Глава 5. Противостояние законов больших и малых чисел

В своих работах Кардано, Галилей и Паскаль предположили, что вероятности, соотносимые с задачами, за которые они взялись, уже известны. Например, Галилей предположил, что кость может с равным успехом упасть любой из шести сторон. Однако насколько «прочно» это знание? Возможно, кости герцога были сделаны таким образом, чтобы не отдавать предпочтение ни одной стороне, однако это не значит, что справедливость была на самом деле достигнута. Галилей мог проверить свое предположение путем наблюдений за бросками костей и последующей записи того, как часто кости падали той или иной стороной. Однако если бы он повторил эксперимент несколько раз, он, вполне возможно, обнаружил бы, что каждый раз результаты несколько разнятся, и даже небольшие отклонения могут оказаться значительными, в особенности, если иметь в виду ту крошечную разницу, которую его попросили объяснить. Чтобы ранняя работа из области теории случайности могла быть применена в реальном мире, необходимо задуматься над следующим вопросом: какова связь между неявными вероятностями и наблюдаемыми результатами? Когда мы говорим: шансы того, что кость упадет на 2, равны 1 из 6, что мы имеем в виду с практической точки зрения? Если это не значит, что при любой серии бросков кость упадет на 2 аккурат 1 раз из 6, то на чем тогда основывается наша уверенность, будто шансы бросить кость и получить 2 в самом деле равны 1 из 6? И что подразумевается, когда врач говорит: лекарство в 70 % эффективно, в 1 % случаев влечет за собой серьезные побочные эффекты? Или что при опросе выясняется: кандидата поддерживают 36 % избирателей? Это непростые вопросы, они имеют отношение к самой сути понятия случайности, понятия, о котором математики до сих пор спорят.

Недавно, в один из теплых весенних дней, я ввязался в подобный спор, а моим оппонентом был статистик Моше, приехавший преподавать из Еврейского университета в Иерусалиме; за обедом в столовой Калифорнийского технологического института он сел напротив меня. Отправляя в рот одну за другой ложечки обезжиренного йогурта, Моше напирал на то, что по-настоящему случайных чисел не существует. «Таких в природе нет, – сказал он. – Ну да, они составляют таблицы, пишут компьютерные программы, но на самом деле сами себя обманывают. Никому еще не удалось изобрести метод получения случайных чисел лучший, нежели броски игральных костей, который как раз и не подходит».

Моше махнул пластмассовой ложечкой в мою сторону. Тема его не на шутку взволновала. Я чувствовал, что между его отношением к понятию случайности и его религиозными убеждениями существует связь. Моше – ортодоксальный еврей, а я знаю, что многие верующие люди с трудом могут представить, будто Господь допускает существование случайности. «Предположим, ты хочешь выстроить ряд N случайных чисел между 1 и 6, – говорит Моше. – Ты бросаешь кость N раз и записываешь ряд N чисел, которые выпадают. Как по-твоему, это ряд действительно случайных чисел?»

«А вот и нет, – продолжает он, – потому что никто не может сделать кость, которая была бы идеальна. Некоторые грани всегда будут выпадать чаще, а другие – реже. Может потребоваться 1 тыс., а то и 1 млн бросков, однако рано или поздно это непременно обнаружится. Ты увидишь, что 4 выпадают чаще, чем 6, а может, реже. Любое искусственное устройство обязательно обнаружит в себе такой вот изъян, потому что людям совершенство недоступно». А вот Природе доступно, поэтому истинно случайные события происходят на атомарном уровне. В действительности, это не что иное, как основы квантовой теории, так что остаток обеденного перерыва мы провели в рассуждениях на тему квантовой оптики.

В наше время современнейшие квантовые генераторы, подбрасывая идеальную квантовую кость Природы, выдают по-настоящему случайные числа. В прошлом совершенство, необходимое для изучения случайности, было, конечно же, целью иллюзорной. Наиболее творчески к этому вопросу подошла нью-йоркская преступная группировка, орудовавшая в 1920 г. Каждый день им нужны были случайные пятизначные числа для незаконной лотереи, и гангстеры издевались над властями, указывая последние пять цифр бюджета Министерства финансов. (На момент написания этих строк правительство США имеет долг в 8 995 800 515 946 долларов и 50 центов или 29 679 долларов 02 цента на человека, так что современные гангстеры могли бы брать последние пять цифр из суммы долга на душу населения!) Их так называемая казначейская лотерея запуталась в сетях не только криминальных законов, но и законов научных, поскольку согласно правилу, называемому «законом Бенфорда», цифры, получаемые таким образом, являются не случайными, а скорее стремящимися к цифрам младшего разряда.

Закон Бенфорда был открыт вовсе не неким Бенфордом, а американским астрономом Шимоном Ньюкомбом. Примерно в 1881 г. Ньюкомб заметил, что страницы тетради с логарифмическими таблицами, на которых числа начинались с 1, гораздо сильнее захватаны и истрепаны, чем страницы, на которых числа начинались с 2 и так далее до 9 – те выглядели чистыми, как будто их вообще не открывали. Ньюкомб предположил: те страницы, которые больше всего истрепались, чаще всего и открывали, и на основании своих наблюдений заключил: те ученые, которые до него брали тетрадь, работали с данными, отражавшими подобное распределение цифр. Закон же был назван по фамилии Франка Бенфорда, который в 1938 г. заметил то же самое, что и Ньюкомб, когда просматривал логарифмические таблицы в научно-исследовательской лаборатории «Дженерал Электрик» в г. Скенектади, штат Нью-Йорк. Но ни Ньюкомб, ни Бенфорд не доказали справедливость закона. Это произошло только в 1995 г., и автор доказательства – Тед Хилл, математик из Технологического института Джорджии.

Согласно закону Бенфорда, все девять чисел встречаются совсем не с одинаковой частотой, число 1 встречается в качестве первой цифры в 30 % случаев; число 2 – примерно в 18 % и так далее, до цифры 9, которая в качестве первой встречается лишь в 5 % случаев. Похожий закон, хотя и не столько четко сформулированный, применим к последующим цифрам. Закону Бенфорда подчиняются числа из многих областей, к примеру, из области финансов. В действительности, закон как нельзя лучше подходит для обработки большого массива финансовых показателей на предмет мошенничества.

В одном таком случае был замешан молодой предприниматель Кевин Лоуренс – он умудрился собрать 91 млн долларов на создание сети клубов здоровья, оборудованных по последнему слову техники. Набив карманы наличными, Лоуренс развил бурную деятельность, нанял тучу исполнительных директоров и спустил деньги инвесторов так же быстро, как и собрал. И все бы ничего, за исключением одного: Лоуренс со своей когортой большую часть денег тратили не на развитие дела, а на личные нужды. А так как приобретение нескольких домов, двадцати личных яхт, сорока семи автомобилей (в числе которых пять «хаммеров», четыре «феррари», три спортивных «доджа», два шикарных «форда» и «ламборгини дьябло»), двух часов «Ролекс», браслета с бриллиантами в 21 карат, самурайского меча за 200 тыс. долларов и машины для коммерческого производства сладкой ваты едва ли можно было списать как деловые расходы, Лоуренс с дружками попытались увести деньги путем перечисления их по сложной банковской схеме со счета на счет как средства то одной подставной компании, то другой – все с целью создания видимости активно расширяющегося бизнеса. На их несчастье, заподозривший неладное бухгалтер-криминалист Даррелл Доррелл составил список из более чем 70 тыс. номеров (счета и переводы) и, опираясь на закон Бенфорда, сравнил, как распределяются цифры. А распределялись они вразрез с законом. Это, конечно же, было только началом расследования, однако дальше история развивалась по известному сценарию, а развязка наступила за день до Дня благодарения 2003 г., когда Кевин Лоуренс, окруженный своими адвокатами и облаченный в светло-голубую тюремную робу, был приговорен к двадцати годам заключения без права досрочного освобождения. Налоговое управление США также изучило закон Бенфорда как способ обнаружения случаев налогового мошенничества. Один исследователь даже применил закон к данным налоговых поступлений от Билла Клинтона за тринадцать лет. Цифры распределились в соответствии с законом.

По-видимому, ни нью-йоркские гангстеры, ни те, кто покупал их лотерейные билеты, не замечали в номерах этих самых билетов закономерностей. Но вздумай люди вроде Ньюкомба, Бенфорда или Хилла сыграть в эту лотерею, они могли бы воспользоваться законом Бенфорда и заключить выгодные пари – неплохая прибавка к зарплате ученого.

В 1947 г. ученым из «Рэнд Корпорейшн» понадобилась большая таблица случайных цифр для цели куда как более достойной: найти приблизительные решения определенных математических уравнений с применением способа, метко названного «методом Монте-Карло». Чтобы получить эти цифры, они решили прибегнуть к электронному порождению помех. Но можно ли назвать электронные помехи случайными? Вопрос не менее коварный, чем определение самой случайности.

В 1896 г. американский философ Чарльз Сандерс Пирс писал о том, что «правила и методики, по которым делается случайная выборка, должны быть таковы, чтобы при бесконечном повторении экспериментов в конечном итоге вероятность того или иного результата была равнозначна остальным вариантам при таком же количестве повторений». Это что касается статистического определения вероятности. Альтернативой ему служит субъективное толкование вероятности. При статистическом определении вероятности суждение выносится исходя из того, чем закончилась серия экспериментов, а при субъективном толковании – исходя из того, каким образом эта серия осуществляется. Согласно субъективному толкованию вероятности, число или ряд чисел считаются случайными, если мы не знаем или не можем предсказать ход процесса, в результате которого они появляются.

Разница между двумя определениями гораздо глубже, чем может показаться на первый взгляд. Например, в идеальном мире бросок игральной кости будет случайным по первому определению, но не по второму: вероятности выпадения любой стороны кости равны, но в идеальном мире мы можем воспользоваться точными данными о физических условиях и законах физики, чтобы определить перед каждым броском то, как именно выпадет кость. В полном несовершенства реальном мире бросок кости является случайным по второму определению, не по первому. Объясняется это тем, что, как указал Моше, из-за несовершенства мира кость не выпадет любой из сторон с равной частотностью. Мы же, в силу нашей ограниченности, не имеем предварительных данных о том, какая из сторон кости перед какой имеет преимущество.

Чтобы определить, является ли составленная ими таблица случайной, ученые из «Рэнд Корпорейшн» подвергли ее серии испытаний. При близком рассмотрении оказалось, что в их системе имеются искажения, прямо как у изначально неидеальной игральной кости Моше. Ученые скорректировали таблицу, однако совсем избежать закономерностей так и не смогли. Как сказал Моше, совершенный хаос – это, по иронии судьбы, некое совершенство. И все же числа получились в достаточной степени случайными, чтобы оказаться полезными, и в 1955 г. компания опубликовала их под броским заголовком: «Миллион случайных цифр».

Во время своих изысканий ученые из «Рэнд Корпорейшн» столкнулись с проблемой рулеточного колеса, которая была обнаружена, если говорить абстрактно, почти столетие назад одним англичанином по имени Джозеф Джаггер. Джаггер был инженером-механиком на текстильной фабрике в Йоркшире, так что обладал интуитивным чутьем в отношении всего, что касалось достоинств, а также недостатков оборудования. Однажды в 1873 г. этот инженер с развитой интуицией и изобретательным умом вместо текстиля задумался о деньгах. И задался вопросом: насколько совершенна работа рулеточных колес в казино Монте-Карло?

Колесо рулетки, изобретенное, как гласит легенда, Блезом Паскалем, в то время как он подумывал о создании вечного двигателя, представляет собой большую чашу с ячейками, которые по виду напоминают тонкие куски пирога. Когда колесо вращают, мраморный шарик прыгает вдоль обода чаши и в конце концов остается в одной из ячеек, которые пронумерованы от 1 до 36 и еще добавлен 0 (а также 00 в американской рулетке). Задача игрока проста – угадать, в какую из ячеек упадет в конечном итоге шарик. Существование колеса рулетки является достаточно ярким свидетельством тому, что настоящих экстрасенсов не существует. Ведь если в Монте-Карло вы ставите 1 доллар и угадываете номер ячейки, казино выплачивает вам 35 долларов (и кроме того возвращает вам 1 доллар). Если бы экстрасенсы существовали, вы бы запросто встретили их в подобных заведениях: они бы выходили оттуда, напевая и пританцовывая, и катили перед собой тележку с наличными, а не заводили бы в Интернете сайты, называя себя «Зельдой Всевидящей и Всезнающей», и не предлагали бы круглосуточные консультации в вопросах любви, конкурируя с 1,2 млн других сетевых экстрасенсов (если верить Гуглу). Мне будущее и в особенности прошлое представляется затянутым густым туманом. Однако я знаю одно: вздумай я сыграть в европейскую рулетку, мои шансы проиграть равны 36 из 37, а шансы выиграть – 1 из 37. Это значит, что с каждого 1 доллара, поставленного мной, казино получит (36/37 × 1 доллар) – (1/37 × 35 долларов). То есть, 1/37 доллара или же около 2,7 центов. В зависимости от состояния моего ума это можно назвать либо ценой за удовольствие лицезреть, как маленький мраморный шарик подскакивает на вращающемся блестящем колесе, либо ценой за вероятное озарение. По крайней мере, так оно должно быть.

Но вот так ли оно на самом деле? Только в том случае, если рулеточное колесо точнейшим образом уравновешено, подумал Джаггер. А уж он имел дело со столькими механизмами, что разделял точку зрения Моше. И готов был поспорить: колесо уравновешено вовсе не идеально. Так что он взял свои сбережения, поехал в Монте-Карло и нанял шесть помощников: по одному на каждое из шести рулеточных колес казино. Каждый день помощники наблюдали за колесами и в течение двенадцати часов – часы работы казино – записывали каждое число, которое выпадало. Каждый вечер Джаггер у себя в гостиничном номере анализировал данные. По прошествии шести дней он не обнаружил никаких отклонений у пяти рулеточных колес, зато у шестого девять чисел выпадали заметно чаще остальных. Таким образом, на седьмой день Джаггер пошел в казино и начал ставить на девять выигрышных номеров: 7, 8, 9, 17, 18, 22, 28, 29.

В тот вечер ко времени закрытия казино у Джаггера накопилось 70 тыс. долларов. Его выигрыши не остались незамеченными. Вокруг стола собрались другие игроки – делать ставки в надежде приобщиться к удаче. Работники казино следили за Джаггером в оба, пытаясь разгадать его систему, а то и поймать на мошенничестве. К четвертому дню Джаггер выиграл уже 300 тыс. долларов, а управляющие казино отчаянно искали способ избавиться от таинственного игрока или хотя бы помешать ему. Тут кто-нибудь сразу представит себе дюжего парня из Бруклина. Но управляющие придумали кое-что получше.

На пятый день Джаггер начал проигрывать. Проигрыши, как и выигрыши, нельзя было заметить сразу. И до пятого дня, и после Джаггер когда выигрывал, когда проигрывал, однако теперь он проигрывал чаще, чем выигрывал, хотя раньше все было наоборот. При небольшой прибыли казино на то, чтобы опустошить карманы Джаггера, потребуется время, однако Джаггер, четыре дня кряду тянувший из казино деньги, не собирался снижать ставки. К тому времени, как отвернувшаяся от него фортуна заставила его остановиться, он потерял половину выигранного. Можно представить, до какой степени испортилось к тому времени его настроение, не говоря уже о настроении тех, кому он был обязан отрезвлением. И как только расчет мог вдруг подвести его?

В конце концов Джаггер сообразил, в чем дело. Проводя столько часов за рулеткой, он заметил крошечную царапину на рулеточном колесе. Однако на пятый день царапина исчезла. Может, управляющие любезно распорядились замазать ее, чтобы если уж и обанкротиться, то достойно? Джаггер так не думал, он решил проверить остальные колеса. И на одном из них обнаружил ту самую царапину. Управляющие казино догадались, что успех Джаггера связан именно с этим колесом, и на другой день попросту заменили его. Джаггер перешел к колесу с царапиной и снова стал выигрывать. Вскоре его выигрыш достиг чуть ли не полумиллиона.

На несчастье Джаггера, управляющие, наконец смекнувшие, в чем его удача, нашли-таки способ справиться с ним. Они решили передвигать ячейки каждый раз после закрытия, так что удачливыми каждый раз оказывались другие числа, неизвестные Джаггеру. Джаггер снова начал проигрывать и в конце концов бросил это дело. Завершив карьеру игрока, он покинул Монте-Карло с 325 тыс. долларов, что в пересчете на сегодняшний день равно примерно 5 млн долларов. Джаггер ушел с фабрики, вложив выигранное в недвижимость.

Может показаться, что расчет Джаггера был верным, однако это не так. Потому что даже на идеально отлаженном рулеточном колесе шарик не станет с равной частотой выпадать на номера 0, 1, 2, 3 и так далее. Можно подумать, циферки выстроились в очередь и терпеливо ждут, когда заявится какой-нибудь тюфяк, чтобы подыграть ему. Нет, одни числа выпадают в среднем чаще, чем другие. И даже после шести дней наблюдений оставалась вероятность того, что Джаггер ошибается. Обнаруженная им большая частотность для некоторых номеров могла возникать случайно и совсем не означала то, что Джаггер подумал. Значит, и Джаггер оказался перед вопросом, упомянутом нами в начале главы: какова связь между неявными вероятностями и наблюдаемыми результатами? Паскаль сделал свои открытия во времена научной революции, поэтому ответ на этот вопрос будет найден также в разгар революции, на этот раз в области математики – когда откроют численные методы.

В 1680 г. Вселенную вблизи нашей Солнечной системы прочертила комета, причем так близко, что крошечной частички солнечного света, который она отразила, хватило для того, чтобы комета отчетливо светилась в ночном небе. Впервые комета была замечена в ноябре; несколько месяцев она оставалась объектом пристального наблюдения, ее траекторию вычерчивали самым подробным образом. В 1687 г. Исаак Ньютон воспользуется этими данными в качестве примера действия закона обратных квадратов для силы тяготения. А одной ночью, когда на небе не было ни единого облачка, на крошечном клочке швейцарской земли под названием Базель другой ученый, которому предначертано было прославиться, тоже не отрывал от кометы взгляда. Этот юный богослов смотрел на яркий, дымчатый свет кометы и понял, что хочет заниматься не теологией, а математикой. Решение это не только круто поменяло жизнь Якоба, но и определило сферу деятельности многочисленных представителей семейства Бернулли: в период между рождением Якоба и 1800 г., то есть 150 лет, почти половина родившихся представителей семейства Бернулли оказались людьми одаренными, восемь человек стали известными математиками, а трое (Якоб, его младший брат Иоганн, сын Иоганна Даниил) на сегодняшний момент считаются величайшими учеными.

В то время кометы в глазах теологов да и общества в целом выглядели знамениями божьего гнева, а уж если судить по этой комете, то Бог должно быть был зол как никогда – хвост кометы растянулся на полнеба. Один проповедник назвал комету «небесным предостережением Всемогущего и Святого Господа, начертанным и воздвигнутым перед слабыми и лишенными святости детьми человеческими». Она предвещает, продолжал проповедник, «значительные перемены в плане духовном или мирском» для страны или города. Якоб Бернулли придерживался иного мнения. В 1681 г. он опубликовал брошюру под названием «Новый метод: как посредством некоторых основополагающих законов объяснить путь кометы или хвостатой звезды и предсказать ее появление».

В этом плане Бернулли на шесть лет опередил Ньютона. По крайней мере, опередил бы, если его теория оказалась бы верной. Но верной она не была, однако произнесенное во всеуслышание заявление о том, что кометы подчиняются законам природы, а не прихоти божьей, было довольно-таки смелым, особенно если помнить, что годом ранее – почти через пятьдесят лет после осуждения Галилея – профессор математики из Базельского университета, Питер Мегерлин, неоднократно подвергался нападкам богословов за то, что принял гелиоцентрическую систему Коперника – ему запретили преподавать ее в университете. Между учеными и богословами Базеля произошел раскол, Бернулли же целиком и полностью встал на сторону ученых.

Вскоре талант Бернулли был замечен научным сообществом, и когда в конце 1686 г. Мегерлин умер, его место профессора математики занял Бернулли. К тому времени Бернулли трудился над задачами, связанными с азартными играми. Наибольшее влияние на него оказал голландский ученый и в частности математик Христиан Гюйгенс, который не только усовершенствовал телескоп и первым разглядел кольца Сатурна, создал первые маятниковые часы (основываясь на идеях Галилея), способствовал развитию волновой теории света, но и, вдохновленный мыслями Паскаля и Ферма, написал учебник по вероятности.

Для Бернулли учебник Гюйгенса стал откровением. Что однако не помешало Бернулли увидеть ограниченность теории Гюйгенса. Она могла удовлетворять потребностям игроков в азартные игры, но оставалась бесполезной в других, более насущных сферах жизни. Как можно точно определить вероятность достоверности свидетельских показаний? Или вероятность того, кто – Карл I, король Англии, Шотландии и Ирландии, или Мария I, королева Шотландии – лучше всего играл в гольф? (Оба любили этот вид спорта.) Бернулли считал: чтобы стало возможным рациональное принятие решения, должен быть надежный, подкрепленный математически способ определения вероятностей. Его взгляд отражал культуру тех времен: ведение дел способом, согласующимся с вероятностными ожиданиями, считалось признаком человека здравомыслящего. Но, как считал Бернулли, не одна только субъективность ограничивала ту теорию случайности. По его мнению, теория не действовала в ситуациях незнания, где вероятности различных исходов могли быть определены в принципе, но не на практике. Именно это я и обсуждал с Моше, именно с этим и столкнулся Джаггер: каковы шансы того, что неидеальная кость выдаст 6? Каковы ваши шансы заразиться чумой? Какова вероятность того, что ваш нагрудный щит выдержит удар шпагой противника? Бернулли считал: и в субъективной, и в неопределенной ситуациях будет истинным «безумием» надеяться на некое предварительное знание, то есть знание априори относительно вероятностей, описанных в учебнике Гюйгенса.

Бернулли видел ответ на вопрос таким же, каким позднее его увидит Джаггер: вместо того, чтобы зависеть от данных нам вероятностей, мы должны определить их сами, посредством наблюдений. Будучи математиком, Бернулли добивался точности мысли. Допустим, перед вами вращаются несколько рулеточных колес. Как точно сможете вы определить неявные вероятности и с какой долей уверенности? Об этом мы поговорим в следующей главе, однако это не те вопросы, на которые Бернулли смог ответить. Вместо них он нашел ответ на вопрос, тесно связанный с вышеупомянутыми: насколько четко неявные вероятности отражаются в реальных результатах? Бернулли принял за очевидное то, что мы вполне оправданно ожидаем: с увеличением числа попыток наблюдаемые периодичности с большей или меньшей точностью отразят неявные вероятности. Бернулли конечно же не был первым, кто так считал. Однако он стал первым, кто формально рассмотрел данную проблему, перевел идею в плоскость доказательства и выразил в количественной форме, задавая вопрос: сколько попыток необходимо и насколько уверенными мы можем быть? Он также стал одним из первых, кто оценил важность нового изобретения – математического анализа – при решении подобных задач.

Год, когда Бернулли назначили профессором Базельского университета, оказался важнейшим годом в истории математики: в этот год Готфрид Лейбниц опубликовал свой революционный труд, в котором изложил основы интегрального исчисления – дополнение к работе 1684 г. об исчислении дифференциальном. Ньютон напечатает собственную работу по данной теме в 1687 г., в своих «Математических началах натуральной философии» (часто сокращаемых до «Начал»). В этих прогрессивных работах будет содержаться ключ к работе Бернулли на тему теории случайности.

Ко времени своих публикаций и Лейбниц, и Ньютон уже не один год размышляли на данную тему, однако из их практически одновременных публикаций трудно было понять, кому принадлежит честь открытия. Великий математик Карл Пирсон (он еще встретится нам в главе 8) сказал: о репутации математиков «последующие поколения судят не по тому, что те сделали, а по тому, что современники приписали тем». Возможно, Ньютон и Лейбниц согласились бы с подобным утверждением. В любом случае ни один, ни другой не оказались на высоте, к тому же тот, кто настаивал на первенстве, был известен своей резкостью. В то время результат казался запутанным. Немцы и швейцарцы узнали о математическом анализе из труда Лейбница, а англичане и многие французы – из работы Ньютона. С точки зрения современности разница между обоими трудами невелика, однако в конце концов вклад Ньютона часто выделяется, потому как кажется: он в самом деле был первым, а в «Началах» применил свое изобретение для создания современной физики – таким образом «Начала» становятся величайшим научным трудом. Однако Лейбниц разработал более удачную систему обозначений, именно его символы зачастую используются в современном математическом анализе.

Понять было непросто как Ньютона, так и Лейбница. Помимо того, что «Начала» Ньютона называли величайшим научным трудом, их считали также и «одной из самых недоступных для понимания книг, которые когда-либо были написаны». А труд Лейбница, если верить биографам Якоба Бернулли, «вообще никто не понимал»; он отличался не только туманностью изложения, но и обилием опечаток. Иоганн, брат Якоба, сказал, что это «скорее загадка, нежели разъяснение». И в самом деле, работы эти оказались до того невнятными, что ученые высказывали предположение, будто и Лейбниц, и Ньютон намеренно затуманили смысл, чтобы отпугнуть всякого рода любителей. Однако такое таинственное свойство работ сыграло Якобу Бернулли только на руку, поскольку действительно способствовало отделению зерен от плевел, а интеллект Бернулли подпадал именно под первую категорию. Как только он расшифровал мысли Лейбница, в его распоряжении оказалось оружие, которым владела лишь горстка людей в целом мире, а уже с помощью этого оружия Бернулли мог запросто решить задачи, к которым другие не могли даже подступиться.

Набор основных понятий и для математического анализа, и для работы Бернулли заключается в последовательностях, рядах и пределах. Термин «последовательность» для математика значит практически то же самое, что и для любого другого: определенный порядок следования элементов, таких как точки или числа. Ряды – это не что иное, как сумма последовательностей чисел. Если создается впечатление, будто элементы последовательности ведут к чему-то – к определенной конечной точке или конкретному числу, – то в таком случае мы говорим о пределе последовательности.

Хотя математический анализ представляет собой очередное затруднение на пути к пониманию последовательностей, он, как и многие другие идеи, уже был известен древним грекам. В V в. до н. э. греческий философ Зенон с помощью любопытной последовательности сформулировал парадокс, над которым до сих пор любят поспорить студенты философского факультета, особенно после того, как пропустят по кружке-другой пива. Парадокс Зенона заключается в следующем. Предположим, ученик хочет подойти к двери, расстояние до которой – 1 метр. (В качестве единицы измерения мы берем метр, однако это для удобства; то же самое верно для мили и т. д.) Прежде, чем достигнуть двери, он должен достигнуть точки на полпути к ней. Однако для того, чтобы достигнуть точки на полпути, он прежде должен достигнуть точки на полпути к точке на полпути к двери – иными словами, точки на расстоянии одной четверти пути до двери. И так далее до бесконечности. То есть, чтобы дойти до конечного пункта, он должен пройти следующие последовательности расстояний: 1/2 метра, 1/4 метра, 1/8 метра и так далее. Зенон утверждал: так как последовательности выстраиваются до бесконечности, ученику придется идти бесконечное число конечных отрезков пути. Зенон высказался, что это займет у ученика бесконечное количество времени. И вывод Зенона: он никуда не придет.

В течение столетий кто только ни пытался разрешить это затруднение: от Аристотеля до Канта. Диоген, основатель школы киников, решил подойти к задаче с позиций эмпирических: он просто-напросто сделал несколько шагов и тем самым наглядно продемонстрировал, что дошел до пункта назначения. Тем из нас, кто не учился на факультете философии, подобное решение покажется вполне приемлемым. Однако для Зенона этого было бы недостаточно. Зенон сознавал противоречие между логическим доказательством и доказательством на уровне физических ощущений, вот только он, в отличие от Диогена, доверял именно логике. И застрял на этом вопросе не только Зенон. Даже Диогену пришлось признать, что его собственный ответ оставляет нас перед вопросом, приводящим в тупик (и, как оказалось, отличающимся глубиной): если доказательство, полученное с помощью наших органов чувств, верно, тогда что неверно в логических построениях Зенона?

Рассмотрим последовательность расстояний в парадоксе Зенона: 1/2 метра, 1/4 метра, 1/8 метра, 1/16 метра и так далее (градация все уменьшается). Эта последовательность обладает бесконечным числом ограничений, поэтому вычислить ее сумму путем простого сложения не получится. Однако можно заметить, что хотя число ограничений бесконечно, ограничения эти в своей последовательности все уменьшаются и уменьшаются. Может, существует конечное равновесие между бесконечным потоком ограничений и их бесконечно уменьшающимся размером? Этот вопрос как раз относится к тому самому типу вопросов, на которые возможно ответить, прибегнув к понятиям последовательностей, рядов и пределов. Чтобы увидеть его в действии, не нужно пытаться подсчитать, как далеко зайдет ученик после всей бесконечности Зеноновых интервалов, нужно каждый раз рассматривать по интервалу. Вот расстояния, которые прошел ученик после первых нескольких интервалов:

♦ После первого интервала: 1/2 метра

♦ После второго интервала: 1/2 метра + 1/4 метра = 3/4 метра

♦ После третьего интервала: 1/2 метра + 1/4 метра + 1/8 метра = 7/8 метра

♦ После четвертого интервала: 1/2 метра + 1/4 метра + 1/8 метра + 1/16 метра = 15/16 метра

Таково распределение чисел: 1/2 метра, 3/4 метра, 7/8 метра, 15/16 метра… Знаменатель – степень двойки, числитель на одну часть меньше знаменателя. Глядя на таким образом распределившиеся числа, можно вычислить: через 10 интервалов ученик пройдет 1,023/1,024 метра; через 20 интервалов – 1,048,575/1,048,576 метра и так далее. Из распределения чисел ясно, что Зенон прав – чем больше интервалов, тем больше получаемая сумма расстояний. Однако Зенон не прав, когда говорит, что сумма стремится к бесконечности. Наоборот, числа приближаются к 1; математики сказали бы, что 1 метр является пределом данной последовательности расстояний. Что имеет смысл, потому что хотя Зенон и раздробил путь ученика на бесконечное количество интервалов, он, в конце концов, должен пройти всего 1 метр.

Парадокс Зенона о количестве времени, которое потребуется на то, чтобы пройти путь, но никак не о расстоянии. Если ученик будет шагать в строгом соответствии с интервалами Зенона, ему, конечно же, придется попотеть (не говоря уже о том, что он должен будет совершать крошечные, меньше миллиметра шаги)! Однако если он станет передвигаться с постоянной скоростью, не соблюдая воображаемые Зеноновы интервалы – а почему бы и нет? – время, которое потребуется на преодоление каждого из интервалов, будет пропорционально расстоянию, пройденному за этот интервал, а поскольку в целом отрезок пути конечен, конечно и общее время и – к счастью для всех нас – движение все-таки возможно.

Хотя современная концепция пределов была разработана намного позже того времени, в котором жил Зенон, да и не только он, а и Бернулли – это произошло в XIX в. – именно она составляет суть математического анализа, и именно таковы по сути своей попытки Якоба Бернулли исследовать связь между вероятностями и наблюдением. В частности, Бернулли изучил, что происходит в пределе сколь угодно большого числа многократных наблюдений. Подбросьте сбалансированную монету 10 раз: у вас может выпасть 7 орлов. Однако если вы подбросите монету сто тысяч миллиардов раз, у вас, скорее всего, получится половина на половину. В 1940-х гг. южноафриканский математик Джон Керрич решил проверить это на практике, подбрасывая монету множество раз, приближавшееся к ста тысячам миллиардов – на самом деле 10 тыс. – и записывая результат каждого броска. Вы можете подумать: этот математик мог бы заняться чем-нибудь более полезным, однако он в то время был военнопленным – его угораздило оказаться в Копенгагене как раз тогда, когда немцы в апреле 1940 г. захватили Данию. Согласно полученным данным, после 100 бросков орлы получались только в 44 %, однако к тому времени, когда было сделано 10 тыс. бросков, цифра оказалась гораздо ближе к половине: 50,67 %. Как выразить этот феномен количественно? Ответ на этот вопрос дал Бернулли.

Согласно свидетельствам историка и философа Иэна Хэкинга, работа Бернулли «явилась для общественности ярким предвестником всего того, что нам известно о ней теперь; ее математическая глубина, широчайшее практическое применение, двойственность и приглашение к философским размышлениям. Вероятность проявилась во всей своей полноте». Если же привести более скромные слова Бернулли, то его исследование оказалось «не лишенным новизны и в то же время… невероятной практичности». Бернулли писал, что это стоило ему «огромных усилий». Он работал над своим трудом двадцать лет.

Важнейшим достижением за все двадцать лет непрерывной работы Якоб Бернулли считал «золотую теорему». Ее современные версии, разнящиеся техническими деталями, известны под разными названиями: теорема Бернулли, закон больших чисел, обычный закон больших чисел. Фраза «закон больших чисел» фигурирует потому, что, как мы уже говорили, теорема Бернулли связана со способом, с помощью которого результаты отражают неявные вероятности в процессе многократных наблюдений. Однако мы будем придерживаться терминологии Бернулли и станем называть его теорему «золотой теоремой», потому как будем иметь дело с ее первоначальной версией.

Хотя Бернулли интересовало практическое применение, в некоторых его излюбленных примерах фигурирует предмет, в большинстве домов отсутствующий: заполненный разноцветными голышами сосуд. Согласно одной постановке задачи, Бернулли представил сосуд с 3 тыс. белых голышей и 2 тыс. черных, то есть в процентном соотношении как 60 % и 40 % соответственно. Вы наугад несколько раз вынимаете голыши из сосуда, но «с заменой», то есть перед тем, как вынуть следующий голыш, заменяете уже вынутый, чтобы сохранять соотношение 3 к 2. Таким образом, заранее известно, каковы шансы вынуть белый голыш: 3 из 5 или 60 %. В связи с этим экспериментом основной вопрос Бернулли звучит так: насколько строго количество белых голышей будет держаться в рамках 60 % и с какой вероятностью?

Пример с сосудом хорош тем, что те же самые математические выкладки, описывающие выемку голышей из сосуда, могут быть применены и в случае описания любых серий испытаний, в которых каждое испытание имеет два возможных исхода, при условии, если эти исходы случайны, а испытания не зависят друг от друга. В наше время подобную последовательность испытаний называют испытаниями по схеме Бернулли, а серию испытаний – процессом Бернулли. Когда случайное испытание имеет два возможных исхода, один часто в произвольной форме называют «удачным», а другой – «неудачным». Названия эти весьма условны и порой не имеют ничего общего с обыденными значениями слов – ну, скажем, если вам не терпится читать эту книгу дальше, она, мол, удачная, а если вы используете ее, чтобы не дать замерзнуть себе и своей любимой после того, как все поленья в камине выгорели, то неудачная. Подбрасывание монеты, решение голосовать за кандидата А или кандидата В, рождение мальчика или девочки, приобретение или отказ от приобретения той или иной вещи, излечение или невозможность излечения, даже жизнь или смерть – все это примеры испытаний по схеме Бернулли. Действия, имеющие своим результатом множественные исходы, также могут быть смоделированы по схеме Бернулли, если вопрос формулируется так, чтобы ответом на него было «да» или «нет», например: «Кость выпала стороной 4?» или «Остался ли вообще лед на Северном полюсе?» Таким образом, хотя Бернулли писал о голышах и сосудах, все его примеры в равной степени применимы к этим и многим другим аналогичным ситуациям.

И вот, разобравшись, возвращаемся к сосуду, 60 % голышей в котором белые. Если вынуть из сосуда 100 голышей (положив им замену), можно обнаружить, что именно 60 из вынутых белые, но можно вынуть и 50, 59 белых голышей. Каковы шансы того, что из вынутых вами голышей белых будет от 58 % до 62 %? Каковы шансы того, что вы вынете белых голышей от 59 % до 61 %? Насколько вы можете быть уверены, если вместо 100 голышей вынете 1 тыс. или даже 1 миллион? Вы никогда не можете быть уверены на все 100 %, но возможно ли вынуть достаточно голышей для того, чтобы шансы, скажем, того, что вы вынете белых голышей от 59,9 % до 60,1 %, стали равны 99,9999 %? «Золотая теорема» Бернулли и применима как раз в таких случаях.

Чтобы воспользоваться ею, придется совершить два выбора. Во-первых, вы должны определить, какая погрешность является для вас приемлемой. Насколько должен быть близок к 60 % ряд ваших испытаний? Вам нужно выбрать интервал, например, плюс или минус 1 %, 2 % или 0,00001 %. Во-вторых, вы должны решить, какая неопределенность является для вас приемлемой. Вы не можете быть уверены на 100 % в том, что испытание выдаст результаты, к которым вы стремитесь, но вы можете позаботиться о том, чтобы получать удовлетворительный результат в 99 случаях из 100 или 999 случаях из 1 тыс.

«Золотая теорема» сообщает о том, что всегда возможно вынуть достаточно голышей для того, чтобы быть почти уверенным в том, какой процент белых голышей из вынутых будет ближе всего к 60 %, и это несмотря на то, насколько требовательны вы в своем определении этого «почти уверен» и «ближе всего». С помощью теоремы также выводится формула числа испытаний, которые «достаточны» в рамках приведенного выше определения.

Первая часть закона была достижением на понятийном уровне, именно она и осталась в современной версии теоремы. Что же до второй части – формулы Бернулли – то важно понять: хотя «золотая теорема» определяет число испытаний, достаточных для достижения уверенности и точности, она не говорит, что невозможно достичь этого при меньшем числе испытаний. Это не влияет на первую часть теоремы, для которой достаточно знать лишь то, что число определенных испытаний конечно. Однако Бернулли также намеревался использовать число, выведенное с помощью формулы, в практических целях. Возьмем числовой пример, который Бернулли придумал сам, хотя контекст я изменил. Предположим, 60 % избирателей в Базеле поддерживают мэра. Скольких человек необходимо опросить, чтобы шансы обнаружить, что мэра поддерживают от 58 % до 62 %, равнялись 99,9 %, то есть, чтобы получить результаты с точностью плюс-минус 2 %? (Предположим, оставаясь в согласии с Бернулли, что опрошенные люди выбраны наугад, однако с заменой. Другими словами, возможно, что одного и того же человека вы опросите более одного раза.) Ответ – 25.550, во времена Бернулли почти все население Базеля. Тот факт, что число это невозможно, от Бернулли не ускользнул. Он также знал, что опытные игроки интуитивно угадывают свои шансы на удачу в новой игре, основываясь на выборке, гораздо меньшей, чем тысячи испытаний.

Одна из причин того, почему численная оценка Бернулли была так далека от оптимальной, заключается в следующем: его доказательство было основано на множественных аппроксимациях. Другой причиной было то, что в качестве стандарта достоверности он выбрал 99,9 % – то есть, он предполагал, что получит неверный ответ (ответ, который отличается от верного более чем на 2 %) менее чем в 1 случае из 1000. А это чересчур высокий стандарт. Бернулли назвал его моральной достоверностью, имея в виду степень достоверности, которой, по его мнению, должен обладать человек здравомыслящий, чтобы принять рациональное решение. В наше время мы отказались от понятия моральной достоверности в пользу того, о чем поговорим в последней главе – о статистической значимости – подразумевая, что ваш ответ будет неверным менее чем в 1 случае из 20. Возможно, это скорее к вопросу о том, насколько сильно поменялся мир с тех пор.

Пользуясь современными математическими методами, статистики продемонстрировали, что в опросе, подобном описанному мною, можно получить статистически значимые результаты с точностью плюс-минус 5 %, опросив при этом всего 370 человек. Если же вы опрашиваете 1000, вы выходите на 90 % шанс получить верный результат плюс-минус 2 % (60 % голосование за мэра Базеля). Однако, несмотря на некоторые свои недостатки, «золотая теорема» Бернулли явилась своеобразной точкой отсчета, потому что продемонстрировала, – по крайней мере, в принципе – что достаточно большая выборка почти наверняка отразит неявные настроения населения.

В реальном мире нам нечасто доводится наблюдать чьи-либо действия в количестве тысяч испытаний. Таким образом, если Бернулли требовался чрезмерно высокий стандарт достоверности, в реальных жизненных ситуациях мы часто совершаем ошибку прямо противоположную: предполагаем, что выборка или серия испытаний является репрезентативной, когда на самом деле она слишком малочисленна, чтобы быть надежной. Например, если во времена Бернулли вы опросили бы 5 жителей Базеля, подсчеты по примеру тех, о которых шла речь в главе 4, продемонстрировали бы: шансы того, что вы получите результат 60 % (3 человека) поддержки мэра, равны всего 1 из 3.

Всего 1 из 3? Разве истинное процентное количество сторонников мэра не должно быть наиболее вероятным исходом в случае выборочного опроса голосующих? На самом деле 1 из 3 и есть самый вероятный исход: шансы найти 0, 1, 2, 4 или 5 сторонников ниже, чем шансы найти 3. Тем не менее 3 сторонника едва ли найдутся: существует так много нерепрезентативных возможностей, что их суммированные шансы становятся в два раза больше шансов того, что ваш опрос точно отражает настроение населения. Таким образом, при опросе 5 голосующих в 2 случаях из 3 вы получите «неверное» процентное количество. В действительности, примерно в 1 случае из 10 вы обнаружите, что все голосующие, которых вы опросили, соглашаются либо с тем, что мэр им симпатичен, либо с тем, что он им не симпатичен. Так что если вы отнеслись к выборке из 5 человек серьезно, вы наверняка либо сильно переоценили, либо сильно недооценили истинную популярность мэра у населения.

Превратное представление – или ошибочное интуитивное чутье – относительно того, что небольшая выборка точно отразит неявные вероятности, настолько распространено, что Канеман и Тверский дали ему название: закон малых чисел. На самом деле закон малых чисел – вовсе не закон. Это ироничное название, описывающее ошибочную попытку применить закон больших чисел в том случае, когда на самом деле числа не являются большими.

Если применить не являющийся истинным закон малых чисел только к ситуациям с сосудами, последствия будут невелики, однако, как мы уже говорили, многие события в жизни подпадают под определение процесса Бернулли, так что интуиция часто приводит нас к неправильному истолкованию того, свидетелями чему мы являемся. Вот почему, как я уже писал в главе 1, когда на глазах у людей Шерри Лансинг и Марк Кантон более или менее успешно управляют бизнесом в течение нескольких лет подряд, напрашивается вывод: предшествующий опыт этих управленцев точно предсказывает качество их работы в последующие годы.

Давайте на основе этих идей рассмотрим пример, о котором я коротко упомянул в главе 4: ситуация, в которой две компании или два сотрудника, работающие в одной фирме, соперничают между собой, при этом практически ни в чем не уступая друг другу. Вспомните о генеральных директорах 500 крупнейших мировых компаний, вошедших в рейтинг журнала «Форчун». Предположим, что каждый из генеральных директоров, имея некоторые знания и умения, обладает определенной вероятностью успеха в каждом году (как бы при этом в их компаниях этот успех ни определяли). Простоты ради предположим, что для этих генеральных директоров удачные годы случаются с такой же периодичностью, что и в примерах с белыми голышами и сторонниками мэра: 60 %. (В данном случае чуть большее или чуть меньшее значение числа не оказывает влияния на основную идею.) Означает ли это, что в пределах пятилетнего периода мы можем ожидать от генерального директора успехов в управлении компанией в течение именно трех лет?

Нет. Как показал предыдущий анализ, даже если генеральные директора все поголовно будут обладать стабильным показателем успеха в 60 %, шансы, что в течение заданного пятилетнего периода деятельность конкретного генерального директора отразит это, равны всего 1 к 3! В приложении к 500 компаниям это означало бы, что за последние пять лет около 333 генеральных директоров продемонстрировали уровень деятельности, не отражавший их реальные способности Более того, следует ожидать, что совершенно случайно примерно 1 из 10 генеральных директоров продемонстрирует успех или же неудачу все пять лет подряд. О чем это говорит? Надежнее судить о людях, основываясь на анализе их способностей, нежели на цифровых показателях. Или же, как выразился Бернулли, «не стоит оценивать людские деяния исходя из результатов».

Чтобы возражать против закона малых чисел, нужно обладать твердым характером. Потому как каждый может откинуться на спинку кресла и тыкать в итоговую строку отчета в качестве доказательства. Реальная же оценка знаний человека и его истинных навыков требует доверия, размышлений, верных суждений и, собственно, мужества. Сидя на собрании среди коллег, вы не можете вот так вот запросто встать и заявить: «Не увольняйте ее. Просто она оказалась не на том конце ряда Бернулли». И вряд ли вы завоюете друзей, если выскажетесь о самодовольном типе, умудрившемся продать «тойот» больше всех за всю историю существования автомобильных дилеров, в том духе, что, мол, «это все случайная флуктуация». Согласитесь, происходит такое нечасто. Успешные годы руководителей приписываются их исключительным способностям, объясняются дальновидностью. Когда же успеха не наблюдается, мы зачастую предполагаем, что неудачи точно отражают ту самую пропорцию, в которой таланты человека и его способности заполняют сосуд.

Еще одно ошибочное понятие, связанное с законом больших чисел, состоит в следующем: событие произойдет с большей или меньшей вероятностью по той причине, что за последнее время оно происходило или не происходило. Представление о том, что шансы на событие с постоянной вероятностью возрастают или снижаются в зависимости от того, имело ли событие место в недавнем прошлом, называется заблуждением игрока. Предположим, Керрич подбрасывает монету, выпадает 44 орла на 100 бросков, но ведь монета не будет стремиться к решкам, чтобы сравнять их с орлами. Вот что лежит в основе таких идей, как «удача отвернулась от нее» и «ему везет». Так не бывает. Если на то пошло, полоса везения долго не продлится, а вот полоса невезения, к сожалению, совсем не означает скорого возвращения удачи. И все же заблуждение игрока затрагивает гораздо больший круг людей, чем может показаться, даже если и не на уровне сознательном, то на подсознательном уж точно. Люди ждут, что неудача сменятся удачей, либо беспокоятся, что за везением обязательно последует невезение.

Помнится, несколько лет назад во время круиза я наблюдал за одним энергичным толстяком, который в поте лица совал и совал доллары в прорезь игрального автомата – машина едва успевала заглатывать банкноты. Его спутник заметил, что я смотрю на толстяка, и произнес всего два слова: «Ему везет». Хотя меня так и подмывало ответить, что вовсе даже ему и не везет, я пошел дальше. Сделав всего несколько шагов, я замер: вдруг замигали лампочки и что-то зазвенело, причем этот звон вовсе не походил на мелодичные трели, которые раздавались из автомата тех двоих. Затем я услышал звук быстро высыпающихся монет, которые, как мне показалось, сыпались не одну минуту – они резво вылетали из игрального автомата. Теперь я знаю, что современные игральные автоматы запрограммированы, выигрыш зависит от генератора случайных чисел, который и по закону, и по своим настройкам действительно должен генерировать, как трубят об этом в рекламе, случайные числа, так что каждый нажим на ручку игрального автомата не зависит от всех предыдущих. И все же… Скажу только, что заблуждение игрока – большая иллюзия.

Рукопись, в которой Бернулли изложил свою «золотую теорему», вдруг обрывается, хотя выше автор и обещает написать приложение, в котором будут примеры юридического и экономического характера. Похоже, «Бернулли вдруг бросил все, когда увидел число 25.550», написал историк статистики Стивен Штиглер. На самом же деле рукопись Бернулли уже была в печати, когда в августе 1705 г. он умер «от бруцеллеза», дожив до пятидесяти лет. Издатели обратились к Иоганну Бернулли с просьбой закончить рукопись, но Иоганн сказался занятым. Это может выглядеть странным, однако странностей в семействе Бернулли хватало. Если бы пришлось выбрать из всех когда-либо живших математиков человека самого неприятного, можно было бы смело назвать Иоганна Бернулли. В исторических текстах его неоднократно изображали завистливым, тщеславным, обидчивым, упрямым, раздражительным, хвастливым, нечестным, да к тому же еще и изощренным лжецом. Он многого добился в математике, однако известен также и тем, что выгнал своего сына Даниила из Академии наук, когда тот получил награду, за которую боролся сам. А еще тем, что попытался украсть идеи как своего брата, так и Лейбница, что приписал работу по гидродинамике сына Даниила себе, после чего подделал дату публикации, дабы получилось так, будто его печатный труд вышел раньше.

К тому времени, как его попросили завершить труд умершего брата, он уже некоторое время работал в Базеле, переехав из Гронингенского университета в Нидерландах и занимая место профессора не математики, а древнегреческого. Якобу такие перемены в карьере брата показались подозрительными, особенно потому, что по его представлениям Иоганн древнегреческого не знал. Якоб написал Лейбницу о своих подозрениях: Иоганн якобы приехал в Базель, чтобы занять его, Якоба, место. Так оно и случилось: после смерти брата Иоганн получил его место.

Большую часть своей сознательной жизни Иоганн и Якоб не ладили. В своих математических публикациях и письмах они то и дело обменивались оскорбительными выпадами; по отзывам одного из математиков, их переписка «изобиловала такими выражениями, которыми обычно поносят конокрадов». Таким образом, когда возникла необходимость отредактировать рукопись Якоба посмертно, просьба эта спускалась все ниже и ниже по «цепи питания» и дошла до племянника Якоба, Николаса, сына другого брата, которого тоже звали Николасом. Николасу-младшему в то время исполнилось всего восемнадцать, однако он был одним из учеников Якоба. К сожалению, Николас не был уверен, что справится с задачей, возможно, отчасти потому, что знал о несогласии Лейбница с идеями дяди в отношении применения теории. Поэтому рукопись отлеживалась восемь лет. Наконец, в 1713 г. она была опубликована под названием «Ars conjectandi», или «Искусство предположений». Как и «Мысли» Паскаля, она до сих пор переиздается.

Якоб Бернулли продемонстрировал: с помощью математического анализа можно понять, как неявные вероятности, лежащие в основе естественных систем, отражаются в данных, которые эти системы производят. Что же до вопроса, на который Бернулли не ответил – вопроса о том, как выяснить, основываясь на полученных данных, неявные вероятности событий, – то ответ на него будет найден лишь спустя десятилетия.