ПРИЛОЖЕНИЯ

Барьер нововакуума представляет собой поверхность сферы, расширяющейся на скорости 0,5с. Его внешний вид в небе той или иной планеты определяется тем фактом, что, глядя вдаль от ближайшей точки Барьера, наблюдатель заглядывает в прошлое и видит Барьер в момент времени, когда его размеры были меньше.

На рис. I черные круги указывают фактические размеры Барьера в пять различных моментов времени, а синие кривые — кажущиеся размеры и форму в восприятии неподвижного наблюдателя (также отмечен на рисунке), ожидающего прибытия света от Барьера. Математическое выражение для формы этих кривых легко получить, заметив, что время t, прошедшее с момента зарождения нововакуума, равно 2t₁+ t₂, где t₁ — расстояние от центра Барьера до точки на кривой, a t₂ — расстояние от этой точки до наблюдателя.

Серые пунктирные линии очерчивают кажущийся край Барьера и представляют собой касательные к синим кривым. Они показывают путь света, задевшего Барьер, когда его размеры значительно уступали нынешним. Поэтому Барьер затеняет меньший участок небосклона, чем в том случае, если бы его размеры все время оставались такими. И даже в последний показанный на рисунке момент времени, когда Барьер нависает непосредственно над нашим наблюдателем, сектор небесной сферы, отсеченный им, составит лишь 120 градусов.

На рис. II показано, как растет угловой видимый размер Барьера с течением времени. Переменный допплеровский сдвиг светового излучения Барьера изображен схематически по контуру поверхности. Точное значение фактора синего смещения варьирует от V‾З = 1,732 в центре до 2/V‾З = 1,1547 по краю. Допплеровский сдвиг на краю поля зрения остается неизменным по мере расширения Барьера, поскольку наблюдаемый там свеn всегда излучается под углом 90 градусов к направлению распространения (в системе отсчета, движущейся вместе с соответствующим сегментом Барьера).

Понемногу складывается впечатление, что известный афоризм Э. М. Форстера — излишество. Теория, для которой строительными блоками Вселенной выступают математические структуры — графы, — которые соединяются друг с другом, а больше-то ничего и не делают.

Граф можно представить в виде множества точек — узлов, и набора линий, соединяющих эти узлы — ребер. Детали построения, например, длина и форма ребер, вообще говоря, безразличны для структуры графа. Единственная черта, по которой можно отличить один граф от другого — тип связывания узлов. Число ребер, сходящихся в один и тот же узел, называется его валентностью.

В квантовой теории графов, или КТГ, квантовое состояние, описывающее как геометрию пространства, так и поля материи, присутствующей в нем, построено из комбинаций графов. Теория обрела нынешнюю форму в работах яванского математика Куснанто Сарумпета, который в серии из шести статей, опубликованных с 2035 по 2038 гг., показал, что как общая теория относительности (ОТО), так и Стандартная Модель физики элементарных частиц (СМ) представляют собой аппроксимации единой теории — КТГ.

У графов Сарумпета долгая и славная родословная, которую можно проследить вплоть до работ Майкла Фарадея о «силовых линиях», соединяющих электрические заряды, и теории Уильяма Томсона об атомах как заузленных «вихревых трубках». Ближайшими предшественниками теории Сарумпета явились модель спиновых сетей Роджера Пенроуза, в которой рассмотрены трехвалетные графы с приписанным каждому узлу полуцелым числом, соответствующим возможному значению спина квантовой частицы. Пенроуз изобрел спиновые сети в начале 1970-х и продемонстрировал, как полный набор пространственных направлений может быть получен из простых комбинаторных принципов, применяемых к процессам обмена спином между двумя областями обширной сети.

Обобщение спиновых сетей позднее нашло место в различных вариантах квантовой теории поля (КТП). Волновая функция приписывает каждому возможному расположению частицы амплитуду вероятности, а спиновая сеть, погруженная в пространственную область, аналогичным образом приписывает амплитуду всем возможным полевым конфигурациям. Квантовые состояния, определенные в этом формализме, состоят из линий потока, текущего вдоль ребер сети.

В 1990-е Ли Смолин и Карло Ровелли обнаружили, что в квантовой гравитации, где спиновосетевые состояния наделены простой геометрической интерпретацией, имеет место аналогичное явление: площадь поверхности зависит только от числа ребер сети, пересекающих ее. Эти ребра мыслятся квантованными «линиями потока площади»; в квантовой гравитации площадь и прочие геометрические параметры принимают значения из дискретного спектра вариантов. Впоследствии оказывается удобным проквантовать и саму топологию, причем узлы и ребра постепенно вытесняют обычное представление о пространстве как о континууме точек.

В первые десятилетия нового тысячелетия Джон Баэз, Фотини Маркопулу, Хосе-Антонио Сапата и их коллеги добились выдающихся результатов в исследовании законов динамики спиновых сетей. В их подходе процессам межсетевой эволюции (преобразования одной сети в другую) приписываются квантовые амплитуды. В 2030-е Сарумпет начал систематизацию этих работ и на их основе построил новую модель, в которой использовал графы произвольной валентности с неразмеченными узлами.

Геометрия трехмерного пространства возникает при рассмотрении четырехвалентных графов, где четыре ребра, исходящие из каждого узла, ограничивают площадь грани так называемого «квантового тетраэдра». Если рассматривать графы высших валентностей, можно столкнуться с нежелательными осложнениями: структуру взрывоподобно заполонят новые измерения. Но Сарумпет вывел простой динамический закон, ограничивающий среднюю валентность значением 4. В то же время трехвалентные и пятивалентные узлы (так называемые «допанты» по аналогии с примесями в полупроводниках) разрешены правилами Сарумпета в том смысле, что они образуют специальные узоры: замкнутые, возможно, заузленные цепи с переменной валентностью. Эти петли узлов-допантов, классифицированные по симметриям и типам взаимодействий, находятся в отличном соответствии с частицами СМ.

Поскольку характерная площадь, отграниченная ребрами квантового графа, по порядку величины соответствует нескольким квадратным планковским длинам l²_pl, то есть примерно в 10⁵⁰ раз меньше площади поверхности атома водорода, одно время опасались, что КТГ останется недоступна экспериментальной проверке еще много веков. Но в 2043 г. компьютерное моделирование позволило выявить новый класс «полимерных состояний»: длинные разомкнутые цепи узлов-допантов, времена полураспада и характерные энергии которых находились уже в пределах досягаемости современной технологии.

В настоящее время поиск полимерных состояний ведется на Орбитальном Ускорителе, запущенном в 2049 г. Уже достигнуты первые успехи. Если эти результаты удастся воспроизвести, правила Сарумпета из самого элегантного описания Вселенной быстро станут самым вероятным и, скорее всего, единственно верным…

Декогеренция - квантовый феномен, ключевой для понимания многих событий «Лестницы Шильда». Кроме того, понимание процессов декогеренции очень важно для исследования квантовой механики в классическом пределе.

Основная идея состоит в следующем: изолированная квантовая система А ведет себя квантовомеханически, демонстрируя интерференционные эффекты, отражающие разность фаз различных компонент вектора состояния. Например, если А состоит из электрона в состоянии суперпозиции равных частей «спин вверх» и «спин вниз», можно провести эксперименты, чувствительные к разности фаз этих компонент. В этом заключается существенное отличие от классического понимания вероятности: нельзя сказать, что у спина электрона 50 %-е шансы оказаться в состоянии «| ↓» и 50 %-е — в состоянии «I ↑». Скорее имеет смысл говорить, что обе вероятности сосуществуют, а фаза описывает их взаимодействие. Если бы какая-то из компонент отсутствовала, и понятие фазы не имело бы смысла.

Если система А взаимодействует с другой системой В таким образом, что различные компоненты вектора состояния А влияют на В независимо друг от друга, говорят, что две системы запутаны (entangled). В таком случае наблюдения за А больше не выявят квантовых эффектов. Система А,как представляется наблюдателю, «коллапсировала» в состояние, где присутствует только одна компонента исходного вектора состояния. В ранее рассмотренном примере с электроном система ведет себя так, будто для спина вероятность оказаться в состоянии «только I ↑» или «только | ↓» составляла в точности 50/50.

Но в действительности такого коллапса не происходит. Если измерения произвести с объединенной системой, А + В, окажется, что она находится в чистом квантовом состоянии, а все компоненты исходного вектора состояния системы А сохранились. Классической физикой потому и пользуются, что полная информация, необходимая для обнаружения квантовых феноменов на макроуровне, нам, как правило, недоступна.

На моем сайте:

доступен с тремя экспериментами, в которых показано, как извлечь, казалось бы, потерянную информацию о состоянии запутанной части составной системы при наблюдении за системой в целом.

Спиновые сети ― состояния квантовой геометрии в теории квантовой гравитации, открытые Ли Смолиным и Карло Ровелли. Это понятие — ключевой концептуальный предшественник вымышленной физики «Лестницы Шильда».

Одним из способов описания геометрии пространства выступает описание способа, каким векторы переносятся вдоль любого пути — этот процесс известен под названием «параллельного переноса». В искривленном пространстве параллельный перенос по петле обычно поворачивает вектор относительно исходного направления; известным следствием отсюда выступает тот факт, что при этом сумма углов треугольника отличается от 180 градусов.

Если квантовомеханическая частица переносится по определенному пути в пространстве, начиная его со спином j,компонента которого вдоль оси Z равна т, параллельный перенос, вообще говоря, изменит значение спинового состояния частицы. Это явление в квантовой механике соответствует повороту классического вектора. Например, если электрон начинает перемещение со спином ↑, он может перейти в состояние суперпозиции компонент со спинами ↑ и ↓ или же изменить фазу; это зависит от того, какое именно вращение он претерпевает, то есть от кривизны области пространства, которую электрон пересекает. Итак, простым способом определения геометрии пространства видится следующий: взять электрон, перенести его по петле и посмотреть, как изменилось спиновое состояние частицы.

Спиновые сети представляют собой обобщение этой идеи, но сравнение производится более сложным образом. Каждому ребру спиновой сети приписывают значение спина j. Можно представить себе параллельный перенос частиц вдоль каждого ребра, так что их суммарный спин соответствует j. В каждом узле вычисляется амплитуда, которой выражено различие спиновых состояний на входе и выходе. Произведение амплитуд всех узлов дает общий спин сети, зависящий от геометрии пространства, куда погружены ребра сети.

Общие значения спина на ребрах недостаточно полно описывают спиновое состояние частиц: сохраняется произвол при выборе значений m, компоненты спина вдоль оси Z. Трудность в том, что, если задаться определенным значением этой компоненты (скажем, принять m = j для всех ребер), то для каждого типа геометрии амплитуды будут зависеть от ориентации оси Z. Тем не менее существует простой способ превозмочь эту проблему: если просуммировать амплитуду сети по всем возможным комбинациям значений m, где т пробегает диапазон значений — j…+ j на каждом ребре, получим величину, полностью независимую от выбора ориентации.

С использованием этой суммы спиновая сеть позволяет определить состояние квантовой геометрии, характеризующееся ценным свойством, а именно калибровочной инвариантностью: амплитуда не зависит от способа измерения, но только от геометрии пространства внутри сети.

 где для разных геометрий построены различные состояния спиновых сетей.

Эффект параллельного переноса вектора по определенному маршруту можно представить в виде карты линий, соединяющих касательные пространства в начальной и конечной точках маршрута. Говорят, что для этого пути наблюдается голономия, выраженная вращением R. Семейство геометрий, для которых вышеуказанный апплет вычисляет эволюцию спиновой сети, характеризуется простым правилом: параллельный перенос по прямой из точки (х₀, у₀, z₀) в точку (x₁,y₁,z₁) поворачивает вектор вокруг оси а на угол, равный магнитуде a, причем

и k — параметр кривизны. Это значит, что параллельный перенос по квадратной петле с ребром € в одной из координатных плоскостей поворачивает векторы вокруг остальных координатных осей на угол

Эффект голономии для частицы с общим спином j определяется унитарной матрицей U_j. Ее можно получить, использовав соответствующее представление SU(2)- гомоморфизм из группы SU(2) в группу унитарных линейных операторов на гильбертовом пространстве, содержащем спиновое состояние частицы.

Апплет вычисляет эти матрицы по комбинаторной формуле, основанной на погружении j-спинового представления в 2j-мерное тензорное произведение более фундаментального представления (со спином 1/2).Каждому ребру приписывается амплитуда, зависящая от значения т в начале и конце ребра:

Для любого вращения RU_j (R) действует на дуальные векторы так, что

Спиновые состояния в узле со входящими в него ребрами обозначаются j₁,j₂, а спиновое состояние на исходящем ребре обозначается как j₃. Их можно сравнить посредством линейной карты С между тензорным произведением гильбертовых пространств входящих частиц и исходящей частицы. Узловая амплитуда равна:

Карта С нужна, чтобы эффекты произвольного вращения R коммутировали между собой:

При этом амплитуда останется неизменной, если каждое спиновое состояние узла подвергнуть одинаковому вращению:

Требуя, чтобы С удовлетворила предыдущему уравнению коммутации, легко рассчитать ее для общего спинового числа. А именно, координаты С представляют собой коэффициенты Клебша-Гордана, которыми даются амплитуды двухчастичного состояния для разных значений общего спина.

Теперь, перемножая все узловые амплитуды и все амплитуды на ребрах, а также суммируя произведения по всем значениям т в начальной и конечной точках ребра, а также учитывая требование равенства коэффициентов Клебша-Гордана нулю для всех случаев, кроме Σ_m-edgesm = m_out-edge, можнопостроить полную спиновую сеть.

Первоначально я использовал менее очевидный способ. Вышеизложенная схема подсказана мне Дэном Кристенсеном (Dan Christensen), которому я очень благодарен.

На языке теории групп можно назвать карту С сплетением двух представлений группы U(2) — того, что отвечает входящим ребрам, и того, что соответствует исходящему ребру. В КТП вообще и квантовой гравитации в частности используются спиновые сети, ребра которых помечены неприводимыми представлениями любой группы G, узлы — сплетениями представлений, а спиновая сеть определяется следом тензора (большого и толстого:-D), образуемого перемножением сплетений и линейных карт представлений с учетом голономий, диктуемых геометрией (или фоновыми полями) для каждого ребра. Для дальнейшего ознакомления с предметом, помимо {1} и {2}, рекомендую работу Джона Баэза Spin Networks in Nonperturbative Quantum Gravity http: //www. arxiv. org/abs/gr-qc/9504036.

Хорошая подборка ссылок на статьи по спиновым сетям и теории спиновой пены собрана у Дэна Кристенсена на сайте http:// jdc. math. two. ca/spin-foams.

[Страничка эта последнее время не обновляется, но многие ссылки актуальны. Доступный начинающим обзор публикаций, вышедших после написания «Лестницы Шильда», можно почерпнуть в лекциях по квантовой гравитации, прочитанных Ли Смолиным в 2011 г. на Закопанской конференции: http: //arxiv.org/abs/1102.3660v5].

За десять лет, минувших после выхода в свет «Лестницы Шильда», в петлевой квантовой гравитации и геометрической физике наметился определенный прогресс в исследованиях пространств с множественными взаимодействующими вакуумными состояниями и влияния декогеренции на космологические процессы в крупномасштабной структуре Вселенной. Многие предсказания и гипотезы, сформулированные Иганом, в этих работах нашли превосходное подтверждение.

Наибольший интерес в контексте романа представляет эффект подавления или даже полной блокировки распада «ложного» вакуума декогеренцией. Напомню, что в «Лестнице Шильда» представлена необычная точка зрения на эти процессы: роль «ложного», метастабильного вакуума играет наш собственный, в который погружено все вещество в известной Вселенной.

Как отметил в гл. 7 Тарек, наш вакуум до получения на Станции Мимоза нововакуума сохранял кажущуюся стабильность за счет постоянной декогеренции по образцу квантового эффекта Зенона. Математическое описание этих процессов не особенно сложно, однако дальнейшее изложение все же рассчитано на читателей с хорошим уровнем математической подготовки. При первом знакомстве с книгой этот раздел можно пропустить и вернуться к нему на досуге, если вам покажется необходимым получить более глубокое представление о физике вселенной «Лестницы Шильда».

Рассмотрим модельную двухуровневую систему с детектором. Предположим, что вначале детектор и система не коррелируют:

Пусть гамильтониан взаимодействия приведен к базису

После эволюции, которую претерпевают система и детектор, получаем:

В предположении, что первоначально двухуровневая система находилась в состоянии когерентной суперпозиции, можно показать, что, как только детектор пооизводит наблюдение над системой (то есть обращает |[ψ↑|ψ↓]| в 0), волновая функция коллапсирует в одно из собственных состояний (eigenstates) гамильтониана взаимодействия. Определим фактор декогеренции соотношением

r_dec = [ψ↑|ψ↓].

Если система постоянно запутана с каким-либо квантовым объектом, когерентность ее полностью утрачивается. На этом основан квантовый эффект Зенона.

Рассмотрим эволюцию системы из состояния ψ₁ в состояние ψ₂ путем квантового туннелирования (в романе этому соответствует прыжок сквозь Барьер). Заставим систему взаимодействовать с первоначально некоррелированным с нею окружением. Пусть скорость туннелирования составляет Ξ, тогда для времени переходного процесса t <<1/Ξ система описывается гамильтонианом

Напомню, что предпочтительный базис окружения таков, что ψ₁, ψ₂ — собственные состояния гамильтониана. Вероятность распада состояния при t<<1/Ξ зависит от времени примерно квадратично:

Но оказывается, что для малых t вероятность распада системы путем перехода из состояния ψ₁ в состояние ψ₂ при эволюции волновой функции по закону

составляет:

Когда когерентность полностью теряется, вероятность туннелирования перестает возрастать. Этот процесс довольно сложен. Во-первых, окружение может сдвинуть уровни энергии системы и повлиять на скорость туннелирования. Во-вторых, сам фактор декогеренции изменяется по фазе во времени, и вероятность туннелирования вместе с ним (даже при отсутствии запутывания). И, наконец, даже если окружение взаимодействует с системой настолько слабо, что уровни энергии не претерпевают сдвига, утечка информации из системы все равно происходит, она запутывается с окружением, и это уменьшает фактор декогеренции. Таким образом и растет вероятность замораживания системы в определенном состоянии: наблюдается квантовый эффект Зенона. Это заключение справедливо и для измерений с периодом 1/Ξ, когда основным законом убывания фактора декогеренции со временем становится зависимость вида exp (- Ξ t).

Процесс гравитационного взаимодействия пузыря вновь возникшего вакуума с фоновым излучением можно исследовать для разной космологической топологии. Наиболее любопытный результат получается в пространстве де Ситтера (оно возникает как максимально симметричное вакуумное решение уравнений Эйнштейна при Λ > 0, то есть при постоянной фоновой от- талкивательной энергии скалярного поля), где распад нововакуума настолько сильно подавлен декогеренцией, что скорость его падает экспоненциально для новорожденных пузырей радиусом вплоть до радиуса Хаббла R_H = с/Н, где H — постоянная Хаббла. Тем не менее для нововакуума остается канал распада по механизму, который не затрагивается декогеренцией. Но гарантировать можно только распад за время, не превосходящее характеристического времени возврата Пуанкаре. Именно об этом говорит в романе Софус, представляя наш вакуум (метастабильный) объектом постоянного «наблюдения» Всеобщего Графа (под этим термином, очевидно, понимается мультивселенная эвереттовской онтологии или платоновский мир идей).

И действительно, эффективность распада известной Вселенной как целого по механизму гомогенного туннелирования Хокинга-Мосса, мягко говоря, незначительна: для квантового состояния «черного ящика», содержащего черную дыру массой с наблюдаемую Вселенную, время Пуанкаре оценивается как (((10¹⁰)¹⁰)¹⁰)^2,08 лет.

Отмечу, что в современных исследованиях по космологии, выполненных после открытия темной материи, именно геометрию де Ситтера иногда предпочитают геометрии Минковского, для которой первоначально была сформулирована ОТО.

Интересно также заметить, что релятивистское расширение вновь возникшего пузыря истинного вакуума (как тот, что создан в экспериментах на Станции Мимоза) в специальном случае осциллирующей вселенной вообще не требует туннельного перехода.

Рассмотрим «карманную вселенную» (pocket universe), где фоновое скалярное поле Ф остается в метастабильном локальном минимуме энергии Ф_false в течение (очень долгого) времени Т. По истечении этого времени происходит переход в состояние истинного вакуума Ф_trие. Евклидово действие для этого процесса фигурирует в экспоненте скорости туннелирования Ξ= А_ехр(—2£(S)), где S- действие для туннелирования в классическом пределе, а А- множитель, учитывающий так называемые однопетлевые поправки. В первом приближении Коулмена-де Люччия оно равно:

£(S) = (π²/4)τ⁴€ + π² τ³ S₁ ,

где S₁ — солитонный член, отвечающий самораспространяющимся решениям типа уединенных устойчивых волн, а € — разность плотностей энергии локального и глобального минимумов некоторого потенциала скалярного поля V(Ф). Чтобы действие туннелирования оставалось конечным, примем V(Ф_false) = 0.

Минимизация действия Коулмена-де Люччия относительно τ = R₀ = 3S₁/€

Применяя аналитическое продолжение уравнений движения Коулмена-де Люччия во время Минковского, заключаем, что пузырь истинного вакуума должен расширяться на скорости света, начиная от радиуса нуклеации исходного зародыша:

Нововакуум Игана расширяется на скорости только в 0,5с, что немало удивляет героев романа, однако выступает счастливым обстоятельством для человечества. Только Софус, применив новаторский подход, оказался способен объяснить такое значение скорости расширения Барьера.

Но продолжим анализ, ограничиваясь рамками современной физики. Рассмотрим случай вселенной Фридмана-Робертсона-Уолкера с элементом метрики

Эффективное действие для динамики скалярного поля после аналитического продолжения принимает вид:

S_x,FRW = INTdy(4π€a⁴(y) INT₀^x(y)dx^ff²(x') — 4πσa³(y)f²(x) V‾1 — x²(y)).

Здесь — поверхностное натяжение пузыря, в которое предельным переходом преобразуется солитонный член действия S₁. Конформное время определено координатой y. Для плоской, замкнутой и открытой вселенных функция f равна х, sin(x), sinh(x) соответственно. Координата пузыря дается безразмерной функцией x(y), а х — производная ее по у.

Уравнения движения, выводимые из S_x,FRW  сильно нелинейны по х(у), поэтому поиск аналитических решений при заданном a(y) представляется безнадежной задачей. Придется решить обратную задачу: по известному х(у) искать форму функции а(у).

В иллюстративных целях рассмотрим сравнительно простой случай.

Принимая, что V‾1 — x²(y) = g(y)x, и выбирая g(y) так, чтобы g(y) = tan(y), получаем, что радиус пузыря x(y) = sin(y).

решение удается выразить аналитически:

a(y) = R₀|cot(y)|^1/3/ 3|cot(y)|^1/3F₂₁(1/6,1/6,7/6,cos²(y)) + C.

Здесь F₂₁ ― гипергеометрическая функция, а C > 0.

Если С = О, пузырь расширяется только в том случае, когда а(О) равно бесконечности, и коллапсирует при y = π. Если же С > О, радиус пузыря истинного вакуума и масштабный фактор а (у) возрастают от 0 для y >π/2.

В этом случае новорожденная Та Сторона расширяется до некоторого максимального радиуса и затем исчезает при у = π (при этом масштабный фактор уходит в сингулярность). Существует и альтернативная ветвь, на которой радиус новой вселенной при a(0), равном бесконечности начинает возрастать от 0, проходит через максимальное значение и коллапсирует в 0 при у = π/2. Это значит, что история нововакуума может быть циклической, причем его расширение не требует туннелирования.

Математические детали вопроса хорошо освещены в работе:

{14}. Т. С. Bachlechner (2012). Decoherencedelays false vacuum decay.

http: //arxiv.org/abs/1203.1619v2.

Обзор результатов для практически важных пространств Минковского, Шварцшильда, Рейсснера-Нордстрёма и Фридмана-Робертсона-Уолкера приводится в диссертации:

http: //kups.ub.uni-koeln.de/3283/l/Dissertation.pdf.

Об индуцированном окружением суперотборе как двигателе выбора того или иного базиса измерений см. две работы Зурека:

{16}. W Н. Ziirek (1982). Environment-induced superselection rules. Phys. Rev. D, 26(8), 1862;

Квазиклассическое рассмотрение гравитационных эффектов при распаде ложного вакуума см. в часто цитируемой работе:

Об интересных последствиях распада метастабильного вакуума для «утечек вероятности» в деситтеровской вселенной и способах разрешения на этой основе парадокса мозга Больцмана см.:

http: //arxiv.org/abs/hep-~th/0-61I043v3.