Вечное движение вперед

О том, что «пифагоровы штаны во все стороны равны», знали еще дореволюционные гимназисты, они-то и сочинили эту стихотворную шпаргалку. Да что там гимназисты! Наверное, уже великому Ломоносову, изучавшему геометрию в своей Славяно-греко-латинской академии, приходилось рисовать квадраты на катетах и на гипотенузе. Теорема Пифагора, вероятно, – самое знаменитое математическое положение. Благодаря ей любой школьник знает, что Пифагор Самосский (570 до н. э. – 490 до н. э.) был великим математиком и эту теорему доказал.

На самом деле Пифагор эту теорему не доказывал, а экспортировал в родную Грецию среди прочих тайн Востока. В 18-летнем возрасте он уехал в Египет, где прожил среди египетских жрецов 22 года. Потом ученый оказался на другом конце тогдашнего обитаемого мира, в Вавилоне, но не по своей воле: его увели среди прочих пленников воины персидского царя Камбиза, завоевавшие Египет в 525 году до н. э. В Вавилоне Пифагор тоже общался в основном со жрецами. Вавилонские жрецы были самыми лучшими в тогдашнем мире астрономами и, следовательно, математиками. В Вавилоне Пифагор прожил 12 лет.

Совсем не светочем цивилизации была тогда Греция, а периферией культурного мира. Трудно сказать, много ли было в Вавилоне знатоков греческого языка. Но Пифагор, вероятно, неплохо понимал вавилонян, ибо сам родился в финикийском городе Сидоне и тамошнее семитское наречие, родственное аккадскому языку Вавилона, знал с детства.

В почтенном уже по тем временам возрасте, в 56 лет, отягощенный многими знаниями, Пифагор вернулся на остров Самос, откуда когда-то уехал в Египет. Самосцы почитали возвратившегося Пифагора великим мудрецом и философом. Но Пифагор рассчитывал на большее. Он видел себя Великим жрецом, наставником народа и советником правителей. А на Самосе правил тиран Поликрат, который ревностно оберегал свою власть. Править он намеревался без всяких советников и следил, чтобы среди его подданных не появлялось слишком выдающихся личностей, претендентов на власть. Короче говоря, на Самосе стало Пифагору неуютно, поэтому он уплыл с восточной части заселенных греками территорий (остров Самос расположен у берегов нынешней Турции) в одну из самых западных греческих колоний, город Кротон в Южной Италии.

На новом месте Пифагор достиг того, чего давно хотел. Он стал главой философской школы (пожалуй, даже религиозной секты). Полученные им на востоке знания, в том числе и математические, Пифагор излагал ученикам нарочито туманно, обожествляя числа и геометрические фигуры. Кроме того, он проповедовал здоровый образ жизни, аскетизм и строгую мораль. А еще высказывался в том духе, что власть должна принадлежать касте мудрых и знающих людей, которым народ обязан подчиняться безоговорочно, как дети подчиняются отцу. Ясно, что на роль мудрого отца Пифагор определил себя.

До успеха, казалось, недалеко. Учеников у Пифагора набралось много. Были они молоды, не прочь подраться, и, не сильно разбираясь в деталях учения, попросту обожествляли своего учителя и идейного руководителя. Пифагорейцы едва не пришли к власти в Кротоне. Но что-то все же не срослось. Пифагор бежал из Кротона в другую греческую колонию – Метапонт, где и умер.

Пифагор и пифагорейцы, пожалуй, не зря обожествляли числа и прочие математические объекты. В самом деле, математика – наука удивительная. Числа и фигуры в реальном мире не существуют, живут они только в наших головах. Живут по своим строгим логическим законам. Но при этом математические абстракции обладают способностью точно и однозначно описывать окружающий нас мир.

К чему далеко за примером ходить? Одним из основателей современной европейской математики считается Леонардо Пизанский (Leonardo Pisano; около 1170 – около 1250) по прозвищу Фибоначчи (Fibonacci). Он был купцом и сыном купца, жил в итальянском городе Пиза. Вместе с отцом Леонардо побывал в Египте, Сирии, Византии. Через Византию и через Египет в Европу поступали восточные товары. Ткани, пряности и драгоценности Востока очень ценились. Пизанские корабли постоянно пересекали Средиземное море, богатство города и его жителей прирастало.

Леонардо Пизанский вывозил с Востока не только дорогие товары. Он знал арабский язык. В арабском переводе Фибоначчи читал трактаты античных и индийских математиков. Эти трактаты в те времена размножали в библиотеках Багдада. Леонардо обобщил все, что узнал, в первом в средневековой Европе математическом труде, который назвал «Книгой абака». Абак – это древнеримские счеты, остававшиеся и во времена Фибоначчи главным «компьютером».

В своей книге Фибоначчи сообщил европейцам о десятичной системе счисления, которую арабы переняли у индийцев. Привычная и понятная нам позиционная система счисления, позволяющая для написания любого (сколь угодно большого) числа обойтись всего десятью цифрами, была для европейцев того времени откровением. Раньше они пользовались римскими цифрами. При такой записи чисел процедуры сложения и вычитания превращались в хитроумные трюки, умножение же и деление были попросту высшим математическим пилотажем, не каждому доступным.

«Книга абака» включала в себя все известные на тот момент знания по арифметике и алгебре. Другая книга Фибоначчи, «Практика геометрии», была сводом знаний по геометрии. Обе книги выдержали испытание временем.

Едва ли не четыре сотни лет они были главными учебниками математики в Европе.

В «Книге абака» Фибоначчи описывает и свое собственное математическое изобретение – числовой ряд, в котором каждый последующий член равен сумме двух ему предшествующих.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Этот ряд – решение задачи о потомстве двух кроликов, сформулированной самим Фибоначчи. Человек посадил пару кроликов в загон, окруженный со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов за год может произвести на свет эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару?

С точки зрения математиков эта последовательность очень интересная. Одна из главных ее особенностей – отношение каждого последующего члена этого ряда к предыдущему неуклонно приближается к числу 1,618. «Волшебное» это число известно с античных времен и называется еще «золотым сечением». Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Еще древнеегипетские и древнегреческие архитекторы установили, что если пропорции здания соответствуют золотому сечению, здание кажется нам красивым. К тому же оно оказывается наиболее устойчивым. Да и пропорции человеческого тела соответствуют «странной» цифре. Этот факт демонстрирует всем известный рисунок Леонардо да Винчи: фигура человека, помещенная в круг. Расстояние от ног человека до пупа (центра тела) и от пупа до головы находятся между собой в «золотой пропорции». Более того, многие существующие в природе спирали (рога животных, морские раковины, даже космические галактики) образуются как последовательность окружностей, радиусы которых относятся между собой, как числа Фибоначчи. Обычная для математики история. Математический объект возникает в результате решения какой-нибудь математической задачи, исследуется математиками по законам логики и возникает перед их мысленным взором во всей красе. И затем обнаруживается в самых разнообразных областях природы и жизни. Благодаря этому странному свойству математики возникла теоретическая физика, которая строит математические модели природы и с помощью этих моделей предсказывает новые физические эффекты.