ГЛАВА 11

МАТЕМАТИКА В РЕЖИМЕ СТОП-КАДРА

Комедийный мультсериал «Флинтстоуны», впервые вышедший на экраны в 1960 году, состоял из 166 эпизодов, демонстрируемых на протяжении шести сезонов, и стал самым успешным сериалом прайм-тайма на канале ABC. Однако после этого вплоть до 1989 года больше ничего подобного не создавалось, пока «Симпсоны» не начали свой долгий триумфальный путь из пяти сотен эпизодов. Доказав, что комедийные мультсериалы могут быть интересны как детям, так и взрослым, «Симпсоны» способствовали выходу сериалов «Гриффины» (Family Guy) и «Южный парк» (South Park). Кроме того, Мэтт Грейнинг и его команда сценаристов доказали, что комедии вполне могут обойтись без смеха за кадром, что создало условия для появления таких сериалов, как «Офис» Рики Джервейса.

Еще одним новаторским аспектом «Симпсонов», по мнению сценариста Патрика Веррона, стала популяризация шуток в режиме стоп-кадра: «Если они и не были изобретены в “Симпсонах”, то уж точно были усовершенствованы. Такие шутки остаются незамеченными при просмотре в обычном режиме, поэтому, чтобы их увидеть, необходимо остановить кадр. Многие шутки представляют собой просто названия книг или знаки. Подобные вещи трудно включить в игровой фильм».

Шутки в режиме стоп-кадра (которые могут длиться буквально на протяжении одного-единственного кадра или порой чуть дольше) включались в эпизоды «Симпсонов» с самого начала. В «Барте — гение», первом полноценном эпизоде «Симпсонов», мы видим библиотеку, в которой есть «Илиада» и «Одиссея». Но моргните — и вы пропустите их. Разумеется, прикол в том, что эти древнегреческие тексты написаны Гомером.

Шутки в режиме стоп-кадра позволяли увеличить комедийную насыщенность сериала и включать в эпизоды скрытые ссылки, которые были настоящей наградой для зрителей, обладающих знаниями в соответствующей области. В этом же эпизоде один из учеников на мгновение демонстрирует ланчбокс с изображением Анатолия Карпова. Карпов был чемпионом мира по шахматам с 1975 по 1985 год. Еще он установил рекорд как продавец самой дорогой марки из Бельгийского Конго, ушедшей с аукциона в 2011 году за 80 000 долларов. Если зритель не заметил шутку, он ничего не потерял. Однако если хотя бы один человек увидел и оценил ее, то, по мнению сценаристов, это стоило затраченных усилий.

По большому счету, шутки в режиме стоп-кадра — это продукт научно-технического прогресса. В 1989 году, когда были запущены «Симпсоны», примерно у 65 процентов американских семей были видеомагнитофоны. Это означало, что поклонники сериала могли смотреть эпизоды по несколько раз и делать паузу на тех сценах, в которых они заметили что-то забавное. В тот же период примерно у 10 процентов семей были домашние компьютеры, а некоторые даже имели доступ к интернету. В следующем году появилась группа новостей Usenet alt.tv.simpsons, которая позволяла поклонникам сериала делиться, среди прочего, найденными шутками в режиме стоп-кадра.

По мнению автора книги Planet Simpson («Планета Симпсон») Криса Тернера, самая радикальная версия юмора в режиме стоп-кадра присутствует в эпизоде «Гомер — плохой человек» (Homer Badman, сезон 6, эпизод 9; 1994 год), в котором шоу расследований под названием «Голые факты» ошибочно обвиняет Гомера в сексуальных домогательствах. Ведущий шоу Годфри Джонс вынужден в прямом эфире принести извинения и опубликовать список поправок, представленный в форме текста, быстро прокручивающегося по экрану. Обычный зритель видит лишь размытое изображение, но в этот текст включено тридцать четыре шутки за четыре секунды, причем написаны они достаточно разборчиво, чтобы любой желающий мог остановить эпизод и прочитать текст кадр за кадром.

Важно отметить, что шутки в режиме стоп-кадра открыли для сценаристов «Симпсонов» из числа математиков возможность включать в эпизоды некоторые ссылки для истинных нердов. Например, в эпизоде «Полковник Гомер» (Colonel Homer, сезон 3, эпизод 20; 1991 год) впервые появляется кинотеатр Спрингфилда. Внимательные зрители обратят внимание на то, что он называется «Гуголплекс». Для того чтобы оценить эту аллюзию, необходимо вернуться в 1938 год, к разговору американского математика Эдварда Казнера со своим племянником Милтоном Сироттой. Казнер вскользь упоминает, что было бы неплохо найти термин для описания числа 10¹⁰⁰ (10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000). И девятилетний Милтон предлагает слово «гугол».

В книге Mathematics and the Imagination («Математика и воображение») Казнер приводит продолжение разговора с племянником: «Тогда же, когда он предложил слово “гугол”, он дал имя еще большему числу: “гуголплекс”. Гуголплекс гораздо больше, чем гугол, но все же это число конечно, как сразу уточнил сам изобретатель этого термина. Он предположил, что гуголплекс должен быть равен 1 с таким последующим количеством нулей, которое можно написать, пока не надоест».

Казнер справедливо заметил, что в таком случае гуголплекс будет произвольным и субъективным числом, поэтому предложил принять его более точное значение — 10^гугол. Это число представляет собой 1 с гуголом нулей, что гораздо больше количества нулей, которые можно поместить на одной странице размером с обозримую Вселенную, даже если использовать самый мелкий шрифт.

В наши дни термины гугол и гуголплекс широко известны, поскольку Ларри Пейдж и Сергей Брин использовали слово «гугол» в качестве названия своей поисковой системы. Правда, они отдали предпочтение его более распространенному неправильному написанию, поэтому компания называется Google, а не Googol. Такое название подразумевает, что поисковая система обеспечивает доступ к огромному количеству информации. Как и следовало ожидать, главный офис компании Google нарекли Googleplex.

Сценарист «Симпсонов» Эл Джин вспоминает, что шутки в стоп-кадре с кинотеатром «Гуголплекс» в Спрингфилде не было в первоначальном варианте сценария эпизода «Полковник Гомер». Он убежден, что ее включили во время совместной правки сценария — именно на этом этапе авторы из числа математиков обычно оказывают свое влияние: «Да, я определенно принимал во всем этом участие. Насколько я помню, я не предлагал идею гуголплекса, но совершенно точно смеялся над этим. Идея возникла из-за всех этих кинотеатров, которые называют октоплексами и мультиплексами. Помню, когда я учился в начальной школе, умники постоянно говорили о числе гугол. Эту шутку определенно придумали во время редактирования сценария».

Майк Рейсс, который работал с Джином над «Симпсонами» с самого первого сезона, считает, что спрингфилдский «Гуголплекс», возможно, его идея для шутки в стоп-кадре. Рейсс вспоминает, что когда кто-то из коллег-сценаристов назвал эту шутку слишком трудной для понимания, он начал активно ее защищать: «Кто-то сделал замечание, что я предлагаю шутку, которую никто не поймет, но она все же осталась... Это была совершенно безобидная шутка: насколько смешным может быть такое название для кинотеатра?»

Еще одна шутка в режиме стоп-кадра присутствует в эпизоде «ДеньгоБАРТ». В действительности вы уже могли ее заметить в кадре, представленном на рисунке в главе 6. Ниже этот кадр показан крупным планом, что наверняка поможет вам найти представленную в нем остроту.

THE SIMPSONS™ и © 1990 Twentieth Century Fox Television. Все права защищены

Когда Лиза, пытаясь стать первоклассным бейсбольным тренером, обкладывается стопкой книг, мы видим среди них книгу с корешком, на котором написано: e^iπ + 1 = 0. Если вы изучали математику помимо средней школы, то узнаете в этой формуле уравнение Эйлера, которое еще называют тождеством Эйлера. Объяснение этого уравнения имеет уровень сложности, выходящий за рамки данной главы, тем не менее его элементарное и достаточно формальное объяснение можно найти в . Между тем мы с вами сфокусируемся на первом элементе уравнения — особом маленьком числе, известном как e.

Число e было открыто в ходе изучения математиками одного интересного аспекта такого достаточно скучного вопроса, как банковский процент. Представьте себе простой инвестиционный сценарий, когда человек вкладывает 1 доллар на очень удобный и выгодный банковский счет, обеспечивающий доход в размере 100 процентов в год. К концу года на 1 доллар будет начислен процентный доход в 1 доллар, что дает в сумме 2 доллара.

Теперь вместо 100 процентов годовых рассмотрим сценарий, при котором процентная ставка делится пополам, но рассчитывается дважды. Другими словами, инвестор получает процентный доход в размере 50 процентов через шесть и еще 50 процентов через двенадцать месяцев. Таким образом, спустя первые полгода 1 доллар принесет ему процентный доход 0,50 доллара, что в сумме дает 1,5 доллара. За второе полугодие процент начисляется как на 1 доллар, так и на начисленный процентный доход в размере 0,50 доллара. Следовательно, дополнительный процентный доход, который прибавляется по результатам года, составит 50 процентов от 1,50 доллара, то есть 0,75 доллара, что в сумме даст 2,25 доллара процентного дохода в конце года. Такой способ начисления процентного дохода известен как сложный процент.

Как видите, такой сложный процент, рассчитываемый один раз в полгода, обеспечивает более высокий процентный доход, чем простой годовой процент. Остаток на банковском счете был бы даже больше, если бы сложный процент рассчитывался еще чаще. Например, один раз в квартал (25 процентов каждых три месяца), тогда общая сумма процентного дохода составила бы в конце марта 1,25 доллара, в конце июня 1,56 доллара, в конце сентября 1,95 и в конце года 2,44 доллара.

Эл Джин (который держит топор) был в кабинете, когда Майк Рейсс (слева) предложил назвать спрингфилдский кинотеатр «Гуголплекс». На этой фотографии 1981 года они запечатлены во время учебы в Гарвардском университете, в здании журнала Lampoon под названием Lampoon Castle. Патрик Веррон, жонглирующий шариками, — тоже успешный комедийный сценарист, написавший ряд сценариев, в том числе и для эпизода «Симпсонов» «Милхаус из песка и тумана» (Milhouse of Sand and Fog, сезон 17, эпизод 3; 2005 год). Четвертый член группы — Тед Филипс, умер в 2005 году. Несмотря на то что у Филипса тоже был писательский талант, он предпочел карьеру юриста в Южной Каролине, а также был авторитетным краеведом. Его имя упоминается в эпизоде «Радио Барт» (Radio Bart, сезон 3, эпизод 13; 1992 год). Кроме того, так назван персонаж (Дюк Филипс) мультсериала «Критик», созданный Элом Джином и Майком Рейссом.

Из личного архива Майка Рейсса

Если n — это количество периодов начисления сложного процента (другими словами, сколько раз в год он рассчитывается и прибавляется к основной сумме), то для расчета окончательной суммы (F) можно использовать следующую формулу:

F = $(1 + ¹⁄_n)ⁿ

В случае начисления сложного процента один раз в неделю мы получаем почти на 0,70 доллара больше процентного дохода, чем при начислении простого годового процента. Однако дальнейший расчет сложного процента с еще большей периодичностью обеспечивает совсем незначительное увеличение процентного дохода. Здесь и возникает занимательный вопрос, который очень интересует математиков: если бы сложный процент рассчитывался не только каждый час и даже каждую секунду или микросекунду, а каждое мгновение, то какой была бы сумма на конец года?

Вот вам ответ: 2,718­281­828­459­045­235­360­287­471­352­662­497­757­247­093­699­959­574­966­967­627­724­076­630­353­547­594­571­38­217­852­516­6427… доллара. Наверное, вы догадываетесь, что количество десятичных знаков стремится к бесконечности, а значит, это иррациональное число. Именно его мы и называем числом e.

Число 2,718 обозначено символом e, поскольку оно связано с понятием экспоненциального роста, описывающим поразительные темпы роста в случае, если деньги приносят процент из года в год или нечто другое снова и снова увеличивается фиксированными темпами. Например, если бы стоимость вложенной суммы действительно увеличивалась в 2,718… раза год за годом, то через год 1 доллар превратился бы в 2,72 доллара, через два года это было бы уже 7,39 доллара, через три — 20,09 доллара, затем 54,60 доллара, потом 148,41 доллара, 403,43 доллара, 1096,63 доллара, 2980,96 доллара, 8102,08 доллара и наконец 22 026,47 доллара всего за десять лет.

Столь поразительный темп устойчивого экспоненциального роста редко встречается в мире финансовых инвестиций, но есть конкретные примеры в других областях. Самый показательный пример имел место в сфере технологий и известен как закон Мура, который так назван по имени одного из основателей компании Intel Гордона Мура. В 1965 году Мур подметил, что количество транзисторов, размещаемых на интегральной схеме, удваивается примерно каждые два года, и предсказал, что эта тенденция будет продолжаться. Как и следовало ожидать, закон Мура выполнялся десятилетие за десятилетием. За сорок лет, с 1971 по 2011 год, количество транзисторов удваивалось двадцать раз. Другими словами, за четыре десятка лет их число на интегральной схеме увеличилось в 2²⁰ раз, или примерно в один миллион раз. Именно поэтому у нас теперь есть микропроцессоры с огромной производительностью, себестоимость производства которых существенно снизилась по сравнению с 1970-ми годами.

По аналогии с законом Мура иногда говорят, что если бы производство автомобилей росло таким же стремительными темпами, что и производство компьютеров, то автомобиль Ferrari стоил бы сейчас 100 долларов и мог бы проехать миллион километров на одном литре бензина… но и ломался бы каждую неделю.

Тот факт, что число e связано со сложным процентом и экспоненциальным ростом, — очень интересен, но данное число может предложить миру кое-что еще. Подобно числу π, число e всплывает в самых разных ситуациях.

Например, число e лежит в основе так называемой задачи о беспорядках, более известной как задача о шляпах. Представьте, что вы работаете в гардеробе ресторана — принимаете у клиентов шляпы и складываете их в коробки для шляп. К сожалению, вы не отмечаете, кому какая шляпа принадлежит. Когда посетители ресторана, поужинав, приходят за своими шляпами, вы отдаете им коробки со шляпами в случайном порядке и прощаетесь, прежде чем они их открывают. Какова вероятность того, что ни в одной из коробок не находится шляпа, принадлежащая человеку, которому вы только что вручили коробку? Ответ зависит от количества клиентов (n), а вероятность отсутствия совпадений P(n) можно вычислить по следующей формуле:

Таким образом, в случае одного посетителя вероятность отсутствия совпадений составляет 0, поскольку одна шляпа неизбежно попадет к своему владельцу:

В случае двух посетителей вероятность отсутствия совпадений равна 0,5:

В случае трех посетителей вероятность отсутствия совпадений составляет 0,333:

Для четырех клиентов вероятность равна примерно 0,375, а для десяти — около 0,369. Если количество клиентов стремится к бесконечности, значение вероятности становится 0,367879…, что составляет 1/2,718…, или 1/e.

Вы можете сами проверить эту закономерность, взяв две колоды карт и перетасовав их по отдельности, чтобы карты в каждой колоде располагались произвольным образом. Одна колода символизирует случайный порядок, в котором шляпы укладывались в коробки, а другая — случайный порядок, в котором клиенты возвращались за своими шляпами. Положите обе колоды рядом друг с другом и переворачивайте по одной верхней карте в каждой колоде. Если обе карты имеют одинаковую масть и значение, это засчитывается как совпадение. Вероятность отсутствия совпадений после просмотра всех карт обеих колод близка к 1/e, что составляет примерно 0,37, или 37 процентов. Другими словами, если вы будете повторять весь процесс сотню раз, то вас ждет не слишком активная светская жизнь и примерно тридцать семь колод карт с отсутствием совпадений. Хотя задача о шляпах может показаться тривиальной, она представляет собой фундаментальный вопрос такой области математики, как комбинаторика.

Число e также появляется в процессе изучения кривой особого типа, известной под названием катенарная кривая, поскольку она имеет форму цепи, провисшей между двумя точками. Этот термин, придуманный Томасом Джефферсоном, происходит от латинского слова catena, что означает «цепь». Форма катенарной кривой описывается следующим уравнением, в котором присутствует два числа e:

Шелковая нить в паутине образует ряд катенарных кривых между лучами паутины, что подтолкнуло французского энтомолога Жана Анри Фабра написать в книге The Life of the Spider («Жизнь пауков») следующее: «Здесь снова появляется похожее на абракадабру число e, начертанное на нитях паутины. Давайте посмотрим туманным утром, какая сетчатая структура была создана за ночь. Липкие нити, имеющие гидрометрические свойства, провисают под тяжестью крохотных капель воды и образуют множество катенарных кривых — нитей прозрачных жемчужин, изящных бус, расположенных в изысканном порядке и повторяющих форму кривой качания. Когда солнечные лучи пронизывают пелену тумана, все это начинает светиться разноцветными огнями и напоминает сверкающие нити бриллиантов. Это и есть число e во всем своем великолепии».

Мы можем также обнаружить присутствие числа e в совершенно другой области математики. Представьте себе, что вы на калькуляторе (если он достаточно «продвинутый») генерируете случайные числа от 0 до 1, а затем непрерывно суммируете их до тех пор, пока сумма не превысит единицу. Иногда вам понадобится два случайных числа, в большинстве случаев — три, время от времени — четыре или более, для того чтобы общая сумма превысила 1. Однако в среднем количество необходимых случайных чисел составляет 2,71828, а это, разумеется, и есть число e.

Существует еще много примеров, демонстрирующих, что число e играет массу разноплановых и фундаментальных ролей в разных областях математики. Это объясняет, почему любители чисел испытывают особую эмоциональную привязанность к числу e.

Один из таких поклонников — Дональд Кнут, почетный профессор Стэнфордского университета и подобная Богу фигура в мире информационных технологий. После написания Metafont (программного обеспечения для создания шрифтов) Кнут решил выпускать обновленные версии этого ПО под номерами, связанными с числом e. Это означает, что первая версия называлась Metafont 2, затем Metafont 2.7, затем Metafont 2.71 и так далее, вплоть до текущей версии Metafont 2.718281. Номер каждой новой версии представляет собой более точное приближение истинного значения числа e. Это только один из способов, с помощью которых Кнут выражает свой необычный подход к работе. Еще один пример — предметный указатель его фундаментального труда The Art of Computer Programming (том 1), в котором запись «круговое определение» отсылает читателя к записи «определение, круговое», и наоборот.

Руководители Google, которых можно назвать супергиками, также большие поклонники числа e. Когда в 2004 году они продавали акции компании, было объявлено, что Google планирует заработать на этом 2 718 281 828 долларов, что равно числу е, умноженному на 1 миллион долларов. В том же году компания разместила на рекламном щите следующее объявление:

{первое простое число из 10 цифр подряд, найденное в числе e}.com

Единственный способ определить название этого сайта — проанализировать все цифры числа e и отыскать среди них последовательность из 10 цифр, представляющую собой простое число. Каждый человек, обладающий достаточными математическими знаниями, обнаружил бы, что первое простое число из десяти цифр, которое начинается с девяносто девятой цифры числа e, — это 7427466391. Посетив сайт www.7427466391.com, можно было бы увидеть, что это своего рода виртуальный дорожный знак, указывающий путь к другому сайту, который представляет собой портал для тех, кто хочет подать заявление о приеме в Google Labs.

Еще один способ выразить свое восхищение числом e — запомнить его цифры. В 2004 году Андреас Литцов из Германии запомнил и назвал 316 цифр, жонглируя при этом пятью шариками. Однако 25 ноября 2007 года Бхаскар Кармакар из Индии превзошел Литцова и без всяких шариков поставил новый рекорд, перечислив 5002 цифры числа e за один час 29 минут 52 секунды. В тот же день он точно назвал 5002 цифры числа e в обратном порядке. Это невероятное достижение, но каждому из нас вполне по силам запомнить десять цифр числа e, выучив следующую мнемоническую фразу: I’m forming a mnemonic to remember a function in analysis («Я создаю эту мнемоническую фразу запоминания функции в анализе»). Количество букв в каждом слове представляет собой соответствующую цифру числа e.

И последнее: сценаристы «Симпсонов» тоже в восторге от числа e. Оно не только присутствует на корешке одной из книг в эпизоде «ДеньгоБАРТ», но и особо отмечается в эпизоде «Сражение перед Рождеством» (The Fight Before Christmas, сезон 22, эпизод 8; 2010 год). Последний фрагмент эпизода сделан в стиле образовательной программы для детей «Улица Сезам», поэтому заканчивается традиционной спонсорской рекламой. Однако вместо фразы «Спонсоры сегодняшней программы “Улица Сезам” — буква c и число 9» зрителям озвучили фразу «Спонсоры сегодняшнего показа “Симпсонов” — символ умляут и число e (не путать с буквой “е”). Это число, экспоненциальная функция которого — производная от него самого».

Отправить

bost-rasul

Hfvfpfy