухи о теореме Ферма
Я не согласен с теми, кто утверждает, будто мы не должны распускать слухи по поводу того, есть ли пробел в предложенном Уайлсом доказательстве великой теоремы Ферма. Я благосклонно отношусь к подобным слухам, если их не принимать чересчур серьезно, и не вижу в этом ничего плохого. В частности, независимо от того, есть ли ошибка в доказательстве Уайлса или нет, я считаю, что он создал великолепную математику высочайшего класса.
А вот что мне известно на сегодня из n-ых рук…
Боб Сильверман
Дата: 22 нояб 93 20:16
Тема: Пробел в доказательстве теоремы Ферма
Выступая на прошлой неделе с лекцией в Институте Ньютона, Коутс заявил, что, по его мнению, в «геометрических системах Эйлера», составляющих важную часть доказательства, имеется пробел, на ликвидацию которого «может потребоваться от недели до двух лет». Я разговаривал с Уайлсом несколько раз, но все еще не уверен в том, что ему удалось доказать великую теорему Ферма: у Уайлса нет ни одного экземпляра рукописи.
Насколько мне известно, единственный экземпляр доказательства в Кембридже имеется только у Ричарда Тейлора — одного из рецензентов журнала «Inventiones», и он упорно отказывается комментировать доказательство до тех пор, пока все рецензенты не придут к единому заключению. Поэтому ситуация не проясняется. Сам я не знаю, насколько авторитетным можно считать мнение Коутса на этой стадии. Я намереваюсь ждать известий от Ричарда Тейлора.
Ричард Пинч
Ажиотаж вокруг неуловимого доказательства усиливался, но Уайлс упорно держался в стороне от дебатов и игнорировал всякие измышления. «Я был очень далек от всего этого, поскольку не желал знать, что говорят обо мне. Я вел уединенный образ жизни, но периодически встречался с моим коллегой Питером Сарнаком, который сообщал мне: "Знаете, там разыгралась настоящая буря!" Я выслушивал его, но не предпринимал ни малейших попыток внести ясность, так как полностью сосредоточился на проблеме».
Питер Сарнак стал сотрудником математического факультета Принстонского университета в то же время, что и Уайлс, и за прошедшие годы они успели стать близкими друзьями. В период кипения страстей, последовавший за лекциями Уайлса в Институте Ньютона, Сарнак был одним из тех немногих, с кем Уайлс поддерживал доверительные отношения. «Я не знал подробностей, но понимал, что Уайлс пытается восполнить серьезный пробел. Всякий раз, когда ему удавалось исправить какую-то часть своих вычислений, какая-нибудь другая трудность возникала в другой части доказательства. Дело обстояло так, будто Уайлс пытается расстелить в комнате ковер, который больше комнаты: стоило Эндрю добиться, чтобы расстелить ковер ровно в одном углу, как в другом углу тотчас же возникали складки. Но расстелить ковер так, чтобы он лег без складок по всей комнате, Уайлсу никак не удавалось. Не следует забывать, что Эндрю сделал гигантский шаг вперед. Никому до него не удавалось предложить никакого подхода к доказательству гипотезы Таниямы-Шимуры, а Уайлс продемонстрировал нам так много свежих идей, что все пришли в неописуемый восторг. Еще бы! Его идеи были новы, фундаментальны, и никто ранее не высказывал ничего подобного. И если пробел в его доказательстве не удалось бы восполнить, то и тогда огромный прогресс был бы налицо — но, разумеется, Великая теорема Ферма осталась бы нерешенной».
В конце концов Уайлс почувствовал, что не может молчать вечно. Исправление ошибки оказалось далеко не простым делом, и настало время положить конец домыслам. И после гнетущих неудач, преследовавших его всю осень, Уайлс направил по электронной почте в редакцию математического бюллетеня следующее сообщение:
Дата: 4 дек 93 01:36:50
Тема: В каком состоянии доказательство Великой теоремы Ферма
Имея в виду различные домыслы по поводу моей работы над гипотезой Таниямы-Шимуры и Великой теоремой Ферма, сообщаю кратко о той ситуации, которая сложилась на самом деле. В ходе рецензирования моей работы возник ряд проблем, большинство из которых были успешно решены, но одну проблему мне так и не удалось решить. Игравшая ключевую роль редукция (большинства случаев) гипотезы Таниямы-Шимуры к вычислению группы Сельмера правильна. Однако заключительные вычисления точной верхней грани для группы Сельмера в полуустойчивом случае (симметричного квадратичного представления, ассоциированного с модулярной формой) в том виде, в котором они существуют на данный момент, неполны. Я уверен, что мне удастся в ближайшее время восполнить пробел, используя те идеи, которые были изложены в моих кембриджских докладах.
Большой объем работы, который еще предстоит проделать над рукописью, не позволяют мне издать ее в виде препринта. Полностью доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры будет изложено в моих лекциях, которые я собираюсь прочитать в Принстоне в феврале.
Эндрю Уайлс
Оптимизм Уайлса убедил немногих. Прошло почти шесть месяцев, а ошибка так и не была исправлена, и не было никаких причин ожидать каких-либо изменений в ближайшие шесть месяцев. Во всяком случае, если бы Уайлс действительно рассчитывал «в ближайшее время восполнить пробел», то зачем ему было беспокоиться и отправлять сообщение по электронной почте? Продолжал бы себе хранить молчание еще несколько недель, а потом взял бы и выпустил законченную рукопись. Февральский курс лекций, о котором Уайлс упомянул в своем сообщении, разосланном по электронной почте, не содержал обещанной детали, и математическое сообщество заподозрило, что Уайлс просто пытается выиграть время.
О происходящем пронюхали газеты и напомнили математикам о провалившейся сенсации 1986 года с доказательством Великой теоремы Ферма Мияокой. История повторялась. Специалисты по теории чисел теперь ожидали очередного послания по электронной почте с сообщением о том, что в доказательстве обнаружен невосполнимый пробел. Некоторые математики выразили сомнение в том, что доказательство будет получено за лето, и теперь их пессимизм казался вполне оправданным. Рассказывают, будто профессор Алан Бейкер из Кембриджского университета предложил заключить пари на сто бутылок против одной, что в течение года доказательство Уайлса не будет исправлено. Бейкер отрицает эту историю, но гордо заявляет о том, что выражал «здоровый скептицизм».
Менее чем через шесть месяцев после выступления в Институте Ньютона доказательство Уайлса было повержено в прах. Удовольствие, которое Уайлс получал от работы над доказательством в тайне от всех, когда им двигала страсть и надежда, сменились разочарованием и отчаянием. Уайлс вспоминает о том, как мечта его детства превратилась в кошмар: «Первые семь лет моей работы над проблемой я наслаждался противоборством с труднейшей задачей один на один. Какой бы трудной она ни была, сколь бы непреодолимыми ни казались препятствия, я занимался решением любимой задачи. Она была страстью моего детства, я просто не мог отделаться от нее, не мог оставить ни на миг. Затем мне пришлось говорить о Великой теореме Ферма публично — и это вызвало у меня чувство потери. Я испытывал смешанные чувства. Было чудесно видеть, как другие люди реагируют на доказательство, как приводимые аргументы полностью изменяют все направление математики, но в то же время проблема утратила для меня «личное» обаяние. Теперь проблема была открыта всему миру, и я лишился возможности приватно размышлять над ней. И когда с доказательством возникли трудности, десятки, сотни, тысячи людей жаждали отвлечь меня от дела. Заниматься математикой на виду у всего мира не в моем вкусе, и публичная работа над исправлением доказательства не доставляла мне ни малейшего удовольствия».
Специалисты по теории чисел во всем мире сочувствовали Уайлсу, оказавшемуся в весьма затруднительном положении. Кен Рибет сам пережил подобный кошмар восемью годами раньше, когда пытался доказать существование связи между гипотезой Таниямы-Шимуры и Великой теоремой Ферма. «Я выступал с докладом о доказательстве в Институте математических исследований в Беркли, и кто-то из присутствовавших спросил: «Минутку, а откуда Вам известно, что то-то и то-то правильно?» Я немедленно ответил, объяснив свое рассуждение, но мне возразили, сославшись на то, что приведенные мной доводы в данном случае не применимы. Меня охватил панический страх. Я покрылся холодным потом и почувствовал себя весьма неуютно. Затем мне пришло в голову, как можно было бы доказать свою правоту: единственная возможность состояла в том, чтобы обратиться к какой-нибудь фундаментальной работе по данному вопросу и посмотреть, как автор поступает в аналогичной ситуации. Я заглянул в соответствующую работу и убедился в том, что мой метод действительно применим в рассматриваемом случае, и через день-другой все встало на место. В следующей лекции я смог привести обоснование того места в предыдущей лекции, которое вызвало сомнение. Но невозможно было избавиться от страха, что стоит объявить о чем-то важном, как сразу же обнаружится какая-нибудь фундаментальная ошибка.
Если вы обнаружили в рукописи ошибку, то дальнейшие события могут развиваться по двум сценариям. Иногда вас не покидает уверенность в том, что в основном все сделано правильно и доказательство может быть легко исправлено. Иногда возникает противоположная ситуация. У вас появляется весьма тревожное губительное чувство, когда вы осознаете, что допустили фундаментальную ошибку, исправить которую невозможно. Бывает и так, что обнаруженная в доказательстве прореха становится настолько широкой, что теорема полностью распадается, и чем больше вы пытаетесь залатать отверстие, тем сильнее увязаете. Но в доказательстве Уайлса каждая глава сама по себе была значительным математическим исследованием. Рукопись явилась результатом семилетней работы и, по сути, представляла собой несколько важных статей, сшитых в единое целое, и каждая из этих статей представляла огромный интерес. Ошибка вкралась только в одну из этих статей — в главу 3, но даже если изъять главу 3, то остальная часть работы Уайлса просто великолепна».
Но без главы 3 не было доказательства гипотезы Таниямы-Шимуры и, следовательно, доказательства Великой теоремы Ферма. Математическое сообщество переживало глубокое разочарование: доказательство двух великих проблем было в опасности. Кроме того, за шесть месяцев ожидания никто, кроме Уайлса и рецензентов, так и не получил доступа к рукописи. Все громче раздавались призывы к большей открытости, чтобы каждый желающий мог сам увидеть детали ошибок. Высказывалась надежда на то, что кому-нибудь, возможно, удастся обнаружить то, что ускользнуло от Уайлса, и восполнить пробел в доказательстве. Некоторые математики утверждали, что доказательство Уайлса представляет слишком большую ценность, чтобы оставлять его в руках одного человека. Специалисты по теории чисел стали мишенью насмешек со стороны остальных математиков, которые саркастически осведомлялись у них, знают ли они вообще что-либо о предложенном доказательстве. То, что должно было стать моментом величайшего торжества и гордости в истории математики, превратилось в предмет насмешек.
Но, несмотря ни на что, Уайлс отказывался публиковать свою рукопись. После семи лет упорных усилий, ему вовсе не улыбалось отойти от проблемы и наблюдать, как кто-то другой завершит доказательство и похитит его славу. Победителем станет не тот, кто проделал большую часть работы, а тот, кто сделает заключительный шаг и даст миру законченное доказательство. Уайлс знал, что если рукопись будет опубликована с ошибкой в доказательстве, то он немедленно будет погребен под ворохом вопросов и просьб пояснить ту или иную деталь, и это окончательно отвлечет его от дела и разрушит надежды на то, что ему самому удастся исправить доказательство.
Уайлс попытался вернуться в то состояние изоляции, которое позволило ему создать первоначальный вариант доказательства. Он возобновил интенсивные занятия в кабинете на мансарде своего дома. Время от времени он, как в добрые старые времена, совершал пешие прогулки к озеру. Но теперь любители бега трусцой, велосипедисты и гребцы, которые прежде приветствовали его коротким взмахом руки, останавливались и спрашивали, удалось ли продвинуться в восполнении пробела. Портреты Уайлса появились на первых полосах газет, статья о нем была напечатана в журнале «People», интервью с Уайлсом передавалось по CNN. И хотя за прошедшее лето Уайлс стал математической знаменитостью мирового масштаба, его имидж уже померк.
Между тем по математическому факультету Принстона продолжали циркулировать слухи. Профессор Джон Конвей вспоминает атмосферу, царившую тогда в чайной комнате математического факультета: «В три часа мы собирались на чай и налегали на булочки. Иногда мы обсуждали математические проблемы, иногда — суд над О. Дж. Симпсоном, иногда судачили о том, как продвигалась работа у Эндрю. Поскольку никому из нас и в голову не приходило пойти и спросить у него, как идут дела с доказательством, мы вели себя, как кремлинологи. Кто-нибудь заявлял: "Сегодня утром я встретил Эндрю". "Он улыбался?" — спрашивал другой коллега. "Улыбался, но вид у него был не слишком радостный". О том, как продвигается исправление доказательства, мы могли судить только по выражению лица Эндрю».
