Научитесь писать стихи об уравнениях

Поэтесса Сильвия Плат однажды написала: «День, когда я вошла в кабинет физики, был днем моей смерти» [1] — и продолжила:

«Темноволосый коротышка с высоким сюсюкающим голосом, звавшийся мистер Манци, стоял перед классом в тесном синем костюме, держа в руках деревянный шарик. Он положил его на крутую скошенную горку и дал ему скатиться вниз. Затем он начал говорить о том, что пусть а обозначает ускорение, а t — время, и начал покрывать доску буквами, цифрами и уравнениями. И тогда мое сознание умерло».

Мистер Манци, по крайней мере в этом полуавтобиографическом рассказе Плат, написал 400-страничную книгу без рисунков и фотографий, с одними диаграммами и формулами. Это можно сравнить с попыткой оценить поэзию Плат по критическим заметкам о ее творчестве, а не исходя из ознакомления с ее стихами как таковыми. Плат, как говорится в книге, была единственной ученицей, получившей высший балл, но она ушла с занятий в полном ужасе перед физикой.

«Что есть математика, как не поэзия ума, и что есть поэзия, как не математика сердца?»

Дэвид Смит, американский математик и преподаватель

Ричард Фейнман преподавал курс введения в физику совершенно по-другому. Нобелевский лауреат, Фейнман был энергичным человеком, ради забавы он играл на сдвоенном барабане бонго и разговаривал как простой таксист, а не сведущий в науке интеллектуал.

В возрасте 11 лет Фейнмана неожиданно поразило случайное замечание. Он сказал приятелю, что мышление не более чем разговор с самим собой.

— Да что ты говоришь? — отозвался его друг. — Знаешь коленчатый вал в автомобиле, такой безумной формы?

— Да, и что?

— Отлично. А теперь скажи: как ты его описывал, пока разговаривал сам с собой?

Тогда-то Фейнман и понял, что мысли могут быть не только вербальными, но и визуальными [2].

Позже он написал о том, как в студенчестве безнадежно пытался вообразить и визуализировать электромагнитные волны, невидимые потоки энергии, переносящие все на свете — от солнечного света до сигнала мобильного телефона. Ему было сложно описать то, что он видел внутренним зрением [3]. Если даже один из ведущих физиков мира не может вообразить себе некоторые (пусть и сложные для воображения) понятия, то что говорить о нас, рядовых людях?

Уверенность и вдохновение можно найти в поэзии [4]. Давайте возьмем несколько поэтических строк из песни «Множество Мандельброта» (Mandelbrot Set) [5] американского автора и исполнителя Джонатана Колтона, в которой рассказывается о знаменитом математике Бенуа Мандельброте:

Мандельброт на небесах

Он велел нам выбираться из хаоса, он дал нам надежду,

когда надежд не оставалось

Его геометрия побеждает там, где другие сдаются

Поэтому, если вы когда-нибудь потеряетесь,

бабочка взмахнет крыльями

За миллион миль от вас, и маленькое чудо приведет вас домой

Колтон сумел передать суть математики Мандельброта в эмоциональных и звучных поэтических фразах, складывающихся в образы, которые мы можем мысленно увидеть: легкий взмах крыльев бабочки, которая расправляет крылья за миллион миль от вас, — и ваша жизнь меняется.

Работы Мандельброта по созданию новой геометрии дали нам понимание того, что порой даже то, что на глаз кажется громоздким и бессистемным (например, форма облаков или рисунок береговой линии), в некоторой степени тоже подчиняется определенному порядку. Сложность, видимая глазом, строится по простым правилам — современная мультипликация тому свидетельство. Стихотворение Колтона также содержит отсылку к содержащейся в работах Мандельброта идее о том, что мелкие, незаметные перемены в некой части Вселенной в конечном итоге влияют на все мироздание.

Чем больше вы задумываетесь о словах Колтона, тем больше видите, что их можно отнести к самым разным сферам жизни, и смысл их становится тем яснее, чем больше вы понимаете работы Мандельброта.

В уравнениях, как и в поэзии, есть скрытый смысл. Если вы новичок, столкнувшийся с уравнением в физике, и вас не учили видеть смысл за символами, то строки будут казаться вам мертвыми. Лишь когда вы начнете узнавать больше и видеть скрытый подтекст — тогда смысл начнет мало-помалу проступать, а потом и проявится в полную силу.

В одной из классических работ физик Джеффри Прентис сравнивает то, как неопытный студент-физик и зрелый ученый смотрят на уравнения [6]. Новичок видит в них очередной фрагмент ни с чем не связанной информации, которую нужно запомнить наряду с остальными уравнениями. Опытные же студенты и ученые видят внутренним взором смысл, кроющийся за каждым уравнением, а также место этого уравнения в общей картине мира. Они даже умеют чувствовать отдельные части уравнения.

«Математик, который при этом не поэт, не может быть истинным математиком».

Карл Вейерштрасс, немецкий математик

Когда вы видите букву а, обозначающую ускорение (acceleration), представьте себе, что давите на педаль газа в автомобиле. Почувствуйте, как ускорение придавливает вас к спинке сиденья!

Нужно ли вспоминать эти ощущения каждый раз при виде буквы «а»? Нет, конечно, иначе немудрено сойти с ума от каждой мелкой детали, придуманной для облегчения запоминания. Однако ощущение от нажатия педали газа, сформированное в порцию информации, должно маячить в уме фоном, готовое проникнуть в рабочую память в нужный миг, когда вы пытаетесь вспомнить значение буквы «а», встреченной в уравнении.

Аналогичным образом можно поступать и с буквой m, обозначающей массу (mass). Попробуйте ощутить ленивую инертность 20-килограммового валуна — его так тяжело сдвинуть с места. При виде буквы f, обозначающей силу (force), мысленно представьте себе то, что лежит в основе понятия силы, зависящей как от массы, так и от ускорения: m × a, как в формуле f = m × a. Возможно, вы почувствуете и то, что стоит за f: в силе заключен рев ускоряющегося двигателя, противопоставленный недвижной массе валуна.

Давайте немного разовьем эту идею. Термин «работа» (work) в физике связан с энергией. Мы делаем работу (т.е. тратим энергию), когда толкаем (с силой) что-нибудь на некое расстояние (distance). В формуле w = f × d этот принцип отражен с поэтической простотой. Как только мы видим букву, обозначающую работу, можно попытаться мысленно увидеть (и даже почувствовать телом) то, что стоит за этим понятием. И мы можем наконец оценить поэзию уравнений, записанных вот так:

w

w = f × d

w = (ma) × d

Иными словами, у символов и уравнений есть скрытый уровень текста — смысл, который становится ясен только после того, как вы усвоили соответствующее понятие. Ученые редко употребляют слово «поэзия», но они часто считают уравнения формой поэзии, стенографическим способом кодирования того, что они пытаются увидеть и понять. Наблюдательные люди знают, что стихи могут иметь много возможных смыслов. Студенты, приобретая опыт, постепенно учатся мысленно видеть скрытые смыслы уравнений и даже интуитивно чувствовать разные их трактовки. Графики, таблицы и другие визуальные средства представления информации также содержат скрытый смысл, который зачастую наиболее явно виден именно мысленным взором.

Упрощайте и одушевляйте изучаемое

Сейчас мы уже лучше знаем, каким образом можно представлять себе идеи, лежащие в основе уравнений. При изучении математики и естественных наук одно из самых важных действий — мысленно оживить абстрактные идеи. Сантьяго Рамон-и-Кахаль, например, относился к видимому под микроскопом как к картинам из жизни живых существ, способных надеяться и мечтать, как и люди [7]. Друг и коллега Рамон-и-Кахаля, сэр Чарльз Шеррингтон, введший в оборот слово «синапс», говорил друзьям, что никогда не встречал другого ученого, способного с такой же страстью вдохнуть жизнь в свою работу. Шеррингтон даже задавался вопросом, не эта ли способность стала главной причиной успеха Рамон-и-Кахаля.

Теория относительности Эйнштейна возникла не в силу его математических навыков (он часто вынужден был прибегать к сотрудничеству с математиками, чтобы продвинуться в своих исследованиях), а благодаря его воображению. Он думал о себе как о фотоне, летящем со скоростью света, а затем представлял, как его может воспринимать другой фотон. С чего бы второму фотону уметь видеть и чувствовать?

Барбара Макклинток, награжденная Нобелевской премией за открытие мобильных генетических элементов («прыгающих генов», которые могут менять свое место в цепочке ДНК), однажды писала о том, как она воображала себе кукурузу, которую изучала: «Я даже видела внутреннюю часть хромосом — там все было на месте. К своему удивлению, я чувствовала себя так, будто и вправду там нахожусь, а вокруг друзья» [9].

Такой подход может показаться странным — зачем разыгрывать мысленный спектакль и воображать элементы и механизмы изучаемых явлений в виде живых существ с мыслями и чувствами? Однако такой подход полезен как метод — он вызывает к жизни изучаемые элементы и помогает вам увидеть и понять те феномены, которые вы не смогли бы интуитивно почувствовать, глядя на сухие цифры и формулы.

Упрощение — тоже важный фактор. Ричард Фейнман (тот самый физик, который играет на сдвоенном барабане, мы уже встречались с ним в этой главе) просил ученых, занимающихся естественными науками и математикой, объяснить свои научные идеи простым языком, так чтобы они были ему понятны. Удивительно, что почти любые явления и термины, даже самые сложные, можно объяснить доступным способом. Если пытаться разложить сложный материал на отдельные ключевые элементы и дать им простые объяснения, в результате вы поймете материал намного лучше [10]. Эксперт по вопросам обучения Скотт Янг на основе этого подхода разработал метод, который он назвал «методом Фейнмана» и который предполагает, что для лучшего понимания сути какой-либо идеи нужно найти простую метафору или аналогию [11].

Легендарный Чарльз Дарвин делал почти то же самое. Стараясь прояснить ту или иную концепцию, он представлял, будто в его кабинет кто-то вошел. Он откладывал перо и пытался объяснить воображаемому собеседнику свою идею самыми простыми словами — так он находил способ, которым можно описать это явление в публикациях. Следуя схожему принципу, сайт Reddit.com открыл у себя раздел «Объясните мне так, будто я пятилетний», где любой может разместить пост с просьбой объяснить сложное понятие или явление простыми словами [12].

Может показаться, будто для объяснения предмета нужно его понимать. Однако понаблюдайте за тем, как вы беседуете с людьми об изучаемых вами дисциплинах. К своему удивлению, вы обнаружите, что ситуация, когда понимание приходит в результате попыток объяснить что-то себе или другим, встречается гораздо чаще ситуаций, когда объяснение обусловлено пониманием. Потому-то преподаватели так часто говорят, что впервые постигли материал лишь тогда, когда им пришлось его преподавать.

Приятно познакомиться

«Изучать органическую химию не более сложно, чем знакомиться с новыми персонажами. У каждого элемента — свой нрав. Чем больше вы понимаете этот нрав, тем лучше вы понимаете условия, в которых они взаимодействуют, и предвидите итог их реакций».

Кэтлин Нолта, доктор наук, старший преподаватель химии и лауреат премии Golden Apple за отличное преподавание в Мичиганском университете

ВАША ПОПЫТКА!

Театр в голове Вообразите себя в царстве изучаемых вами явлений — посмотрите на мир с точки зрения клетки, или электрона, или даже математического понятия. Попытайтесь мысленно разыграть пьесу с новыми друзьями — как они будут себя чувствовать и что будут делать?

Перенос — применение изученного к новым контекстам

Перенос — это способность применить то, что вы изучаете, в новом контексте. Например, можно выучить один иностранный язык и затем обнаружить, что второй вам дается легче первого. Это потому, что с первым языком вы приобрели общие навыки изучения иностранных языков, а возможно, еще и знание схожих слов и грамматических структур — и все это было перенесено в процесс изучения второго языка [13].

Изучение математики применительно только к одной области (бухгалтерскому делу, машиностроению, экономике) — почти то же самое, что отказ от изучения иностранного языка: вы окажетесь на всю жизнь привязаны к одному языку и разве что увеличите свой словарный запас. Многие математики считают, что изучать математику исключительно в рамках одной области знаний — прямой путь к менее гибкому и творческому овладению этим предметом.

Математики также полагают, что, если вы изучаете математику, основываясь на абстрактных, организованных в порции информации смыслах и не имея в виду никакой конкретной области применения, вы овладеваете навыками, которые могут легко переноситься в самые разные сферы профессиональной деятельности. Иными словами, вы овладеваете эквивалентом общих навыков изучения иностранных языков. Например, вы можете быть студентом-физиком, но использовать знания общей математики для понимания того, каким образом некоторые аспекты математики могут быть использованы в биологических, финансовых и даже психологических процессах.

Это одна из причин, почему математики любят преподавать математику абстрактную, не связанную с какой-либо наукой или практикой. Они стремятся показать учащимся суть понятий и тем самым облегчить перенос идей в другие сферы [14]. Это примерно как если бы учитель не заставлял вас учить конкретную фразу «Я бегу» на албанском, литовском или исландском языке, а рассказал вам о том, что существует часть речи под названием «глагол» и что глаголы спрягаются.

Проблема состоит в том, что часто бывает куда легче понять математический принцип, если он применен к конкретной задаче, — пусть даже в будущем это осложнит его перенос в другие области. Неудивительно поэтому, что между приверженцами прикладного и абстрактного подходов к обучению математике существуют постоянные трения. Математики пытаются не сдавать позиции и настаивают на том, что абстрактный подход принципиален для процесса обучения. Напротив, преподаватели, обучающие будущих инженеров-машиностроителей, предпринимателей и пр., естественным образом тяготеют к преподаванию математики с упором на конкретные области применения, что позволяет им привлечь студентов и избавиться от необходимости отвечать на их жалобные вопросы типа «Мне это когда-нибудь пригодится?». Кроме того, курс математики, предназначенный для обучения конкретной сфере деятельности, предполагает решение текстовых задач «из реальной жизни», которые представляют собой всего лишь слегка замаскированные математические уравнения. Как у прикладного, так и у абстрактного подхода есть свои достоинства и недостатки.

Перенос благоприятен в том отношении, что он часто облегчает процесс овладения учебным материалом. Джейсон Дечант, преподаватель Питсбургского университета, замечает: «Я всегда говорю студентам, что в ходе занятий им придется учить все меньше, но они мне не верят. На самом деле они изучают все больше и больше, просто со временем им легче удается соединять знания в цельную картину».

Одна из самых серьезных проблем прокрастинации — постоянное отвлечение на телефон, проверку сообщений электронной почты и пр. — состоит в том, что привычное откладывание дел на потом отрицательно влияет на перенос. Студенты, постоянно отвлекающиеся от работы, не только получают более поверхностные знания, но и оказываются не способны легко перенести то немногое, чему они научились, в другие сферы [15]. Оправдываться тем, что между телефонными звонками и электронными письмами вы усердно занимаетесь, не стоит: ваш мозг слишком недолго находится в сфокусированном состоянии, и ему не хватает времени на формирование надежных порций информации, которые принципиально важны для переноса идей из одной сферы в другую.

Перенос идей — действенное средство!

«Я взял способы рыбалки, которые я применял на Великих озерах, и в нынешнем году попытался использовать их на Флорида-Киз. Совершенно другая рыба, другая приманка, никогда не применявшийся способ рыбной ловли — но в результате все получилось! Окружающие думали, что я сошел с ума; было так забавно показывать им, что я действительно поймал рыбу!»

Патрик Скоггин, выпускной курс, изучает историю

ОБОБЩЕНИЕ

• Уравнения — всего лишь способ абстрагировать и упростить понятия. Это значит, что уравнения обладают глубинным уровнем смысла, схожим с глубинным смыслом, присутствующим в поэзии.
• Ваш «внутренний взор» важен, поскольку он помогает разыгрывать сценки и одушевлять то, что вы изучаете.
• Перенос — это способность брать изучаемое и применять его в других контекстах.
• Понимание сути математических принципов — важная часть обучения, поскольку оно облегчает перенос и применение конкретного принципа в различные сферы.
• Заниматься посторонними вещами во время занятий — значит усваивать знания недостаточно глубоко, а это отрицательно влияет на способность к переносу изучаемого материала.

ОСТАНОВИТЕСЬ И ВСПОМНИТЕ Закройте книгу и посмотрите в сторону. Каковы основные идеи этой главы? Можете ли вы увидеть своим «мысленным взором» некоторые из этих идей?

ПРОВЕРЬТЕ СВОИ ЗНАНИЯ

1. Напишите стихотворение-уравнение — несколько строк, передающих глубинный смысл стандартного уравнения.
2. Опишите в нескольких предложениях то, как некоторые изучаемые вами понятия могут быть зримо представлены в театральной пьесе. Каким образом, по-вашему, занятые в этой пьесе актеры должны чувствовать себя и взаимодействовать друг с другом?
3. Выберите усвоенное вами математическое понятие и взгляните на конкретный пример того, как это понятие применяется в жизни. Затем взгляните шире и попробуйте увидеть абстрактную идею, лежащую в основе такого применения. Можете ли вы придумать принципиально другой способ использования того же понятия?