Число ф (или золотое сечение) эквивалентно (1 + корень квадратный из 5) / 2 = приблизительно 1,6180339... (см. Уэст, 1979).

Число ф получается путем деления линии АС в точке В таким образом, что АС / АВ = АВ / ВС. Это означает, что весь отрезок должен относиться к большей его части точно так же, как эта большая часть относится к меньшей. Это и есть знаменитое золотое сечение (Уэст, 1979).

Возьмем квадрат со стороной 1 и разделим его пополам, проведя линию между серединами противоположных сторон; у нас получатся два прямоугольника с отношением сторон 1x1/2. Длина диагонали одного из прямоугольников плюс 1 /2 равна ф. Согласно теореме Пифагора, длина такой диагонали (обозначим ее W) находится в следующих соотношениях с двумя другими сторонами: W2 = 12 + (1 /2)2. Или W2 = 1,25 и, таким образом, W = корню квадратному из 1,25, а ф = корню квадратному из 1,25 + (1 /2). Однако корень квадратный из 1,25 можно умножить на 1 в форме √4/2, что дает √4x1,25 / 2 = √5 / 2. Теперь подставим √5/2 вместо √1.25 в уравнение ф = √1,25 + (1/2) и получим ф = (1 + √5) / 2.

Одна из важных характеристик ф заключается в том, что 1 + ф = ф2.

В последовательности Фибоначчи - 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... - каждое последующее число представляет собой сумму двух предыдущих. Соотношения последующих чисел дают все более точные приближения к значению ср (золотого сечения). Так, например, 55 к 34 = 1,61747, тогда как ф (число опять-таки иррациональное, которое невозможно выразить конечными цифрами) = 1,6180... (Герц-Фишлер, 2000; Томпкинс, 1971). Именно благодаря последовательности Фибоначчи ф, по некоторым источникам, контролируют многие явления природы, такие как кривые роста морских организмов (например, спирали раковины моллюска наутилус), семянок в сложных цветах или спирали галактики.

Согласно Шваллер де Любичу (Томпкинс, 1971), древние египтяне знали, что соотношение между π и ф выражается формулой π = ф2 х 6/5. Возьмите два приближенных значения ф в последовательности Фибоначчи и подставьте их в это уравнение, и вы получите приближенное значение π (приближенные значения π становятся все точнее по мере увеличения чисел в последовательности Фибоначчи). Например, приближенное значение π, использованное в Великой пирамиде, составляет

(34/21) х (55 / 34) х6/5 = (55/21) х (6 /5) = (11 /21)х6 = 66 /21 =22/7.

Современный исследователь Стеччини доказал, что в планировке Великой пирамиды, по крайней мере - ее части, использовалось число ф. Предположим, y - это горизонтальное расстояние от середины северной стороны у основания до точки непосредственно под вершиной Великой пирамиды. y равно 0,5 стандартной длины основания = 439,5 локтей (по данным Стеччини), деленному на 2 (230,363178 м, деленные на 2, составляют 115,181589 м). Сказать, что северная сторона пирамиды была возведена с учетом ф, означает признать, что y, деленное на корень квадратный из 1, деленный на ф, равен высоте Великой пирамиды, или 115,181589 / √(1/1,618) = 146,512 м. Это соответствует тому, что Герц-Фишлер (2000) описывает как «теория треугольника Кеплера» применительно к форме Великой пирамиды. Если А - это апофема стороны Великой пирамиды (апофема - это расстояние от середины стороны у ее основания до апекса, или вершины, пирамиды). У Великой пирамиды апофема составляла бы примерно 186,5 м, если бы пирамида была достроена и имела вершину; если же стороны имеют неодинаковые пропорции, у каждой из них будет разное значение апофемы, то, согласно теории треугольника Кеплера, A/y = ф.

Соотношение между этими подходами можно показать следующим образом:

y/√1/ ф = h

y2 + h2 = А2/. Подставив в последнем уравнении y / √1/ф вместо h, получим

y2 + фУ = А2 или (1 + ф) y2 = А2.

Однако одно из свойств ф таково, что (1 + ф) = ф2 (Герц-Фишлер, 2000), так что ф2У2 = А2, или фY = А, а после перестановки - A /y = ф.

Треугольник Кеплера - это прямоугольный треугольник у которого отношение гипотенузы к большему из катетов равно отношению большего катета к меньшему. В треугольнике Кеплера гипотенуза, деленная на длину меньшего катета, равна <р (Герц-Фишлер, 2000). В предьщущих уравнениях A/Y = ср, где А - это гипотенуза, a Y - меньший из катетов. В конкретном случае Великой пирамиды, если мы воспользуемся следующими значениями соответственно для апофемы, высоты и Y: 186,367 м (значение апофемы, рассчитанное на основе двух следующих значений по теореме Пифагора), 146,512 м и 115,182 м, то отношение гипотенузы к длине большего из катетов равно 1270, а отношение большего катета к меньшему -1272, что можно считать весьма близким соответствием.

С теорией треугольника Кеплера совпадает, давая тот же результат, а именно A/Y = ф, так называемая теория равной площади (Герц-Фишлер, 2000). Суть теории равной площади состоит в том, что площадь поверхности одной стороны Великой пирамиды равна квадрату ее высоты. При использовании значений h, А и Y, указанных выше, теория равной площади предусматривает, что

h2 = (1/2) (2A)Y = AY.

По теореме Пифагора мы знаем, что hI + YI = AI.

Произведя перестановку (hI = AI - YI) и подставив эту величину в уравнение Ы = AY, получим:

А2 - Y2 = AY.

Разделив обе стороны на Y2, получим (A/Y)2 - 1 = A/Y, а затем прибавим 1 к каждой из сторон и получим 1 + A/Y (A/Y)2, при условии, что 1 + ф = ф2.

Это означает, что A/Y = ф, что представляет собой тот же результат, что и теория треугольника Кеплера.

Если A/Y = ф, тогда l/ф = Y/A, и по правилу тригонометрии теоретический угол наклона стороны Великой пирамиды будет равен косинусу 1/ф = 1/1,618 = 0,168, что составляет примерно 51,827°.

Не забывайте, что с точки зрения расчетов угла теорию <р можно считать дающей более близкие результаты к реальной форме Великой пирамиды, чем теория треугольника Кеплера или теория равной площади. Впрочем, все три эти теории дают результаты, достаточно близкие к реальным замерам (которые также могут включать в себя определенные отклонения от форм и углов, первоначально намеченных древними архитекторами).

Теорию равной площади поддерживал Тэйлор (1859) и, по крайней мере отчасти, Эгнью (1838, в кн. Герц-Фишлера, 2000). Герц-Фишлер считает вполне возможным, что Тэйлора вдохновили комментарии Эгнью. И если кто и заслуживает доверия в вопросе о полном развитии теории равной площади, то это, на мой взгляд, Тэйлор.

Эгнью и Тэйлор в основу своих концепций (или, в случае Эгнью, протоконцепции) теории равной площади положили собственные интерпретации свидетельств Геродота. Так, Герц-Фишлер (2000) приводит цитату из весьма примечательного фрагмента «Истории» Геродота (кн. 2, глава 124), которая гласит.- «Возведение самой пирамиды заняло двадцать лет. Ее основание - квадрат, сторона которого имеет восемь плефр в длину и столько же в высоту. Вся пирамида сложена из отполированных и превосходно пригнанных друг к другу камней; среди них нет ни одного блока размером менее тридцати футов в длину».

Свидетельство Геродота, при буквальном понимании указанных в нем линейных размеров, невозможно считать точным. Длина сторон Великой пирамиды не равнозначна их высоте, и, кроме того, значения длины сторон не равны их апофеме или ребру (ребро -это грань между двумя смежными сторонами пирамиды от угла основания до ее вершины; длина ребра Великой пирамиды составляет 219 м). Тэйлор предположил, что термин плефрон (мн. число - плефры) использован Геродотом в качестве единицы площади, а не в качестве линейной меры, и действительно, он мог употребляться и в том и в другом значении (кстати сказать, термин плефры неоднократно используется у самого Геродота в качестве меры площади. Понять, как определить площадь поверхности стороны через посредство линейных мер, довольно легко, но как же быть с замерамивысоты, выраженными в мерах площади? Тэйлор высказал предположение, что мера, которую имел в виду Геродот, - это квадрат высоты (площадь поверхности, определенная по формуле h х h), который должен равняться площади поверхности каждой из сторон.

При такой интерпретации мне не вполне понятно, что представлял собой плефрон с точки зрения современных мер. По расчетам Герц-Фишлера (2000), 8 плефр равны 7589 квадратным метрам, но я не уверен, что эти данные точны. С точки зрения теории равной площади особенно важна близость площади поверхности к квадрату ее высоты (h2). Если мы возьмем значение h = 146,6 м, то h2 будет равно 21 492 м2. (Используемые здесь значения высоты, длины стороны и апофемы идентичны значениям этих же величин в книге Герц-Фишлера). Расхождение с точным значением площади составляет всего 7 кв. м, так что теоретические данные и расчеты весьма близки между собой.

Стеччини (1971) рассматривает и другие древние свидетельства о размерах и пропорциях Великой пирамиды, вплоть до Агафархида Книдского (II в. до н.э.), служившего при Птолемеях - царской династии, правившей Египтом. И, согласно интерпретации этих свидетельств, принятой Стеччини, оценка площади поверхности, приводимая Геродотом, весьма точна.

В первом издании своей книги «Наше наследие: Великая пирамида» (1864) Смит нигде не упоминает о теории равной площади, несмотря на то что его труд является лидером по ссылкам на труд Тэйлора о Великой пирамиде. В позднейших переизданиях Смит лишь вскользь упоминает о теории равной площади. Вместо нее он поддерживает теорию о роли ср. Роберт Баллард (1882) пришел к заключению, что Y/A (апофема к половине длины стороны) составляет 34/21, что весьма близко к ср, и использовал это как аргумент в поддержку справедливости теории равной площади. Известный ниспровергатель авторитетов Мартин Гарднер (1957) признавал достоверность теории равной площади применительно к Великой пирамиде. Он писал:

Большинство исследователей Великой пирамиды считают, что Это сооружение изначально было рассчитано на создание идеально квадратной формы основания и правильные пропорции сторон, поднимающихся к вершине под строго одинаковыми углами. Однако Стеччини (1971) на основании собственного анализа взял под сомнение эти утверждения. Стеччини полагает, что исходной точкой для расчетов Великой пирамиды могла послужить длина основания, составляющая 440 локтей, и высота, составляющая 280 локтей, но впоследствии в план строительства были внесены изменения. По мнению Стеччини, длина основания каждой из сторон была доведена до 439,5 локтя (или 230,563 м, на основании использованной Стеччини длины локтя, равной 524,1483 мм, которая якобы применялась в Великой пирамиде). Таким образом, периметр основания Великой пирамиды составлял 1758 локтей (921,453 м), что, по мнению того же Стеччини, эквивалентно половине 1 минуты широты на экваторе, которая, по расчетам древних египтян, была равна 3516 локтям (1842,905 м).

Стеччини (1971) использует данные замеров Коула (1925), чтобы показать, что стороны Великой пирамиды имеют отклонения по длине от идеального квадрата, возникшие отнюдь не случайно, и что планировка основания сознательно отклоняется от идеального квадрата. Стеччини считает, что вначале были уложены (по заранее размеченной линии) блоки западной стороны, после чего, по возможности близко к перпендикуляру к ней, были уложены блоки северной стороны. Что касается восточной стороны, то она была проложена под углом, на 3' превышающим перпендикуляр к северной стороне (т.е. северо-восточный угол Великой пирамиды с самого начала должен был составлять 90° 03' 00"), а южная сторона специально превышала перпендикуляр на S' (то есть юго-восточный угол составлял 90° 00' 30").

Более того, используя данные замеров Коула по небольшой линии, обнаруженной на дороге у основания Великой пирамиды примерно у середины ее северной стороны (некоторые ученые считают эту линию первоначальной осью Великой пирамиды), Стеччини пришел к выводу, что ось север - юг несколько смещена относительно центра и соответственно также была смещена и вершина пирамиды, причем это смещение составляло примерно 35,5 мм к западу (загадочная линия проходит на расстоянии 115,090 м от северо-восточного угла пирамиды). Эта информация свидетельствует о том, что все четыре стороны Великой пирамиды имеют несколько разные углы наклона друг относительно друга, что и предполагал Петри, специально не изучавший этот вопрос.

На основании собственных гипотез и анализа Стеччини пришел к заключению, что западная сторона Великой пирамиды была спланирована с учетом числа ф (примерно 3,14), тогда как северная была размечена с учетом Ѡ (иррациональная величина золотого сечения = приблизительно 1,618). Более того, Стеччини пришел к выводу, что высота Великой пирамиды составляла 279,53 локтя (= 146515,174 мм) - или, во всяком случае, величину, очень близкую к 279,53 локтя.

Допустим, Z - это длина по горизонтали от середины западной стороны основания до точки, находящейся непосредственно под самой вершиной Великой пирамиды; эта величина, по данным замеров Коула (1925), составляет 115,090 м. Поскольку западная сторона была спланирована с учетом числа я, значение 2Z х 4 / 2π эквивалентно высоте Великой пирамиды, или (2x115,090 м х 4) / (2 х 3,14) = 146,6 м. Если же использовать в этом уравнении более точное значение я, то расчетная высота будет составлять 146,518 м.

Обратите внимание, что эти концепции - теория треугольника Кеплера и теория равной площади, рассмотренные ранее (причем последнюю Стеччини использовал для соотнесения длины северной стороны с высотой при использовании Ѡ), - весьма отличаются от концепции «длина стороны, деленная на высоту, равна золотому сечению», рассматриваемой в работе Герц-Фишлера (2000). По данным замеров Коула (1925), длина северной стороны Великой пирамиды составляет 230,251 м, а 230,251 м, деленные на высоту 146,515 м, дают величину 1,5715182, отдаленно напоминающую золотое сечение. Теория «длина стороны, деленная на высоту, равна золотому сечению» дает теоретическое значение угла 51,027° для всех сторон Великой пирамиды. Чтобы рассчитать теоретический угол по этому соотношению, мы можем взять тангенс высоты относительно половины длины стороны: ф = s/h, где h = s/ф, s = hф и s/2 = hф/2, и, таким образом, h / (s/2) = h / (hф /2) = 2/ ф; 2/ф = 1,2360679, а котангенс 1,2360679 равен 51,02655°, то есть в итоге мы имеем величину, не слишком близкую к истинному значению, рассчитанному для Великой пирамиды.