Проще всего объяснить явление компактификации на примере двумерной поверхности. Представим себе пространство в виде плоского листа бумаги, неограниченно простирающегося во всех направлениях. Но это только один из вариантов двумерного пространства. Вспомните, как при разговоре о Вселенной Эйнштейна и Вселенной Фридмана мы представляли пространство в виде поверхности сферы, – независимо от того, в каком направлении вы будете двигаться в таком пространстве, в конце концов вы вернётесь в исходную точку.

Эйнштейн и Фридман представляли пространство в виде гигантской сферы, достаточно большой, чтобы на протяжении миллиардов световых лет на вашем пути не встретилась дважды одна и та же галактика. Но теперь представьте себе, что мы начали сжимать эту сферу: и вот она становится всё меньше и меньше, в ней уже едва помещается человек. Продолжим сжатие сферы до размера молекулы, атома, протона… В конце концов такую сферу будет уже невозможно отличить от точки – пространства, не имеющего ни одного измерения, в котором можно двигаться. Это простейший пример компактификации пространства.

Можем ли мы выбрать для двумерного пространства такую форму, чтобы оно выглядело как одномерное? Можно ли спрятать одно из двух измерений двумерного листа бумаги? Легко. Для начала вырежем из бесконечного плоского листа бумаги полосу бесконечной длины в направлении x, но конченой ширины, скажем 10 см, в направлении y. Теперь свернём эту полосу в бесконечный цилиндр, так чтобы ось цилиндра была направлена в направлении x. Получившийся цилиндр будет компактным (конечным) в направлении y и бесконечным в направлении x.

Сворачивание полосы в цилиндр

Если же вместо полосы шириной 10 см мы свернём в цилиндр полосу шириной 1 мкм (1/10 000 см), то такой цилиндр при взгляде на него невооружённым глазом будет выглядеть как одномерное пространство, как бесконечно тонкий «волос». И только положив его под микроскоп, мы сможем убедиться, что на самом деле поверхность этого цилиндра двумерная. Вот вам и пример того, как двумерное пространство можно замаскировать под одномерное.

Предположим далее, что мы уменьшили длину окружности цилиндра до планковской длины. Для таких размеров уже не существует микроскопа, способного разрешить второе измерение. Для всех практических целей это пространство будет одномерным. Процесс, позволяющий сделать некоторые из размерностей компактными, оставив остальные бесконечными, и называется компактификацией.

Теперь несколько усложним картину. Возьмём трёхмерное пространство с тремя координатными осями: x, y и z. Оставим x– и y-координаты простирающимися неограниченно, а z-координату свернём. Это трудно представить, но принципиально это не отличается от сворачивания полоски в цилиндр. Двигаясь в направлении x или y, вы можете удалиться неограниченно далеко, но двигаясь в направлении z, пройдя некоторое расстояние, возвратитесь в исходную точку. Если это расстояние микроскопически мало, то получившееся пространство будет выглядеть как двумерное.

Пойдём немного дальше и компактифицируем два измерения: y и z. На некоторое время полностью забудем про x-размерность и рассмотрим две оставшиеся. Для начала мы можем свернуть их в 2-сферу. В этом случае вы смогли бы сколь угодно далеко двигаться вдоль x-направления, а путешествие вдоль координат y и z будет похоже на путешествие по поверхности глобуса. Опять же, если этот «глобус» имеет микроскопические размеры, то получившееся пространство трудно будет без микроскопа отличить от одномерного. Как вы видите, действуя подобным образом, можно свернуть в компактное пространство какое угодно количество измерений.

2-сфера – это не единственный способ компактификации двух измерений. Ещё одним простым способом является использование для этой цели тора. Если 2-сфера представляет собой поверхность мяча, то тор – это поверхность бублика. Существует ещё множество других топологических форм, которые можно использовать для компактификации, но тор является наиболее общим случаем.

Вернёмся к цилиндру и представим частицу, движущуюся по его поверхности. Эта частица может неограниченно двигаться в любую сторону вдоль оси x, точно так же, как если бы это было одномерное пространство. При этом мы можем вычислить скорость, с которой движется частица. Но ведь частица может двигаться не только вдоль оси x, но и вдоль свёрнутой оси y. В этом скрытом микроскопическом направлении у частицы тоже будет какая-то скорость. Итак, частица может двигаться в x-направлении, в y-направлении или в обоих направлениях одновременно. В последнем случае движение частицы будет иметь форму микроскопического штопора, навитого на ось x. Частица будет двигаться в направлении x, одновременно вращаясь вокруг неё. Для наблюдателя, разрешающей способности приборов которого недостаточно, чтобы наблюдать движение в y-направлении, это дополнительное движение представляется в виде некоего особого свойства частицы. Частица, которая дополнительно движется в y-направлении, отличается от частицы, которая движется только в x-направлении, но причина этого различия скрыта от нас малостью y-измерения. Как бы мы могли интерпретировать это новое свойство частицы?

Идея существования в пространстве дополнительных ненаблюдаемых направлений отнюдь не нова. Впервые она появилась ещё в начале XX века, вскоре после завершения Эйнштейном общей теории относительности. Современник Эйнштейна Теодор Франц Эдуард Калуца задался именно этим вопросом: как повлияет на физические явления существование дополнительного крошечного измерения? В те времена были известны два фундаментальных физических взаимодействия: электромагнитное и гравитационное. Они во многом похожи, но эйнштейновская теория гравитации выглядела более глубокой, чем максвелловская электродинамика. Гравитация у Эйнштейна сводилась к геометрическому искажению пространства-времени, в то время как теория Максвелла выглядела произвольной надстройкой над физическим миром, не имеющей никаких фундаментальных причин быть именно такой, какая она есть. Но геометрия пространства-времени описывает только свойства гравитационного поля, и ничего более. Чтобы электричество и магнетизм можно было каким-то образом объединить с гравитацией, основные геометрические свойства пространства должны быть более сложными, чем это представлялось Эйнштейну.

Калуца совершил удивительное открытие. Если к обычным 3 + 1 измерениям добавить ещё одно свёрнутое измерение, то геометрия пространства-времени включит в себя не только гравитационное поле Эйнштейна, но и электромагнитное поле Максвелла: гравитация, электричество и магнетизм могут быть объединены в одну всеохватывающую теорию.

Блестящая идея Калуцы привлекла внимание Эйнштейна, который пришёл от неё в полный восторг. Согласно Калуце, частицы могут двигаться не только в трёх обычных измерениях, но и в четвёртом, скрытом. Он обнаружил, что если две частицы движутся в этом дополнительном измерении, то гравитационная сила, действующая между ними, претерпевает изменения, и самое удивительное, что эта добавка к гравитационной силе оказывается идентичной электрическому взаимодействию между двумя заряженными частицами. Более того, электрический заряд каждой частицы – это не что иное, как компонент импульса в дополнительном измерении. Если частицы вращаются в этом компактном измерении в одном направлении, то они отталкиваются друг от друга. Если они вращаются в противоположных направлениях, то они притягиваются. Но если хотя бы одна из двух частиц не вращается в дополнительном измерении, между ними остаётся лишь обычное гравитационное взаимодействие. В воздухе явно запахло возможностью объяснить, почему одни частицы, например электроны, имеют электрический заряд, а другие, скажем нейтрино, не имеют. Заряженные частицы попросту движутся в компактном измерении пространства, в то время как нейтральные частицы – нет. Это даже позволяло объяснить различия между электроном и его античастицей – позитроном. Электрон вращается в компактном измерении в одну сторону, скажем по часовой стрелке, а позитрон – против часовой стрелки.

Следующее озарение принесла квантовая механика. Подобно любым другим колебательным движениям движение в направлении компактной y-координаты квантовано. Частица не может двигаться вдоль оси y с произвольным значением проекции импульса на ось y. Оно может принимать только дискретные значения, так же как и в гармоническом осцилляторе или у электрона в атомной теории Бора. А это, в свою очередь, означает, что момент в y-измерении и, соответственно, заряд электрона не могут принимать произвольные значения. Электрический заряд в теории Калуцы квантован, он может выражаться только произведением заряда электрона на целое число. Заряд частицы может в два или в три раза превышать заряд электрона, но не может отличаться от него, например, в 1,88 или в 0,067 раза. И это радует. В реальном мире не обнаружено ни одного объекта, имеющего дробный (в единицах заряда электрона) заряд: все электрически заряженные тела имеют заряд, кратный заряду электрона.

Это потрясающее открытие, тем не менее, так и оставалось не более чем «интересной идеей» на протяжении всей оставшейся жизни Калуцы. Но для нашей книги оно имеет ключевое значение. Теория Калуцы продемонстрировала, как свойства частиц могут возникать из дополнительных пространственных измерений. И действительно, обнаружив, что теория струн требует шести дополнительных измерений, струнные теоретики вспомнили об идеях Калуцы. Достаточно просто свернуть шесть дополнительных измерений надлежащим образом, чтобы движением в них объяснить внутреннюю машинерию элементарных частиц.

Возможности теории струн гораздо богаче, чем теории точечных частиц. Вернёмся к цилиндру и предположим, что по его поверхности движется маленькая замкнутая струна. Начнём с цилиндра, окружность которого достаточно велика, чтобы видеть её невооружённым глазом. Маленькая замкнутая струна может двигаться по нему таким же образом, как и точечная частица: вдоль образующей цилиндра или вокруг его оси. В этом случае движение струны принципиально не отличается от движения точечной частицы. Но есть кое-что, на что струна способна, а точечная частица – нет. Струна может быть обёрнута вокруг цилиндра подобно резиновому кольцу, надетому на картонную трубку. Обёрнутая вокруг цилиндра струна отличается от необёрнутой. Резиновое кольцо можно надеть на цилиндр так, что оно будет оборачивать его дважды, трижды и т. д., пока оно не порвётся. Этот мысленный эксперимент приводит нас к новому свойству струн, которое в принципе отсутствует у точечных частиц, называемому числом кручения. Это число сообщает нам, сколько витков струны намотано на компактное измерение.

Число кручения является тем свойством частицы, которое невозможно понять, если наш микроскоп недостаточно силён, чтобы разрешать детали, имеющие размеры, сравнимые с размером компактного измерения. Как вы теперь понимаете, дополнительные измерения оказались благословением, а не проклятием для теории струн, поскольку они необходимы для объяснения сложных свойств элементарных частиц.

Двумерный цилиндр изобразить достаточно легко, но я сомневаюсь, чтобы кто-нибудь был в состоянии представить себе девятимерный мир, шесть измерений которого свёрнуты в крошечное шестимерное пространство. Но рисование картинок на листе бумаги или представление моделей в голове не единственный способ оперировать шестимерной геометрией теории струн. Часто геометрия может быть сведена к алгебре точно таким же способом, которым вы в школе описывали различные геометрические фигуры, например окружность или прямую, при помощи уравнений. Тем не менее даже самые мощные математические методы часто пасуют перед шестимерной геометрией.

Например, число возможных путей, по которым может катиться шарик по поверхности в шестимерной геометрии теории струн, исчисляется миллионами. Я не стану описывать эти пространства, а только сообщу, что они носят наименование пространств или многообразий Калаби – Яу в честь двух математиков, потративших массу усилий на их изучение. Я не знаю, с чего вдруг математики заинтересовались этими многообразиями, но они оказались чрезвычайно полезными для струнных теоретиков. К счастью, единственное, что следует знать про эти пространства для понимания дальнейшего материала, – это то, что они представляют собой очень сложные конструкции с сотнями дыр наподобие дыр от бублика и прочими особенностями.

Вернёмся к двумерному цилиндру. Длина окружности цилиндра характеризует так называемый масштаб компактификации. Для картонного цилиндра этот масштаб составляет несколько сантиметров, для теории струн он должен быть порядка нескольких планковских длин. Если вы решите, что этот масштаб слишком мал, чтобы иметь какое-то значение для тех вещей, которыми мы обычно занимаемся, то сильно ошибётесь. Хотя мы и не в состоянии наблюдать или измерять столь малые вещи, они имеют определяющее значение для обычной физики. Масштаб компактификации в теории Калуцы определяет величину электрического заряда частицы, например электрона. Другими словами, масштаб компактификации определяет величину различных констант, которые присутствуют в обычных законах природы. При изменении размера нашего цилиндра изменяются и Законы Физики. Если изменить величины скалярных полей, о которых я рассказывал в главе 1, Законы Физики тоже изменятся. Есть ли здесь какая-то связь? Безусловно! И сейчас мы о ней поговорим.

Чтобы задать свойства цилиндра, достаточно задать величину масштаба компактификации, но для других фигур этого недостаточно. Например, для описания тора необходимо задать три параметра. Попробуем себе это представить. Первым параметром является внешний размер тора. Тор можно увеличить или уменьшить, не изменяя его формы. Кроме того, тор может быть «тонким», как обруч, или «толстым», как пышка. Параметр, характеризующий толщину тора, называется аспектным отношением. Аспектное отношение определяется как отношение большого радиуса тора (определяющего внешний размер) к радиусу трубки. Для тонкого тора аспектное отношение велико, для толстого тора оно стремится к единице. Существует ещё один параметр, который достаточно трудно изобразить на рисунке. Представьте себе, что мы разрезали тор, так, чтобы получился цилиндр, после этого, взявшись за один из концов цилиндра, начали его закручивать относительно оси цилиндра, а потом снова соединили цилиндр в тор по линии разреза. Угол, на который мы закрутили цилиндр, и есть третий параметр. Я попытался это изобразить на третьей картинке.

Математики называют эти параметры, определяющие форму и размеры тора, модулями. Тор имеет три модуля, цилиндр – только один, но типичное многообразие Калаби – Яу характеризуется сотнями модулей. Возможно, вы догадались, к чему это приводит, но если нет, то я объясню: это приводит к невероятному разнообразному и сложному ландшафту.

Одним из очень важных вопросов является возможность изменения размера и формы компонента пространства от одной точки к другой. Представьте себе криво склеенный цилиндр. Предположим, что при перемещении по поверхности этого цилиндра её кривизна постоянно изменяется. Цилиндр в одних местах толще, в других – тоньше.

Имейте в виду, что даже если цилиндр очень тонок, слишком тонок, чтобы обнаружить это компактное измерение, размер этого измерения всё равно будет определять различные константы связи и массы. Очевидно, что, перемещаясь вдоль такого цилиндра, мы будем перемещаться по миру, в котором законы природы изменяются от одной точки к другой. Что в этом случае скажет обычный физик, который не в состоянии обнаружить свёрнутое измерение? Он скажет, что условия в разных точках пространства различны. Для него это будет выглядеть как присутствие неких скалярных полей, управляющих величиной заряда электрона и массами частиц, и эти поля будут изменяться от точки к точке. Другими словами, модули формируют некое подобие ландшафта – ландшафта в сотнях измерений.

Пространство Калаби – Яу намного более сложно, чем круглое сечение цилиндра, но принцип остаётся тем же: размер и форма компактифицированного пространства может варьироваться в зависимости от положения в пространстве, как если бы у нас были сотни скалярных полей, управляющих Законами Физики! Теперь мы начинаем понимать, почему настолько сложен ландшафт теории струн.