Задача Самуэльсона

Пол Самуэльсон, один из величайших экономистов ХХ века, как-то спросил друга, согласится ли тот сыграть в игру «брось монетку» при условии, что можно проиграть 100 долларов и выиграть 200. Друг ответил: «Я не буду делать ставку, потому что радость от выигрыша 200 долларов не перевесит огорчения от потери 100 долларов. Но если ты разрешишь мне сделать сто таких ставок, я согласен». Всякий, кроме исследователей теории принятия решений, разделил бы интуитивную мысль друга Самуэльсона – многократные попытки в выгодной, но рискованной игре снижают субъективный риск. Самуэльсон, заинтересовавшись, решил проанализировать этот ответ и доказал, что в некоторых специфических обстоятельствах максимизатор полезности, отказываясь от одной игры, должен отказаться и от многих.

Примечательно, что Самуэльсона не смутил тот факт, что его доказательство, притом верное, привело к заключению, противоречащему здравому смыслу, если не рациональности: предложение сыграть сто игр настолько соблазнительно, что ни один разумный человек перед ним не устоит. Мэтью Рабин и Ричард Талер заметили, что «статистически в ста попытках игры с равными шансами „проиграй 100 долларов или выиграй 200 долларов“ ожидаемый возврат средств составит 5000 долларов, с 1/2300 шансом сколько-нибудь потерять и с 1/62 000 шансом проиграть более 1000 долларов». Смысл их высказывания заключается в том, что если теория полезности совместима с неразумным предпочтением отказа от игры в любых обстоятельствах, то она вряд ли пригодна для описания модели рационального выбора. Самуэльсон не видел доказательства Рабина, касающегося нелогичных последствий сильного неприятия потерь в играх с малыми ставками, но вряд ли удивился бы. Его готовность допустить предположение, что отказ от подарка судьбы может быть рациональным, доказывает живучесть рациональной модели.

Предположим, что некая простая функция ценности описывает предпочтение друга Самуэльсона (назовем его Сэмом). Чтобы выразить свое неприятие потерь, Сэм сначала переписывает условия игры, умножая каждую потерю на два. Затем он вычисляет ожидаемое значение переписанной ставки. Ниже приведены результаты для одного, двух и трех бросков монеты. Они достаточно красноречивы, но требуют некоторых умственных усилий для их рассмотрения.

Из таблицы видно, что ожидаемая ценность игры – 50. Однако один бросок Сэму ничего не приносит, поскольку для него огорчение от потери доллара вдвое интенсивнее удовольствия от выигрыша доллара. После того как Сэм изменил условия игры, чтобы отразить свое неприятие потерь, обнаружилось, что ценность упала до нуля.

Теперь рассмотрим ситуацию с двумя бросками монеты. Шансы проиграть снизились до 25 %. Два экстремальных значения (потеря 200 и выигрыш 400 долларов) по ценности сводят друг друга на нет – они равновероятны, а вес потерь вдвое чувствительнее, чем приобретения. Однако средний вариант (одна потеря, один выигрыш) дает положительный результат, поэтому совокупная игра приносит прибыль. Теперь вы можете убедиться в невыгодности установления узких рамок и в статистической магии совокупной игры. Мы имеем две выгодных игры, каждая из которых по отдельности не приносит Сэму ничего, и от предложения сыграть в них по отдельности он оба раза откажется. Однако в совокупности обе игры дадут верных 50 долларов прибыли!

Все становится еще лучше, когда объединяют три игры. Экстремальные результаты по-прежнему нейтрализуют друг друга, но теперь они менее значимы. Третий бросок, сам по себе бесприбыльный, добавляет к общей сумме выигрыша 62,5 доллара! К тому времени, как Сэм заказывает пять игр, ожидаемая ценность предложения возрастает до 250 долларов, вероятность проигрыша составляет 18,75 %, а денежный эквивалент игры – 203,125 доллара. Примечательный аспект: неприятие потерь Сэма не ослабевает на протяжении всех игр. Однако же суммирование выигрышных игр быстро снижает вероятность потери и, соответственно, ослабляет влияние неприятия потерь на предпочтения игрока.

Я заготовил для Сэма небольшую проповедь на случай, если он отказывается от разовой выгодной игры из-за неразумного неприятия потерь (и для вас, если вы разделяете это чувство):

Мне понятно ваше нежелание проигрывать, но оно очень дорого вам обходится. Подумайте над таким вопросом: разве вы уже на смертном одре? Разве это последний случай, когда вам предлагается сыграть на удачу? Конечно, едва ли вам еще предложат именно такую игру, зато у вас будет много возможностей попытать счастья другим способом, за небольшую (относительно вашего состояния) плату. Вы укрепите свое финансовое положение, если будете рассматривать каждую такую игру как часть совокупности малых игр и повторять мантру, которая значительно приблизит вас к экономической рациональности: иногда выиграешь, а иногда проиграешь. Главная цель этой мантры – в том, чтобы дать вам контроль над эмоциями в случае проигрыша. Если вы верите в ее действенность, вспоминайте ее всякий раз, решая, принимать ли небольшой риск с положительной ожидаемой ценностью. Повторяя мантру, помните следующие оговорки:

• Она работает, когда игры по-настоящему независимы друг от друга. Это не относится к множественным инвестициям в одну отрасль, которые все как одна могут окончиться неудачей.

• Возможная потеря не должна внушать вам тревогу за общее благосостояние. Если проигрыш станет сигналом того, что вашему экономическому будущему что-то угрожает, будьте бдительны!

• Ее не следует применять к лотереям с малыми шансами на победу.

Если вы способны держать себя в руках, как требует это правило, то впредь не станете рассматривать малую игру как отдельный, изолированный случай и не испугаетесь потери – даже на смертном одре.

Данный совет не столь уж и невыполним. Опытные трейдеры на финансовых рынках живут им каждый день, укрываясь от боли потерь надежным щитом – принципом широких рамок. Как упоминалось ранее, теперь нам известно, что испытуемых в опытах можно почти полностью исцелить от неприятия потерь (в частном контексте), призывая их «мыслить как трейдер», – подобным образом опытный продавец бейсбольных карточек меньше подвержен эффекту владения по сравнению с новичком. Студенты принимают рискованные решения (согласиться на игру, в которой можно потерять деньги, или отказаться) в зависимости от инструктажа. Если установлены узкие рамки, испытуемым предлагают «обдумывать каждое решение как единственное» и мириться с эмоциями. Инструктаж в условиях широких рамок включает в себя фразы «Представьте, что вы – трейдер», «Как будто все время этим занимаетесь» и «Считайте это одним из многих финансовых решений, которые в сумме составляют некий инвестиционный портфель». Экспериментаторы оценивали эмоциональные реакции респондентов на выигрыши и потери путем измерения физиологических параметров, включая изменение электрической проводимости кожи, используемое при проверке на детекторе лжи. Как и предполагалось, установление широких рамок притупляет эмоциональную реакцию на потери и повышает готовность к принятию рисков.

Комбинация неприятия потерь и «узкорамочного» взгляда – проклятие, ведущее к бедности. Частные инвесторы могут его избежать, приобретая эмоциональные выгоды установления широких рамок: от потери времени и нервов можно избавиться, снизив частоту проверок того, насколько удачны инвестиции. Отслеживание ежедневных колебаний рынка – нерентабельное занятие, поскольку боль от частых и малых потерь превосходит удовольствие от столь же частых приобретений. Частным инвесторам следует проверять ситуацию раз в квартал, а то и реже. Отказ от выяснения промежуточных итогов работы создает благоприятный эмоциональный фон, улучшает качество решений и положительно влияет на результат. Типичная краткосрочная реакция на дурные вести состоит в усилении неприятия потерь. Инвесторы, которые получают накопленную обратную связь за более долгий период, реже испытывают подобное ощущение и в итоге богатеют. Бесполезное стремление ворошить портфель инвестиций уменьшится, если вы не будете знать, как обстоят дела на бирже в каждый конкретный день (или неделю, или даже месяц). Решение не менять позиции в течение нескольких периодов (в инвестиционном бизнесе это называется фиксацией) способствует финансовому успеху.