Глава I
Смысл чисел

Необходимо прежде всего определить некоторые основные понятия, употребляемые здесь в строгом и отчасти новом смысле; их метафизическое содержание само выяснится в ходе дальнейшего изложения, но уже с самого начала они должны быть ограждены от всякой двусмысленности.

Обыденное различие между бытием и становлением, принятое также философией, непригодно для передачи сущности той противоположности, какая здесь имеется в виду. Бесконечное становление – действие, «действительность» – всегда можно рассматривать как состояние и, следовательно, приравнивать бытию, примером чего могут служить физические понятия постоянных скоростей и состояния движения или основные представления кинетической теории газов. Напротив того, можно вместе с Гете различать становление и ставшее (das Gewordene) как последние элементы данного в сознании и вместе с сознанием. Пусть даже мы усомнимся в возможности приблизиться к последним основаниям человеческого путем абстрактного образования понятий, но, во всяком случае, существует ясное и определенное чувство, из которого возникает это основное противопоставление, затрагивающее последние границы сознания, изначальное нечто, которого вообще можно достигнуть.

Отсюда с необходимостью следует, что становление всегда лежит в основе ставшего – a priori в кантовском смысле, – но не наоборот.

Далее, я различаю при помощи терминов «собственное» (das Eigene) и «чуждое» (das Fremde) два изначальных факта сознания, смысл которых всяким бодрствующим, не грезящим человеком постигается с непосредственной внутренней достоверностью и не может быть ближе установлен посредством определения. Элемент «чуждого» всегда стоит в некотором определенном отношении к изначальному факту, обозначаемому словом чувственность (внешний мир, жизнь в ощущениях). Философская сила образности у великих мыслителей всегда пыталась уловить это отношение посредством таких полувоззрительных схематических концепций, как явление и вещь в себе, мир как воля и представление, «Я» и «не-Я», хотя это намерение явно превосходит возможности точного человеческого познания. Точно так же в изначальном факте, обозначаемом посредством «Я» (внутренняя жизнь, личность), скрывается элемент «собственного» таким образом, что его строгое понимание также ускользает от методов абстрактного мышления.

Я обозначаю, далее, словами «душа» и «мир» то противопоставление, наличность которого тождественна факту бодрствующего чисто человеческого сознания. Существуют степени ясности и резкости этого противопоставления, то есть степени сознательности, духовности, следовательно, жизни: начиная от едва брезжущих мифических сумерек первобытного человека и ребенка – сюда относятся все реже встречающиеся мгновения религиозного и художественного вдохновения – и кончая крайней остротой бодрствования, как то бывает в состояниях кантовского и наполеоновского мышления. Эта элементарная структура сознания, как факт непосредственной внутренней достоверности, не поддается дальнейшему расчленению; не менее достоверно, что душа и мир, только словесно и в известной мере искусственно отделимые моменты, всегда соединены вместе и выступают всегда как единство, как цельность, так что на чистом факте сознания никак не может быть обоснован теоретико-познавательный предрассудок прирожденного идеалиста или реалиста, соответственно которому или душа лежит в основе мира в качестве чего-то первичного – как говорят, «причины», – или мир в основе души. Если философская система подчеркивает тот или другой из этих моментов, это служит, скорее, показателем индивидуальных свойств и может иметь только чисто биографическое значение.

Если понятия становления и ставшего применять к этой полярной структуре сознания, то слово жизнь получает совершенно определенный смысл, очень близкий становлению. Становление и ставшее можно обозначить как факт и предмет жизни. Настоящая, идущая вперед, постоянно себя восполняющая жизнь в каждое мгновение тождественна собственному бодрствующему сознанию – этот факт и есть настоящее, – она, как и все становление, имеет таинственный признак направленности – невыразимое чувство (чувство жизни), которое человек во всех разработанных языках напрасно пытается выразить словом время и мысленно охватить относящиеся сюда проблемы. Отсюда глубокое отношение ставшего (застывшего) к смерти.

Если душу называть возможным (делая особое ударение на бессознательном по сравнению с сознательным), мир же, в противоположность этому, назвать действительностью – значение этих выражений для внутреннего чувства не вызывает никаких сомнений, – то жизнь представится образом, в котором совершается осуществление возможного. В отношении к признаку направленности возможное называется будущим, осуществленное – прошедшим. Самое осуществление – средоточие и смысл жизни – мы называем настоящим. «Душа» есть завершаемое, «мир» – завершенное, «жизнь» – завершение. Выражения – мгновение, длительность, развитие, жизненное содержание, жизненная задача, назначение, объем, цель, конец, наполненность и пустота жизни – получают в силу этого определенное значение для всего последующего, именно для понимания исторических явлений. Наконец, слова история и природа, как уже было упомянуто, должны применяться в совершенно определенном, не употреблявшемся до сих пор смысле. Под ними следует понимать различные способы, дающие возможность охватить всю совокупность опознанного, становления и ставшего, жизни и прожитого в некотором едином, одухотворенном, упорядоченном образе мира (космос, мироздание, вселенная), смотря по тому, что господствует над нераздельным впечатлением – становление или ставшее, направленность или протяженность («время» или пространство»). Здесь речь идет не об альтернативе, но о шкале бесконечно многих и очень разнородных возможностей обладания «внешним миром» как отблеском и символом собственного существования, шкале, крайностями которой являются чисто органическое и чисто механическое миросозерцания (в дословном значении: созерцание мира). Первобытный человек (насколько мы себе представляем его сознание) и дитя (как мы себя помним) еще не обладают этими возможностями с достаточной ясностью для образования конструкции. Одним из условий этого высшего миропонимания следует признать обладание речью, но не человеческой речью вообще, а культурным языком, которого у первобытного человека еще нет, а у ребенка хотя и есть, но смысл его ему еще недоступен. Оба, другими словами, еще не обладают ясным и отчетливым мышлением о мире; у них есть только некоторая догадка и недействительное знание истории и природы, в соединение которых оказывается вплетенным их собственное существование: они не имеют культуры.

Это слово получает, таким образом, определенный, весьма знаменательный смысл, который мы будем иметь в виду во всем последующем. Соответственно выбранным выше обозначениям души как области возможного и мира как области действительного я различаю возможную и действительную культуру, та есть культуру как идею – всеобщего или единичного – существования и культуру как тело этой идеи, как сумму ее выражения, сделавшегося чувственным, пространственным, доступным: дела и намерения, религию и государство, искусство и науки, народы и города, хозяйственные и общественные формы, язык, право, обычаи, характеры, черты лиц и манеры. Тесно связанная с жизнью, со становлением, история является осуществлением возможной культуры.

Необходимо добавить, что эти основоположные установления большей частью лежат за пределами возможности передачи посредством понятия, определения и доказательства, что они соответственно своему глубокому значению должны быть скорее пережиты, почувствованы, узнаны. Существует редко оцениваемое различие между переживанием и познанием как формами отношения между своим и чужим («субъектом и объектом»). Оно становится более ясным в различении между непосредственной достоверностью, как она дается разными видами интуиции (озарение, вдохновение, художественное созерцание, «точная чувственная фантазия» Гете), и результатами разумного опыта и экспериментальной техники. Средством сообщения в первом случае является сравнение, картина, символ, во втором – формула, уравнение, схема. Ставшее познается или, лучше сказать, бытие ставшего оказывается для человеческого духа тождественным выполненному акту познания. Становление может быть только; пережито, только почувствовано в глубоком безмолвном понимании. На этом зиждется то, что называется знанием людей. Понимать историю – значит быть знатоком людей в высшем смысле слова. Чем более чиста картина истории, тем менее для нее подходящим является собственно земной взгляд; ему в этом случае нечего делать при помощи тех средств познания, которые исследует «Критика чистого разума». Механизм чистой картины природы, мира Ньютона и Канта, познается, понимается, расчленяется в законы и уравнения и, наконец, приводится к системе. Организм чистой картины истории, каким является мир Плотина, Данте и Бруно, наглядно представляется, внутренне переживается, постигается как образ и символ и, наконец, передается в стихотворной и художественной концепции. Гетевская «живая природа» есть истерическая картина мира.

Переживание и познавание суть акты сознания отдельных людей. Их результат, ставший уже частью прошедшего, воспоминание, знание называется переживанием или познанием. Что-нибудь понимать – исторически или естественнонаучно – это значит уметь органически внести понимаемое в наличную сумму переживаний или познаний.

Число, лежащее в основе всей математики как просто данный элемент, я избираю примером того способа, каким душа пытается осуществить себя в картине окружающего ее мира, насколько, следовательно, осуществленная культура является выражением и отображением идеи человеческого существования. Я избираю число еще и потому, что математика, мало кому доступная в своих глубинах, занимает особое место среди всех творений духа. Она – наука строгого стиля, как логика, но с большим охватом и значительно более богатым содержанием; она – настоящее искусство, рядом с пластикой и музыкой, если говорить о необходимости вдохновения и великих формальных условностей для ее развития; она, наконец, – метафизика высшего ранга, как это доказывают Платон и особенно Лейбниц. Всякая философия до сих пор вырастала в связи с соответствующей математикой. Число есть ставшая образом идея причинной необходимости, подобно тому как представление о Боге, которое всякая культура вновь создает из своих величайших глубин, есть ставшая образом идея необходимости судьбы. В этом смысле существование чисел можно назвать мистической тайной, и религиозная мысль всех культур не свободна от этого отпечатка.

Всякое становление имеет изначальный признак направленности (необратимости), а все ставшее имеет признак протяженности, и именно так, что только искусственное разделение значения этих слов представляется возможным. Настоящая тайна всего ставшего и, следовательно (пространственно-материально), протяженного духовной стороной всякой культуры воплощается в типе математического (мертвого) числа в противоположность – хронологическому. В его сущности уже лежит стремление к механическому полаганию границы. Число в этом отношении родственно слову, которое – в качестве понятия, «поемля», «обозначая» – точно так же разграничивает впечатления, получающиеся от мира. Наиболее глубокое здесь, во всяком случае, непостижимо и неизреченно. Действительное, ставшее вещью число, точно представленный, названный, написанный числовой знак (цифра, формула, знак, фигура) – только это подлежит математическому рассмотрению, является для него, как всякое подуманное, сказанное, написанное слово, готовым оптическим символом, чувственным и сообщаемым, в котором отображается полагание границы. Изначало числа похоже на изначало мифа. Римлянин возвысил numina, неопределимые впечатления природы («чуждое»), до божества, заклиная их именами, ограничивая их. Точно так же числа и слова суть оформленное, околдованное формой мироощущение. С ними дух («собственное») достигает могущества. С ними он упорядочивает и расчленяет мир. Все настоящие акты познания – не акты переживания, – связанные как таковые с наличностью культурного языка, имеют ту же самую цель. Определение, суждение, закон, система – результаты выполненного полагания границы; установка причинных соотношений, которыми исчерпывается сущность всех естественных наук, заключается, собственно, в точном ограничении двух впечатлений, называемых в отношении к числу – причиной и действием, в отношении к слову – основанием и следствием. На этом покоится внутреннее родство строения высокоразвитого языка (грамматика, синтаксис) с соответствующей математикой. Логика есть всегда род математики» и наоборот. Следовательно, во всех актах сознания, которые имеют отношение к математическому числу – измерении, счете, обозначении, взвешивании, упорядочивании, делении, – лежит общая тенденция к ограничению ставшего и протяженного, и только посредством едва еще познанных актов этого рода для бодрствующего человека действительно существуют объективные предметы, свойства, отношения, единичное единство и множество, короче, воспринятая как необходимая и непоколебимая структура той картины мира, которую он называет «природой» и как таковую познает. Природа есть счислимое. История есть совокупность того, что не имеет отношения к математике. Отсюда математическая достоверность законов природы, замечательный взгляд Галилея, что природа запечатляется «на языке математики», и выдвинутый Кантом факт, что точное естествознание простирается ровно настолько, насколько возможно применение математического метода.

В числе как знаке выполненного, экстенсивного ограничения заключена, следовательно, сущность всего действительного, являющегося вместе с тем ставшим, познанным, ограниченным; это с внутренней достоверностью постиг Пифагор необыкновенной, прямо-таки религиозной интуицией. Однако если под математикой понимать обладание врожденным, виртуальным миром чисел, то ее не следует смешивать с гораздо более узкой научной математикой, учением о числах. Одна есть творческое и необходимое свойство сознания, другая – возможный род его духовного развития. Написанная математика, система мертвых положений, столь же мало, как и заключенная в теоретические работы философия, представляет полный состав математических и философских возможностей, которые таятся в глубине культуры. Существуют еще и совершенно иные пути сделать наглядным лежащее в основе числа изначальное чувство, подчинить оформляющему принципу ставшее и протяженное, будь то материя или пространство. В начале всякой культуры возникает архаический стиль, который можно было бы назвать геометрическим не только в раннеэллинском искусстве. Есть что-то общее, явно математическое, в дипилонском стиле древнегреческих погребальных урн, в стиле египетских храмов четвертой династии, с безусловным господством в нем прямой линии и прямого угла, в иератическом стиле древнехристианского рельефа саркофага и в романском орнаменте. Каждая линия, каждая фигура человека или животного, с ее совсем не подражательной тенденцией, раскрывает здесь мистический смысл числа в непосредственном отношении к тайне и культу смерти (окаменевшего).

Готический собор и дорический храм – это окаменевшая математика. Пифагор научно верно понял античное число как принцип мирового порядка осязаемых вещей, как меру и величину. Именно тогда число нашло выражение и в прекрасном порядке телесно-чувственного единства, установленного строгим каноном эллинских статуй, и в дорическом, как и ионическом орденах колонн. Все великие искусства оказываются некоторым родом ограничения, богатого содержанием и устанавливаемого посредством числа. Вспомним проблему пространства в живописи. Высокая математическая одаренность даже без всякой науки может быть продуктивной и достигнуть своего полного осознания. Если мы учтем огромное значение, которое уже в древнем царстве, за 2800 лет до Р. X., имело число при делении пространства храмов в пирамидах, технике строений, орошения, управления, не говоря уже о египетском календаре, – мы едва ли станем утверждать, что ничего не стоящая «счетная книга Яхмоса» эпохи Нового царства определяет уровень египетской математики. Австралийцы, духовное развитие которых еще находится на ступени первобытного человека, обладают математическим инстинктом, или, что то же самое, богатством числа, еще не оформленного словом и знаком, богатством, которое в отношении интерпретации чистой пространственности значительно превосходит греческое. Они изобрели в качестве оружия бумеранг; его действие позволяет заключать об инстинктивном умении обращаться с тем родом чисел, который мы предоставили бы высшему геометрическому анализу. Австралийцы обладают соответственно этому – такая зависимость выяснится далее – крайне сложным церемониалом и такой тонкой терминологией градаций родства, какая нигде больше не встречается, даже при высокой культуре. Соответственно этому греки в их наиболее зрелое время, при Перикле, не имели склонности, по аналогии с Эвклидовой геометрией, ни к церемониалу общественной жизни, ни к уединению, в полную противоположность барокко, которое рядом с анализом пространства видело возникновение дворца Короля-Солнца и государственной системы, покоящейся на династическом родстве.

Это стиль души, который находит свое выражение в мире чисел, но не в исключительно научном их понимании.

Отсюда вытекает очень важное обстоятельство, которое до сих пор было скрыто от взоров самих математиков.

Числа в себе – нет и не может быть. Есть много миров чисел, потому что есть много культур. Мы имеем индийский, арабский, античный, западноевропейский тип числа, каждый в основе своей – нечто своеобразное и единственное, каждый – выражение своеобразного мироощущения, каждый – символ значимости, точно ограниченной наукой, принцип порядка ставшего, порядка, отображающего глубочайшую сущность одной-единственной души, той, которая является средоточием именно этой, а не какой-нибудь другой культуры. Существует, следовательно, более чем одна математика. Ибо, без сомнения, архитектоника Эвклидовой геометрии совершенно другая, чем архитектоника картезианской; анализ Архимеда совсем другой, чем анализ Iaycca, не только по языку формы, намерениям и средствам, но другой в своей глубине, в изначальном феномене числа, научное развитие которого он представляет. Это в духе и духом зачатое число, переживание границы, которое с внутренней необходимостью осмысленно и оформлено при помощи числа, следовательно, также вся природа, протяженный мир, картина которого возникла посредством этого спонтанного полагания границы и который всегда доступен трактовке только одного-единственного рода математики, – все это говорит не о человечестве вообще, но всегда о каком-нибудь одном определенном человечестве.

Стиль возникающей математики обусловлен культурой, в которой она коренится, и людьми, размышляющими о ней. Ибо число опережает дух, а не наоборот. Числа – творящие, а не сотворенные сущности. Дух может привести к научному развертыванию скрытых в них формальных возможностей, овладеть ими, посредством них достигнуть высшей зрелости; но видоизменить их он совершенно не в состоянии. В ранних формах орнамента и архитектуры, в дорической колонне и готике собора осуществлена уже идея Эвклидовой геометрии и счисления бесконечно малых за целые столетия до того, как родился первый математик этих культур.

Глубокое внутреннее переживание, настоящее пробуждение «Я», которое делает ребенка взрослым человеком, членом принадлежащей ему культуры, знаменует начало понимания числа и языка. Лишь с этих пор сознание имеет предметы как нечто во всяком отношении ограниченное и легко отличаемое от всего, что ни рассматривается; лишь с этих пор точно определяются свойства, понятия, причинная необходимость, система окружающего мира, форма мира, закон мира – «положенное законом», по своей природе всегда ограниченное, застывшее, подчиненное числу, – лишь в этот момент рождается внезапное чувство того, что знаменует собою число, будь оно в форме изобразительного искусства или математической науки. Ясно, что первобытному человеку и ребенку число еще недоступно и что решающая эпоха – историческая или биографическая – наступает, как только постигнутый в своем значении акт счета, измерения, обозначения, оформления позволит проявиться совершенно новому миру из вновь раскрывшейся внутренней жизни. Это переживание, с которым начинается великий стиль, рождает из первобытного человечества души культур, с их индивидуальным своеобразием.

И вот Кант разделил богатство человеческого знания на синтетическое a priori (необходимое и общезначимое) и a posteriori (возникающее из опыта) и математическое познание приурочил к первому. Этим он, несомненно, дал абстрактную форму выражения сильному внутреннему чувству. Но не говоря уже о том, что между этими двумя видами знания нет резкой границы (более чем достаточное количество примеров дают этому современная высшая математика и механика), – а ее безусловно требует самый род принципа, – a priori оказывается в высшей степени трудным понятием, но, несомненно, одной из самых гениальных концепций критики познания. Этим Кант устанавливает, не утруждая себя доказательством – которое к тому же совершенно невозможно, – неизменность форм всякой деятельности духа и их тождество для всех людей. Но Кантом совершенно упускается из виду то важное обстоятельство, что он в своих исследованиях исходил из духовного материала и интеллектуального облика только своего времени, между тем как степень этой «общезначимости» очень неопределенна. Рядом с несомненными факторами безусловно широкой значимости, которые хотя бы кажущимся образом независимы от того, к какой культуре, какому столетию принадлежит познающий, – рядом с ними в основе всякого мышления лежит еще совершенно другая необходимость формы, и ей подчинен человек именно как член этой, а не какой-нибудь иной культуры. Это два совершенно различных вида априорного содержания; какова граница между ними и есть ли она вообще – остается вопросом, на который нет ответа, потому что он лежит по ту сторону всякой познавательной возможности. Что постоянство духовных форм, считавшееся очевидным, является иллюзией, что в предлежащей нам истории есть несколько стилей познания – этого до сих пор никто не осмеливался признать. Но следует вспомнить о том, что consensus omnium может доказывать не только всеобщую истину, но и всеобщее заблуждение. Смутное сомнение здесь, впрочем, всегда было, и уже из самого разногласия мыслителей следовало бы сделать верный вывод. Но что дело идет не о несовершенстве человеческого духа, не о «еще не» окончательного знания, не о недостатке, а о роковой исторической необходимости – вот что является открытием. Наиболее глубокое и последнее не может быть открыто из неизменности, но только из различия, и только из органической периодичности этого различия. Сравнительная морфология форм познания является задачей, и разрешение ее еще предстоит западноевропейскому мышлению.

Будь математика обыкновенной наукой, как астрономия или минералогия, то ее предмет можно было бы определить. Но этого нельзя сделать, и никто этого и не мог сделать. Мы, европейцы Запада, можем, конечно, насильно применить наше собственное научное понятие числа к тому, чем занимались математики в Афинах и Багдаде; но несомненно, что тема, намерение и метод одноименной науки были там совершенно иными. Нет одной математики, есть только разные математики. То, что мы называем историей математики, то есть мнимо непрерывное подтверждение единственного и неизменного идеала, оказывается на самом деле – стоит только устранить обманчивую картину исторической поверхности – множеством замкнутых в себе, независимых процессов, повторяющееся рождение новых, применение, преобразование и очищение чуждого мира форм, чисто органические, связанные с определенной длительностью расцвет, созревание, увядание и смерть. Не следует обманывать себя. Чуждый истории греческий дух создал свою математику из ничего; склонный к историчности дух Запада, овладев античной наукой – внешне, не внутренне, – должен был достигнуть своей собственной науки посредством кажущегося изменения и улучшения, фактически же – посредством упразднения неадекватной ему Эвклидовой математики. Одна была создана Пифагором, другая – Декартом. Оба акта тождественны в своей глубине.

Родство формального языка математики с современными ей великими искусствами не подлежит никакому сомнению. Целью всякой математики является законченная в себе система положений, которая представляет собою априорный синтетический порядок застывшей протяженности, – тот же неустанно достигаемый синтез, который выступает и в проблеме формы каждого изобразительного искусства, и в борьбе каждого отдельного художника за техническое превосходство в своей области. Чувство формы скульптора, живописца, композитора – существенно математично. В геометрическом анализе и проективной геометрии XVII столетия обнаруживается тот же порядок, который вызывает к жизни, охватывает и проникает современную инструментальную музыку стиля фуги посредством правил контрапункта – этой геометрии звукового пространства – и тесно связанную с музыкой живопись масляными красками посредством только Западу известной перспективы, осязаемой геометрии, данного в чувственном образе пространства. Этот порядок есть то, что Гете назвал идеей; образ ее непосредственно созерцается в чувственном, между тем как обыкновенная наука не созерцает, но только наблюдает и расчленяет. Но математика выходит за пределы наблюдения и расчленения. Она в свои высшие мгновения живет в интуиции, а не в абстракции. По глубокому изречению Гете, математик совершенен настолько, насколько он постигает красоту истинного. Здесь чувствуется, как близко тайна феномена числа стоит к тайне формы искусства, которое также находит свою цель в полном значения ограничении, в прекрасной соразмерности, в исчисленной величине, в строгом соотношении, гармонии – короче, в совершенном порядке чувственного. Прирожденный математик стоит рядом с великими мастерами резца и кисти; они также стремятся облечь в символы, осуществить, передать тот великий порядок всех вещей, который носит в себе обыкновенный человек их культуры, не обладая им в действительности. Царство чисел, таким образом, становится отображением мировой формы наряду с царством звуков, линий и красок. Слово «творческий» значит поэтому в математике больше, чем в обыкновенных науках. Ньютон, Гаусс, Риман – натуры художественные. Вспомните, как великие концепции внезапно их озаряли. «Математик, – говорит старик Вейерштрасс, – в котором нет поэта, никогда не будет совершенным математиком».

Итак, математика есть искусство. Она имеет свои стили и периоды стилей. Она не является неизменной по своей субстанции, как полагает профан, а также и философ, поскольку он профан в этом вопросе, но, как и всякое искусство, она подчинена незаметным превращениям от эпохи к эпохе. Не следовало бы никогда изучать развитие великих искусств, не бросив взгляда на современную им математику: этот взгляд не остался бы бесплодным. Никто не исследовал особенности очень глубоких отношений между тенденциями музыкальной теории начиная с Орландо Лассо и фазами развития теории функций, хотя такое исследование могло бы научить эстетику большему, чем какая угодно «психология». Все действительно великие математики со времен Ферма, Паскаля и Декарта (1630) – аналитики трансцендентного; все античные математики начиная с Пифагора (540) – натуры мыслящие воззрительно-телесно. Должен ли я еще раз указать на тесное родство этих дарований с наступающим расцветом, с одной стороны, чистой инструментальной музыки, с другой – ионическою скульптуры? Античная математика, вначале почти только планиметрическая, в своем развитии от Пифагора к Архимеду обнаруживает тенденцию к стереометрическому мышлению всего измеримого числом. Этому отвечает тенденция – от живописи в плоскости аттико-коринфского стиля через возвышающийся наш плоскостью рельеф к скульптуре статуй. Статуя вози никла частью из фигурно-рельефно трактованной колонны (Гера Херамиса), частью из служившей для украшения стен деревянной или медной доски (Артемида Никандры). Как дерево, так и известняк обрабатывались ножом, но только работа резцом по мрамору вполне удовлетворяла художественному чувству творчества тела. Аналогичное происходит и на Западе: инструментальная музыка достигает новых способов выражения по мере того, как геометрия сохраняющая это название и дальше, преобразуется в анализ чистого пространства, из которого шаг за шагом устраняется непосредственно воззрительно, следует обратить внимание на то, как далеко отходит понятие координат Декарта от Ферма. С 1520 года изобретенная в Верхней Италии скрипка начинает вытеснять лютню. Фагот известен с 1525 года. В Германии в течение XVI и XVII столетий орган стал покоряющим пространство инструментом. У Монтеверди (1567–1643), который введением доминантсептаккорда дает основы подлинной хроматики, был первый настоящий оркестр, и в 1630 году в лице, Фрескобальди появляется первый великий виртуоз органа. И рядом с analysis situs, этим образцовым творением Лейбница, стоит могущественная символика пространства последних работ Рембрандта, умершего в 1669 году, – автопортрета в Мюнхене, дармштадского Христа и евангелиста Матфея.

Воля к форме всякой математики отличается от чисто научных намерений всей физики и химии и сближает ее с изобразительными искусствами, несомненно, еще и тем, что ее элементы – мертвые числа, рассматривать ли их воззрительно или трансцендентно, не являются эмпирической действительностью, а чистой формой протяженного, как линия орнамента или музыкальная гармония; ее деятельность, следовательно, говоря словами Канта, синтетична или, выражаясь языком искусств, есть композиция, в которой настоящий художник подлежит высшему принуждению – кантовскому «a priori». Это менее проявляется я общеизвестных частях математики. Но числовые образования более высокого порядка, к которым восходит каждая из математик, причем путь каждой отличен от пути остальных (как, например, индийская десятичная система, античная группа конических сечений, первых чисел и правильных многогранников, на Западе числовая область), многомерные пространства, высокотрансцендентные образования теории трансформации и учения о множествах, группа неэвклидовых геометрий – все эти образования уже не имеют чисто рассудочного происхождения; для проникновения в их последние, чисто метафизические основы они предполагают род вдохновенного просветления. Здесь дело идет о внутреннем переживании, не просто о познании. Только здесь начинается великая символика чисел. Эти формы, возникая в духе великих мастеров, как выражение последней тайны их мироощущения, открывают посвященному нечто вроде изначальной глубины его существования. Эти творения надо почувствовать как внутренность собора, как хоры ангелов в прологе «Фауста» или кантату Баха, что случается лишь в редкие счастливые минуты. Только тот, кому это доступно, а зрелых духом всегда будет немного, поймет Платона, назвавшего «числами» вечные идеи своего космоса,

Около 540 года, когда в кругу пифагорейцев пришли к пониманию числа как сущности всех вещей, это не было «шагом вперед в развитии математики», но было рождением из глубин античного духа совершенно новой математики, осознавшей себя теорией после того, как долгое время она уже проявлялась в метафизических проблемах и художественных формах. Греческая математика есть такая же новая математика, как и никогда не написанная математика Египта или алгебро-астрономическая математика вавилонской культуры, с ее эклиптическими координатными системами; обе они были порождены в великие часы истории и к тому времени давно уже уследи угаснуть. Одряхлевшая ко времени Рима античная математика исчезла из живого становления, несмотря на свое длящееся и поныне прозрачное существование в нашем способе обозначения; много позднее и в отдаленной стране она дала место арабской математике; за последней, давно умершей, следует после долгого промежутка, опять как совершенно новое творение новой почвы, наша западная математика; в удивительном ослеплении мы принимаем ее за всю математику, за вершину и цель двухтысячелетнего развития, но и для нее также строго отграничены столетия, ныне почти уже истекшие.

Изречение, что число представляет сущность всех чувственно-достигаемых вещей, остается самым ценным в античной математике. Оно определяет число как меру. В нем дано все мироощущение души, жадно обращенной к здесь и теперь. Мерить в этом смысле – значит мерить нечто близкое и телесное. Представим себе высшее достижение античного искусства – свободно стоящую статую нагого человека; здесь дано все важное и значительное греческого бытия, весь его этос, исчерпанный плоскостью, мерой и чувственными соотношениями частей. Пифагорейское понятие гармонии чисел, выведенное, может быть, из монофонной музыки, как будто нарочно создано для идеала этой пластики. Обработанный камень есть нечто, поскольку он имеет правильные границы и измеренную форму, поскольку он есть то, чем стал под резцом художника. Без этого он – хаос, нечто неосуществленное, то есть пока – ничто. Это чувство, распространенное на вселенную, создает в противоположность хаосу – космос, внешний мир античной души, гармонический порядок всех правильно оформленных и осязательно наличных отдельных вещей. Совокупность этих вещей и есть весь мир. Место же между ними, наше мировое пространство, наполненное всем пафосом великого символа, есть ничто, «to me on». Протяженность для античного человека означает телесность, для нас она имеет значение пространства, функцией которого «являются» вещи. Бросив отсюда взгляд назад, мы, может быть, разгадаем глубочайшее понятие античной метафизики, «апейрон» Анаксимандра, передать которое не в состоянии ни один язык Запада. Это то, что не имеет ни «числа» в пифагорейском смысле, ни определенной величины и границы, ни, следовательно, существа; безмерность, бесформенность, статуя, которая еще не высечена из глыбы. Это есть «архе», воззрительно безграничное и бесформенное, оно только посредством границы становится чувственной обособленностью, чем-то, то есть миром. Это – то, что лежит в основе античного познания, как априорная форма, как телесность в себе и точным соответствием чего в кантовской картине мира является абсолютное пространство, из которого Кант напрасно пытался «отмыслить все вещи».

Теперь становится ясным, что отличает одну математику от другой; особенно – античную от западноевропейской. Зрелая античная мысль по самому своему мироощущению могла видеть в математике только учение о соотношениях величины, меры и строения осязательных тел. Если, исходя из этого чувства, Пифагор высказывал определенные формулы, то ведь для него число было оптическим символом, не формой вообще или абстрактным отношением, но знаком границы ставшего, поскольку оно проявляется в чувственно обозримых единичностях. Весь без исключения античный мир понимал числа как единицы меры, как величины, отрезки, плоскости. Другой вид протяженности для него непредставим. Вся античная математика в последней основе стереометрия. Если Эвклид, закончивший в III веке ее систему, говорит о треугольнике, – он с внутренней необходимостью имеет в виду плоскость, ограничивающую тело, но ни в каком случае не систему трех пересекающихся прямых или группу трех точек в пространстве трех измерений. Он определяет линию как «длину без ширины» (meco aplates). В наше время такое определение казалось бы жалким. Но в пределах античной математики – оно превосходно.

Но и западноевропейское число развилось не из «априорных форм наглядного представления времени», как думал Кант и даже Гельмгольц, – оно является порядком однородных единиц, чем-то специфически пространственным. Время – чем дальше, тем это будет яснее – не имеет ничего общего с математическими объектами. Число принадлежит исключительно сфере протяженного. Но возможностей, а следовательно, и необходимостей представлять протяженное упорядоченным существует столько, сколько существует культур. Античное число – это мышление не пространственных отношений, а отграниченных, схватываемых чувственным глазом единств. Античный мир знает поэтому, как это с неизбежностью следует, только «натуральные» (целые положительные) числа, которые не играют никакой исключительной роли среди многих чрезвычайно абстрактных видов чисел западноевропейской математики, комплексных, гиперкомплексных, неархимедовых и других систем.

Представление иррациональных чисел – в нашем способе написания, следовательно, бесконечных десятичных дробей – было невыполнимо для греческого духа. Эвклид говорит – и его следовало бы лучше понимать, – что несоизмеримые отрезки соотносятся «не как числа». В осуществленном понятии иррационального числа заключен действительно полный разрыв понятия числа с понятием величины. Такое число, как к, например, никогда не может быть отграничение или точно представлено отрезком. Отсюда следует, что в представлении отношения, например, стороны квадрата и его диагонали, античное число, которое есть не что иное, как чувственная граница, законченная величина, затрагивает совершенно другую идею числа, глубоко чуждую античному мироощущению, даже жуткую, как будто греки приближаются здесь к открытию опасной тайны собственного существования. Это обнаруживается в замечательном позднегреческом мифе: тот, кто впервые извлек иррациональное из тьмы сокровенного, погиб при кораблекрушении, «ибо неизреченное и не имеющее образа должно всегда оставаться сокрытым». Тот же страх, который чувствуется в этом мифе, грек времени расцвета постоянно испытывает перед расширением своего крошечного государства-города до размеров политически организованной страны, также перед проведением широких проспектов и аллей с далекими видами, перед вавилонской астрономией, с ее проникновением в бесконечные звездные пространства, и перед выходом из Средиземного моря на пути, давно открытые египтянами и финикийцами, – глубокий метафизический страх перед растворением чувственно-осязаемого и наличного; им античный мыслитель окружил себя как крепостной стеной, за которой дремлет что-то жуткое, какой-то срыв в изначальную глубину искусственно созданного и утвержденного космоса. Кто понял это чувство, тот понял и последний смысл античного числа, меры в противоположность неизмеримому и высокой религиозный этос в его ограничении. Гете, как художник, страстно отдался этому чувству, по крайней мере в своих естественнонаучных занятиях; отсюда его почти что страхом продиктованая полемика против математики; эта полемика в действительности – чего еще никто как следует не понял – инстинктивно была направлена всецело против неантичной математики, против лежащего в основе естествознания его времени исчисления бесконечно малых.

Античная религиозность с возрастающей ясностью сосредоточивается в чувственно-наличных – связанных с местом – культах, которые только и представляют образную, осязаемую божественность. Античной религиозности всегда были чужды абстрактные догмы, теряющиеся в холодных пространствах мысли. Культ и догма относятся друг к другу как статуя к органу в храме. Эвклидовой математике, несомненно, присуще что-то родственное культу. Вспомним учение о правильных многогранниках и их значение для эзотерического учения последователей Платона. Этому, с другой стороны, отвечает глубокое родство анализа бесконечно малых начиная с Декарта с догматикой того времени в ее движении к чистому, свободному от всяких чувственных оболочек деизму. Вольтер, Лагранж и Даламбер – современники. Античная душа ощущала принцип иррационального, то есть разрушение скульптурного ряда целых чисел, представителей совершенного в себе мирового порядка, как преступление по отношению к самой божественности. У Платона в «Тимее» это чувство совершенно очевидно. Действительно, с превращением прерывных рядов чисел в непрерывность не только античное понятие числа, но и само понятие античного мира становится вопросом. Ясно, что в античной математике ни в каком случае невозможны отрицательные числа, которые мы представляем себе без затруднения, не говоря уже о нуле как числе. Нуль как число имеет вполне определенный метафизический акцент для индийской души, впервые его замыслившей. Отрицательных величин нет. Выражение – 2 х – 3 = + 6 и не наглядно и не является представлением величины. Ряд величин кончается +1. В графическом изображении отрицательного числа.+3.+2.+1.0.-1.-2.-3. начиная с нуля отрезки внезапно становятся положительными символами чего-то отрицательного. Они что-то значат, поэтому только и существуют. Отрицательные числа не суть величины, но нечто, что может быть только обозначено посредством величин. Выполнение этого акта не лежало, однако, в направлении античного мышления числа.

Все рожденное из античного духа возводится, таким образом, в ранг действительности исключительно посредством пластического ограничивания. Что не поддается изображению, то не «число». Платон, Архит и Евдокс говорят о квадратных и кубических числах, когда имеют в виду нашу вторую и третью степень; само собою разумеется, для них нет более высоких степеней. Четвертая степень была бы бессмыслицей для пластического чувства глубины, которое сейчас же подставляет четырехмерную протяженность. Для них являлось бы абсурдом выражение вроде еix, постоянно встречающееся в наших формулах, или хотя бы обозначение 5 1/2, которое встречается у Орема уже в XIV столетии. Эвклид называет множители произведения сторонами (pleyrai). Когда ищут в целых числах отношения двух отрезков, то имеют дело, само собою разумеется, с конечными дробями. Именно поэтому идея нуля как числа совершенно не может появиться, так как графически она не имеет никакого смысла.

Нельзя возражать, исходя из привычки нашего иначе ориентированного мышления, что такое представление числа именно и является «изначальной стадией» единой математики. Античная математика есть нечто совершенное внутри того мира, который античность творила вокруг себя. Но для нас она не такова. То, что для античного миропонимания казалось бессмысленным, вавилонская и индийская математика давно сделали существенной частью своего мира чисел, и некоторые греческие мыслители знали об этом. Единая математика, повторяем, – иллюзия. Действительно то, что адекватно и символически значимо для собственной душевности. Одно это «необходимо для мышления», остальное – невозможно, ошибочно, бессмысленно или, как мы с высокомерием исторического склада мысли предпочитаем говорить, «примитивно». Современная математика, шедевр западноевропейского духа, – «истинная» только для этого духа – показалась бы Платону смешным и тягостным заблуждением на путях кистинной математике, античной конечно; и мы едва ли можем составить себе сколько-нибудь определенное представление о том, как много мы упустили в великих концепциях чуждых культур, потому что не могли ассимилировать их исходя из нашего духа и его границ, или, что то же самое, понимали их как ложное, лишнее и бессмысленное.

Античная математика, как учение о наглядно представляемых величинах, хочет толковать исключительно фактическую наглядность, и она ограничивает, таким образом, свое исследование и область своей значимости предметностью близкого и малого. В противоположность этому ходу мыслей прикладной характер западной математики обнаруживается как нечто весьма нелогичное; это было ясно сознано лишь после открытия неэвклидовых геометрий. Числа – это чистые формы познающего духа. Их точная приложимость к реальной наглядности составляет ввиду этого особую проблему. Конгруэнтность математических систем с эмпирией меньше всего может считаться само собой разумеющейся. Вопреки предрассудку непосвященных, касающемуся непосредственной математической очевидности наглядного представления, как это встречается и у Шопенгауэра, геометрия Эвклида, которая имеет только поверхностное сходство с популярной геометрией всех времен, согласуется с наглядным представлением лишь приблизительно и в очень узких рамках («на бумаге»). Простой факт учит, что параллельные, как это бывает при больших удалениях, сходятся на горизонте. Вся перспектива живописи построена на этом. Вопреки этому Кант исходил из наивного сравнения величин; он, совершенно непростительно для западноевропейского мыслителя, уклонился от «математики далей» и исходил, совершенно по-«античному», из крошечных фигур, при которых, именно из-за их малости, не могла выявиться специфически западная, пространственная сторона проблемы бесконечно малых. Эвклид тоже избегал обращаться для наглядной достоверности своих аксиом к треугольнику, вершинами которого служат место наблюдателя и две неподвижные звезды и который, следовательно, не может быть ни нарисован, ни наглядно представлен. Но он имел на это право, как античный мыслитель. Здесь сказалось то же чувство, которое боялось иррационального, не решалось понимать ничто как число, как нуль и в рассмотрении космических явлений уклонялось от неизмеримого, чтобы сохранить символ меры.

Аристарх Самосский в 270 году дал систему мира, заново открытую Коперником; это второе открытие глубоко затронуло метафизические страсти Запада – вспомним Джордано Бруно, – оно было исполнением мощных предчувствий и утверждением того фаустовского, готического мироощущения, которое уже в архитектуре своих соборов отдало должную дань идее бесконечного пространства. Но античный мир с совершенным безразличием принял мысли Аристарха Самосского и скоро – можно сказать, намеренно – его забыл. Для этой культуры система мира Аристарха душевно была пуста. Она могла бы стать даже опасной для ее основной идеи. И все же, в отличие от системы Коперника – на этот решающий факт никогда не обращали внимания, – при некотором особом понимании система Аристарха вполне подходила к античному мироощущению. Законченный космос Аристарх представлял себе в виде полого шара, вполне не ограниченного телесно, подчиненного взору, в середине которого находится аналогично Копернику понимаемая планетная система. Таким путем преодолевался принцип бесконечности, который мог бы подвергнуть опасности чувственно-античное понятие границы. Не возникает и мысли о безграничном мировом пространстве, хотя здесь она казалась бы неизбежной – ее концепция давно уже удалась вавилонскому мышлению. Наоборот: в своей замечательной работе о «числе песчинок», являющейся, как показывает и само слово, устранением всяких тенденций бесконечного, хотя в ней и видят первый шаг к интегральному счислению, Архимед доказывает, что это стереометрическое тело – а космос Аристарха не был ничем иным, – наполненное атомами (песчинками), приводит в результате счета к очень большому числу, а. не к бесконечности. Но это и значит решительно отрицать все то, в чем для нас смысл анализа. Как доказывают постоянно терпящие крушение и вновь навязывающиеся духу гипотезы материального, то есть воззрительно представляемого, мирового эфира, вселенная нашей физики есть строжайший отказ от всякой материальной ограниченности. Платон, Аполлоний и Архимед, несомненно самые тонкие и смелые математики античного мира, с большим совершенством провели на основе пластически-античного понятия предела чисто оптический анализ ставшего. Они пользовались глубоко продуманными и нам мало доступными методами некоторого интегрального счисления, имеющего только кажущееся сходство с методом определенного интеграла Лейбница, и они применяли геометрические места и координаты, которые были только именованными числами мер и отрезками, а не как у Ферма и особенно у Декарта – отвлеченными пространственными отношениями, значениями точек в отношении к их положению в пространстве. Сюда прежде всего относится метод исчерпывания Архимеда в его открытом недавно письме к Эратосфену, где он основывает, например, квадратуру сегмента параболы на вычислении вписанных прямоугольников (уже не подобных многоугольников). Но именно тот остроумный, бесконечно сложный способ, которым он, опираясь на известные геометрические идеи Платона, приходит к определенному результату, делает едва заметным огромную противоположность между этой интуицией и лишь внешне сходной с ней интуицией Паскаля. Нет более резкой противоположности – если совершенно отвлечься от римановского понятия интеграла, – чем квадратуры Архимеда и то, что, к сожалению, до сих пор называется «квадратурами», при которых «плоскость» рассматривается как ограниченная некоторой функцией и о какой бы то ни было наглядности нет и речи. Нигде обе математики так близко не подходят друг к другу, и нигде так не чувствуется непроходимая пропасть между двумя душами, выражением которых они являются.

Чистые числа, феномен которых египтяне из глубокого страха перед их изначалом как бы скрывали в стиле своих храмов, пирамид и рядов статуй, были и для эллинов ключом к смыслу ставшего, застывшего и, следовательно, преходящего. Математическое число как формальный основой принцип протяженного мира существует только у бодрствующего человеческого сознания и для него; посредством причинной необходимости оно стоит в том же отношении к смерти, в каком хронологическое число – кстановлению, к жизни, к необходимости судьбы. Эта связь математической формы с концом органического бытия, с явлением его неорганического остатка, трупа, будет все яснее вырисовываться как источник всякого великого искусства. Мы уже отметили развитие ранней арифметики из погребального культа. Числа – символы преходящего. Застывшие формы отрицают жизнь. Формулы и законы распространяют оцепенение по лику природы. Числа убивают. Это Матери Фауста, величаво царящие в одиночестве:

Здесь соприкасаются Гете и Платон в предчувствии последней тайны. Матери, недоступность – идеи Платона – рисуют возможности душевности, ее нерожденные формы; они осуществились в видимом, с внутренней необходимостью упорядоченном мире, возникшем из идеи этой душевности в форме деятельной и созданной культуры как искусства, мысли, государства, религии. На этом покоится родство числовой системы определенной культуры с ее мировой идеей, и это отношение возвышает числовую систему над голым знанием и познанием до значения миросозерцания и приводит к тому, что существует столько математик – миров чисел, – сколько высших культур. Тогда только становится понятным и необходимым то явление, что величайшим математическим мыслителям, творческим художникам в царстве чисел, в глубоко религиозной интуиции удалось найти решение математических проблем соответствующих культур. Так надо представлять себе создание античного аполлоновского числа Пифагором, основателем религии. Это изначальное чувство руководило Николаем Кузанским, знаменитым епископом Брикским, когда он в 1450 году, исходя из рассмотрения бесконечности Бога в природе, открыл основные черты счисления бесконечно малых. Лейбниц развил эту идею двумя столетиями спустя, – он создал analysis situs также из чисто метафизического рассмотрения принципа Божества и его отношения к бесконечной протяженности; analysis situs – гениальнейшая интерпретация чистого, от всего чувственно освобожденного пространства; богатые возможности этой интерпретации были развернуты только в XIX столетии Грассманом в его учении о протяженности и Риманом в его символике двусторонних плоскостей, которые представляют природу уравнений. Декарт, глубокий христианин в духе Пор-Рояля, следуя внутреннему влечению в связи с философски-математическим обучением, обратил вновь в католичество пфальцграфиню Елизавету и дочь Густава Адольфа, королеву Христину Шведскую. И Кеплер и Ньютон, оба строго религиозные натуры, всегда были, как Платон, убеждены, что можно интуитивно постичь сущность божественного мирового порядка именно посредством чисел.

Только Диофант, как обычно утверждают, освободил античную арифметику из ее чувственного плена, расширил и развил и создал алгебру как учение о неопределенных величинах. Но это, конечно, не обогащение, а полное преодоление античного мироощущения; Диофант, следовательно, внутренне не принадлежит уже греческой культуре. В нем проявляется новое чувство числа или, мы сказали бы, чувство границы, в противоположность всему действительному, ставшему; это уже не эллинское чувство числа, из осязательно данной предельности которого развилась рядом с Эвклидовой геометрией чувственных тел также и подражающая ей пластика обнаженной статуи. Мы не знаем подробностей создания этой новой математики. Под видом желания следовать Эвклидовым путям мысли у Диофанта всплывает то новое чувство границы – я называю егомагическим, – которое совершенно не сознает своей противоположности античному взгляду. Идея числа как величины не расширена, а незаметно уничтожена. Что такое неопределенное число а или отвлеченное число 3 (то и другое не величина, не мера, не отрезок) – этого грек совершенно не мог представить. В основе диофантовского исследования лежит, во всяком случае, новое чувство границы, воплощенное в этих типах чисел; даже привычное для нас буквенное счисление, в форме которого является теперешняя алгебра, между прочим вновь совершенно переделанная, было введено Вьета только в 1591 году; здесь сказалась яркая, сознательная оппозиция к эллинизированному счислению эпохи Возрождения.

Диофант жил в 250 году до Р. X., то есть в третьем столетии арабской культуры, исторический организм которой в то время был погребен под внешними формами Рима времен императоров и «средневековья»; ей принадлежит все, что с начала нашего летосчисления возникло на территории рождающегося ислама. Тогда же угасла последняя тень античной пластики статуй перед лицом нового чувства пространства, проявленного в базиликах, в мозаике и в рельефах саркофага раннего христианско-сирийского стиля. Тогда снова появилось архаическое искусство и строго геометрический орнамент. Тогда именно Диоклетиан создал халифат на месте ставшего уже призрачным римского государства. Пятьсот лет лежит между Эвклидом и Диофантом, между Платоном и Плотином, последним замыкающим мыслителем (Кантом) заканчивающейся культуры и первым мистическим духом (Данте) культуры едва пробуждающейся.

Здесь затрагиваем мы впервые незнакомый еще нам феномен тех великих индивидуальностей, чье становление, рост и увядание под пестрой обманчивой оболочкой скрывает настоящую субстанцию всемирной истории.

Витающая в римском духе античная душевность, «телом» которой является историческая действительность античной культуры, с ее творениями, мыслями, делами и развалинами, была порождена в 1100 году до Р. X. страной эгейского моря. Зарождающаяся во время Августа под покровом античной цивилизации арабская культура ведет свое происхождение из области между Нилом и Евфратом, Каиром и Багдадом. Как выражение этой новой души, надо рассматривать почти все «позднеантичное» искусство времен императоров, все вообще исполненные молодого пыла культы Востока, культ Митры, Сераписа, Гора, Исиды, сирийских Ваалов из Эмесы и Пальмиры, христианство и неоплатонизм, императорский форум в Риме и выстроенный сирийцем Пантеон, самая ранняя из мечетей.

Что тогда по-гречески писали и как будто по-гречески мыслили, имеет не больше значения, чем тот факт, что наука Запада включительно до Канта предпочитала латинский язык или что Карл Великий «восстановил» римское государство.

У Диофанта число не является больше мерой и сущностью пластических вещей. На равеннских мозаиках человек уже не тело. Греческие обозначения незаметно потеряли свое изначальное содержание. Мы выходим из сферы аттической «калокагатии», стоической «атараксии» и «галэны». Правда, Диофант еще не знает нуля и отрицательных чисел, но он уже не знает пластических единиц пифагорейских чисел. С другой стороны, неопределенность отвлеченных арабских чисел является чем-то совершенно иным, чем закономерная изменчивость позднейшего западноевропейского числа, функции.

После Диофанта, который до себя уже предполагает известное развитие, магическая математика, алгебра, хотя нам неизвестны подробности, развивалась логически и в главных чертах – до завершения, в эпоху Аббасидов IX столетия, как показывает уровень знания у Альхварижди и Альсиджи. Тогда лишь начинается, снова спустя полтысячелетия, в новой, отдаленной стране великий процесс перетолкования этого магического, переданного нам испанскими арабами мира чисел в функциональный мир Западной Европы; начинается могучая борьба против внедряющегося чуждого мироощущения, с его внутренне законченным истолкованием пространства, которое должна была отразить и сломить юная готическая душа, чтоб не дать погибнуть своей собственной сущности; отсюда – скрытая борьба во всех произведениях архитектуры, каждом фасаде, каждом орнаменте, каждом символе, в каждой метафизической и математической проблеме; глухое величие этой борьбы никогда еще не было почувствовано.

Чем была Эвклидова геометрия в отношении к античной пластике – тот же язык форм, но в другом одеянии, – чем был анализ пространства в отношении к стилю фуги инструментальной музыки, тем же была эта алгебра в отношении к магическому искусству мозаики, к все богаче развивающимся арабескам начиная с эпохи Сасанидов и позднее Византии, с их чувственно-нечувственным претворением органического мотива форм горельефа Константиновского стиля, с его свободно выполненными фигурами на фоне глубокого сумрака заднего плана. Как алгебра относится к античной арифметике и западноевропейскому анализу, так же относится увенчанная куполом базилика к дорическому храму и готическому собору.

Нельзя сказать, чтобы Диофант был великим математиком. Самое важное, что связано с его именем, не написано в его работах, а то, что в них написано, вероятно, не вполне оригинально. Его случайное значение состоит в том, что – насколько мы знаем – он был первым, несомненно обладавшим новым чувством числа. В противоположность великим мыслителям, замыкающим известную математику, как Аполлоний и Архимед – античную и соответственно им Гаусс, Коши и Риман – западноевропейскую, мы встречаемся у Диофанта и Менелая с чем-то примитивным, что до сих пор охотно называлось декадансом. В будущем научатся понимать и оценивать этот декаданс в духе той переоценки, которую следует сделать в отношении к так называемому позднеантичному искусству, рассматривая его как ощупью идущее проявление только что пробуждающегося раннеарабского мироощущения. Впечатление такой же примитивной, архаичной и полной искания науки производит математика Николая Орема, епископа в Лизье (1323–1382), впервые применившего некоторое подобие координат и даже дробные показатели степеней, а это предполагает, еще неясно, но уже несомненно, такое чувство числа, которое оказывается совершенно неантичным, но в то же время и не арабским. Если рядом с Диофантом вспомнить о раннехристианском саркофаге римских коллекций и, рядом с Оремом, о готических одетых статуях немецкого собора, то можно заметить что-то родственное и в ходе математической мысли, представляющей у обоих математиков одну и ту же раннюю ступень интеллекта. Совершенно утратилось стереометрическое чувство границы в его последней утонченности и элегантности. Все было настроено глухо, томительно, мистично, а не аттически светло и свободно. В центре стоял из земли рожденный, первобытный человек, а не человек великих городов, подобно Эвклиду и Да-ламберу. Уже не понимались больше глубокие и сложные образы античного мышления, их заменили спутанные, новые, ясное интеллектуально-городское рассмотрение которых еще не было найдено. Это – готическое состояние всех молодых культур; оно было пройдено и античным миром в его раннедорическое время, от которого ничего не осталось, кроме погребальных урн дипилонского стиля. Только в Багдаде, в IX и X веках, концепции эпохи Диофанта были проведены и закончены зрелыми умами, не уступавшими Платону и Гауссу.

Решающее значение Декарта, геометрия которого появляется в 1637 году, состоит вовсе не в введении новой методы или наглядности в область традиционной геометрии, как это постоянно высказывается, но в окончательной новой числовой концепции, новой идее числа, которая выразилась в полном освобождении геометрии от наглядной осязательной конструкции, от измеренных и измеримых отрезков. Этим самым анализ бесконечно малых стал фактом. Застывшая так называемая картезианская система координат – идеальный представитель измеримых величин в полуэвклидовском смысле, – которая в предшествующий период, у Орема например, приобрела уже некоторое значение, была Декартом не завершена, но преодолена, если проникнуть в глубину его рассмотрений. Современник Декарта, Ферма, был ее последним классическим представителем.

На место чувственного элемента конкретного отрезка и плоскости – специфического выражения античного чувства границы – стал абстрактно-пространственный, не античный элемент точки, который с тех пор характеризуется как группа соподчиненных чистых чисел. Декарт разрушил литературно унаследованное понятие величины, чувственного измерения и заменил его переменным значением отношений положения в пространстве. Что это было устранением геометрии вообще, которая с тех пор, в числовом мире анализа, стала влачить жалкое существование, подернутое дымкой античных воспоминаний, – это совершенно упустили из виду. Слово «геометрия» имеет неустранимый аполлоновский смысл. Начиная с Декарта мнимо «новая геометрия» оказывается или синтетическим процессом, который определяет посредством чисел положения точек уже не только в трехмерном пространстве («точечные множества»), или аналитическим, который определяет числа посредством положения точек. Заменить отрезки положениями – значит рассматривать понятие протяжения чисто пространственно, а не телесно.

Классическим примером этого разрушения унаследованной геометрии наглядного и конечного представляется мне обращение угловых (тригонометрических) функций – они были в едва доступном для нас смысле числами индийской математики – в функции циклометрические (круговые) и дальнейшее их разложение в ряды, которые в бесконечном царстве чисел алгебраического анализа утратили всякое воспоминание о геометрических образованиях эвклидовского стиля. Число я и основание натуральных логарифмов число е, всюду всплывая в этой области чисел, порождают отношения, которые стирают все границы прежней геометрии, тригонометрии, алгебры, которые не имеют ни геометрической, ни арифметической природы, ибо здесь никто уже не думает о действительно нарисованных кругах или вычисляемых степенях.

В то время как античная душа благодаря Пифагору в 540 году приходит к концепции своего собственного аполлоновского числа, душа Запада в точно соответственное время нашла благодаря Декарту и его поколению (Паскаль, Ферма, Дезарг) идею числа, которая родилась из фаустовской страсти к бесконечному. Число как чистая величина, которое приурочено к предметной действительности отдельных вещей, находит свою противоположность в числе как чистом отношении. Если античный мир, космос, определяется глубокой потребностью в видимой ограниченности как исчислимой суммы материальных вещей, то наше мироощущение воплощается в картине бесконечного мира, в котором все видимое воспринимается как нечто обусловленное в противоположность безусловному, как действительность второго сорта. Его символом является основное понятие функции, никакой другой культуре неизвестное. Функция – это ни в каком случае не расширение какого-нибудь прежнего понятия числа; она его полное преодоление. Не только Эвклидова, то есть общечеловеческая, популярная геометрия, но и архимедовская область элементарного счисления, арифметика, перестает существовать в математике, действительно важной для Западной Европы; здесь может иметь место только абстрактный анализ. Для античного человека геометрия и арифметика были науками огромного значения; они обе наглядны, обе в счете или чертеже оперируют с величинами; для нас они только практические средства обыденной жизни. Сложение и умножение, оба античных метода счисления величин, совершенно исчезают в бесконечности функционального процесса. Степень, которая сначала является только числовым знаком определенной группы умножения (для множителей одной и той же величины), совершенно освобождается от понятия величины посредством нового символа показателя (логарифма) и его применения к комплексным, отрицательным, дробным формам и переводится в трансцендентный мир отношений, который был бы совершенно чужд грекам, знавшим только две положительные целые степени, представляющие площади и тела (следует вспомнить о выражениях, подобных).

Каждое из глубоких творений, которые со времен Возрождения быстро следуют одно за другим, как: мнимые и комплексные числа, которые введены Карданом еще в 1550 году; бесконечные ряды, теоретически обоснованные Ньютоном после его великого открытия бинома в 1666 году; логарифмы в 1610 году; дифференциальная геометрия; определенный интеграл Лейбница; множество как новое числовое единство, уже намеченное Декартом; новые действия, как то: неопределенные интегралы, разложение функций в ряды и даже бесконечные ряды других функций, – каждое из этих открытий является также победой над популярно-наглядным чувством числа, которое должно было быть преодолено духом новой математики, осуществлявшей новое мироощущение. Не было другой культуры, которая наследию старой, давно угасшей культуры воздавала бы столько почестей и допускала бы с ее стороны столько влияния, сколько западноевропейская по отношению к культуре античной. Много прошло времени, прежде чем мы нашли в себе мужество думать свои думы. В основе лежало постоянное желание подражать античному. Тем не менее всякий шаг вперед был фактическим удалением от поставленного идеала. Поэтому история западноевропейского знания – это растущая эмансипация от чуждого, история освобождения, которого вовсе не хотели, но которое вынуждалось глубинами бессознательного. Так развитие новой математики принимает вид скрытой, долгой, наконец, победоносной войны против понятия величины.

Античные предрассудки помешали нам отметить новое в западноевропейском числе как таковом. Современный символический язык математики искажает сущность дела, и прежде всего ему следует приписать, что еще и поныне математиками разделяется взгляд, будто числа суть величины, – на этой предпосылке, во всяком случае, покоится наша письменная система обозначения.

Новое число – это не отдельные знаки (x, π, 5), применяемые для выражения функции, но сама функция как единство, как элемент, изменчивое, в наглядные границы более не вмещаемое отношение. Для него была бы нужна новая символика, по самой своей структуре свободная от античных воззрений.

Необходимо уяснить себе разницу двух уравнений – даже само слово «уравнение» не следовало бы применять к таким совершенно разным вещам, например 3x + 4x = 5х и xn+ yn = zn (уравнение Ферма). Первое состоит из многих «античных чисел» (величин), второе есть одно число совершенно другого рода; это маскируется одинаковым способом написания, символика которого развилась под влиянием эвклидо-архимедовских представлений. В первом случае знак равенства есть установка неизменной связи определенных, осязаемых величин; во втором знак равенства представляет некоторое отношение, существующее внутри группы переменных образований, такого рода, что определенные изменения необходимо влекут за собой известные другие. Первое равенство имеет целью установку (измерение) конкретной величины, «результата», – второе вообще не имеет никакого результата, но является отображением и знаком отношения, которое для n > 2 – это и есть знаменитая проблема Ферма – исключает целые значения, что, вероятно, доказуемо. Греческие математики не могли бы понять, чего, собственно, хотят от этого рода операций, конечной целью которых не является «вычисление».

Понятие неизвестных вводит в полное заблуждение, если его применять к буквам уравнения Ферма. В первом, «античном» уравнении, х есть величина определенная и измеримая, которую остается только найти. Во втором – для х, у, z, n – слово «определить» не имеет никакого смысла; следовательно, «значения» этих символов вовсе не собираются искать; следовательно, они вообще не числа в пластическом смысле, но знаки для зависимости, у которых отсутствуют признаки величины, образа и однозначности, знаки для бесконечности возможных положений одинакового характера; они являются числом, только постигнутые как единство. В уравнении применяется много вводящих в заблуждение знаков. Но не х, у, z, как и не + и не =, не являются числами. Фактически все уравнение в целом есть одно-единственное число.

Ибо уже с понятием иррационального, вполне антиэллинского числа распалось в своей глубочайшей основе понятие конкретного, определенного числа. Теперь уже эти числа перестают быть обозримым рядом возрастающих, дискретных, пластических величин, но образуют одномерный континуум, в котором всякий разрез (в смысле Дедекинда) представляет «число», и ему не следовало бы иметь старого обозначения. Для античного духа возможно только одно число между 1 и 3; для западноевропейского – бесконечное множество. Наконец, с введением мнимых () и комплексных чисел (общей формы a + bi), которые расширяют линейный континуум в высокотрансцендентную конструкцию числового корпуса (совокупности множества однородных элементов), где каждое сечение представляет числовую плоскость, – бесконечное множество более ограниченных «мощностей», например совокупность всех реальных чисел, – все это разрушает последний остаток антично-популярной осязаемости числа. Эти числовые плоскости, которые со времени Коши и Гаусса играют важную роль в теории функций, суть чистые построения мысли. Положительное иррациональное число, например, могло бы еще быть создано из античного понимания числа, хотя бы и отрицательного, причем как число оно исключалось бы – как «arrētos» и «alogos», но выражения формыx + yi лежат уже по ту сторону всех возможностей античного мышления. На распространении арифметических законов на всю область комплексного, внутри которой они всегда остаются применимыми, покоится теория функций; она дается, наконец, во всей чистоте только западноевропейской математикой, причем охватывает, растворяет в себе все частные области. Только таким путем эта математика становится вполне приложимой к одновременно с ней развивающейся динамической физике Запада, тогда как античная математика оказывается точным коррелятом того мира пластических единичных вещей, картину которого дает статическая физика Аристотеля, точная научная интерпретация античного космоса.

Классическим столетием этой математики барокко – в противоположность математике ионического стиля – был XVIII век: решающее открытие Ньютона и Лейбница ведет через Эйлера, Лагранжа, Лапласа, Даламбера к Iayccy. Развертывание этого могущественного духовного творчества свершилось как чудо. Едва осмеливались верить тому, что видели. Открывались истины за истинами, которые казались бы невозможными утонченным умам скептически настроенного века. К этому веку расцвета относится изречение Даламбера: «Allez en avant et la loi vous viendra» . Дело шло о теории производных. Сама логика, казалось, протестовала против того, чтобы все допущения основывать на ошибках, но цель все же была достигнута.

Это было столетие высокого упоения в проникновенных, недоступных чувственному глазу формах – ибо рядом с творцами анализа стоят Бах, Глюк, Гайдн, Моцарт, – когда небольшой круг избранных и глубоких умов предавался роскоши тончайших открытий и игры форм, от которой Гете и Кант стояли в стороне; это столетие по содержанию точно отвечает наиболее зрелому веку ионики, веку Платона, Архита и Евдокса (450–350), – а также, скажем опять, Фидия, Поликлета, Алкамена и строителей Акрополя, – веку, в котором мир форм античной математики и пластики до конца расцвел во всей полноте своих возможностей.

Теперь только можно окинуть взором противопоставление античной и западной души в их элементах. Нет ничего более внутренне чуждого в пределах всей картины истории человечества на высшей ступени его развития. И именно потому, что противоположности сходятся, что они указывают на нечто, может быть, общее в последней глубине существования, – мы встречаем в западноевропейской, фаустовской душе тревожное искание идеала аполлоновской; только эту душу постигла она среди всех других и завидовала ее преданности чувственно-чистой действительности.

Эту душевную противоположность, не укладывающуюся даже в рамки слов, осуществляют во внешнем мире ставшего, ограниченного, преходящего исторические единства античной и западноевропейской культур, из которых одна начала цвести в позднемикенское время, другая – ко времени саксонских королей, и обе закончили свое развитие Аристотелем и Кантом, Платоном и Гете, Фидием и Бетховеном, Александром и Наполеоном.

Теперь только чувствуется все значение символики, нашедшей в мире чисел обоих математик свое, может быть, непосредственнейшее выражение, но область которой выходит далеко за пределы математики. Оказывается, что математика говорит одним языком со всеми сопровождающими ее искусствами, со всеми вообще творениями деятельной жизни, – языком форм, в котором последние возможности душевного и открываются и укрываются. С математикой теснейшим образом связана мистическая архитектура ранних эпох – дорическая, готическая, раннехристианская и египетская Древнего царства. Здесь, в египетской культуре, обе формы никогда не разделялись. Архитектура великих пирамид – это молчащая математика; но и античная душа никогда резко не разграничивала скульптурной и геометрической символики. Анализ также есть архитектура величайшего стиля, и мы донимаем теперь, почему две системы чисел, из которых одна так же пылко утверждает наличность наглядного предела, как другая ее отрицает, должны были существовать рядом с ионической пластикой и немецкой музыкой как родственные искусства, самое чувственное и самое нечувственное из всех возможностей художественной силы воплощения.

Было замечено, что в определенный момент жизни первобытного человека и ребенка у них появляется некоторое внутреннее переживание, рождение «Я», и с этого момента им становится доступным феномен числа, а следовательно, и отнесенный к «Я» окружающий мир.

Из хаоса впечатлений перед изумленным взором первобытного человека выступают огромные очертания проясняющегося мира упорядоченной протяженности, мира «ставшего», полного значений. Когда глубоко воспринятое неустранимое противоположение этого внешнего мира собственной душе дает осознанной жизни направление и облик, тогда одновременно с рождением всех вообще возможностей новой культуры в душе, внезапно постигшей свое одиночество, пробуждается изначальное чувство искания. Это – искание цели становления, искание законченности и осуществленности всех внутренних возможностей, раскрытия идеи собственного существования. Это искание ребенка, которое все яснее выступает в сознании как чувство неудержимой направленности и как загадка времени стоит перед зрелым духом – жуткая, манящая, неразрешимая. Слова «прошлое» и «будущее» получают вдруг смысл неумолимой судьбы.

Но это искание, идущее от полноты и блаженства внутреннего становления, есть вместе и страх, таящийся в темных глубинах каждой души. Как всякое становление направляется к тому, чтобы стать, – этим оно и кончается, – так изначальное чувство становления, искание, соприкасается с другим чувством, чувством завершенности, страхом. В настоящем (in der Gegenwart) чувствуется текучесть, в прошедшем – бренность. В этом корень вечного страха перед непоправимым, достигнутым, оконченным; перед преходящим, перед самим миром как осуществленным, в котором вместе с рубежом рождения положен и рубеж смерти, – страха перед мгновением, когда осуществляется возможное, когда жизнь внутренне наполняется и заканчивается, когда сознание стоит у цели. Это тот глубокий страх мира, который испытывает детская душа; который никогда не покидает зрелого человека, верующего, поэта, художника в его безграничном одиночестве, – страх перед чуждыми силами, огромными и грозным», окутанными в чувственные явления, вторгающимися в проясняющийся мир. Также и направленность всего становления, в ее неумолимости – необратимости, – воспринимается с глубокой внутренней достоверностью, как чуждый элемент. Есть что-то чуждое в том, что превращает будущее в прошедшее; это придает времени, в противоположность пространству, то противоречивое, жуткое и гнетущее двусмысленное, от чего не может вполне защититься ни один чуткий человек.

Страх мира есть, несомненно, самое творческое среди изначальных чувств. Ему обязан человек наиболее зрелыми и глубокими формами и образами не только опознанной внутренней жизни, но и ее отражением в бесчисленных созданиях внешней культуры. Подобно тайной мелодии, не всем доступной, страх проникает язык форм всякого истинного произведения искусства, всякой глубокой философии, всякого высокого подвига, и он, заметный очень немногим, лежит в основе великих проблем каждой математики. Только внутренне умерший человек больших городов позднего времени, птолемеевской Александрии или современного Парижа и Берлина; только насквозь рассудочный софист, сенсуалист и дарвинист теряет этот страх или отрекается от него, причем между собой и чуждым он ставит разрешившее все тайны «научное миросозерцание».

Если искание направляется к тому неосязаемому нечто, тысячи неуловимых, изменчивых, как Протей, образований которого скорее прикрываются, чем обозначаются словом «время», то изначальное чувство страха находит свое выражение в проникновенных, осязаемых, образных символах протяженности. Так, в бодрствующем сознании каждой культуры, в каждом по-своему, заключены противоположные формы времени и пространства, направленности и протяжения; первое лежит в основе второго, как становление в основе ставшего, ибо и искание лежит в основе страха; оно становится страхом, не наоборот; первое лишено духовного могущества, второе ему служит, первое только переживается, второе только познается. «Бояться и любить Бога» – христианское выражение для чувства противоположности обоих мироощущений.

Из души всего первобытного человечества, а следовательно и раннего детства, возникает побуждение заклинать, понуждать, смирять – «познавать» – элемент чуждых сил, которые неумолимо присутствуют во всем протяженном, в пространстве и через пространство. В конечном счете это одно и то же. Познать Бога в мистике ранних эпох – значит его заклинать, расположить к себе, внутренне себе приобщить. Это совершается посредством слова, «имени», именуя которым numen, его призывают, или посредством форм культа, которым свойственна тайная сила. Идеи немецкой, как и восточной, мистики, возникновение всех античных богов, все культы – не допускают в этом отношении никакого сомнения. Действительное познание есть духовный охват чуждого. Этот оборонительный акт – первое творческое деяние всякой пробужденной душевности. С него, собственно, начинается более высокая внутренняя жизнь культуры или отдельного человека. Познание, полагаете границы посредством понятий и чисел – самая тонкая, но и самая могущественная форма этой обороны. А поэтому человек только посредством языка становится вполне человеком. Познание с непреложной необходимостью превращает хаос изначальных окружающих впечатлений в космос, совокупность душевных выражений, «мир в себе» – в «мир для нас». Оно заглушает страх мира, укрощая чуждое, таинственное, придавая ему вид осязаемой упорядоченной действительности, сковывая его прочными правилами особого, чеканного, интеллектуального языка форм.

В этом идея «табу», играющего исключительную роль в душевной жизни всех первобытных народов, но по своему первоначальному содержанию так нам далекого, что это слово не переводимо более ни на один зрелый, культурный язык. В основе его лежит изначальное чувство, возникающее до всякого познания и понимания мира, до всякого ясного, душу и мир различающего сознания; в теперешнюю эпоху больших городов оно доступно только детям да немногим художественным натурам. Безысходный страх, священный ужас, покинутость, тоска, ненависть, неясное стремление к сближению, слиянию, отдалению – все эти оформляющие чувства зрелой души в той ранней стадии развития сливаются в смутной неразличимости. Двойной смысл слова «заклинать», которое в одно и то же время значит и «принуждать» и «умолять», может уяснить значение того мистического акта, которым древний человек чуждое и страшное делает «табу». Благоговейный страх перед всем от него независимым, положенным, предуказанным, перед чуждыми силами природы есть изначало всех элементарных форм. В древнейшие времена «табу» осуществляется в иератических орнаментах, в томительных церемониях, в строгих установлениях примитивных нравов и необыкновенных культов. В великих культурах эти образования, не потеряв внутренних признаков своего происхождения, характера колдовства и заклинания, вырастают в совершенный мир форм отдельных искусств, религиозного, логического, математического мышления, экономического, политического, социального, индивидуального существования. Общее всем им средство, единственное, которое знает осуществляющая себя душа, есть символизация протяженного, пространства или вещей, – будь это концепции абсолютного мирового пространства физики Ньютона, внутренний простор готического собора и мавританской мечети, бесконечное обилие воздуха в картинах Рембрандта и мрачный мир звуков бетховенского квартета; будь это правильные многогранники Эвклида, скульптура Парфенона или пирамиды Древнего Египта; нирвана Будды, придворный этикет времен Сезостриса, Юстиниана I и Людовика XIV; будь это, наконец, идея Бога Гомера, Плотина, Данте или побеждающая пространства всего земного шара энергия современной техники.

Но вернемся к математике. Исходной точкой всего античного оформления был, как мы видим, порядок ставшего, поскольку оно проявляется в чувственном, наличном, осязаемом, измеримом, поддающемся счету. Западноевропейское, готическое чувство формы одинокой, витающей в далях души избрало средством своего выражения чистое, невоззрительное, безграничное пространство. Не следует обманываться узким пониманием таких символов, которые мы охотно принимаем за тождественные, общезначимые. Наше бесконечное мировое пространство, о существовании которого, казалось бы, нечего распространяться, для античного человека вовсе не существовало. Для него оно даже непредставимо. С другой стороны, эллинский космос, глубокая чуждость которого нашему миросозерцанию не должна была бы так долго оставаться незамеченной, казался эллину чем-то само собою разумеющимся. В действительности абсолютное пространство нашей физики оказывается формой, возникшей только из нашей душевности, как ее отображение и выражение, и только для нашего бодрствующего существования оно действительно, необходимо и естественно. Вся математика начиная с Декарта служит теоретической интерпретацией этого великого символа, исполненного религиозным содержанием. Со времени Галилея физика ничего другого не хочет. Античная математика и физика не знают вообще этого объекта.

И здесь также сущность дела затуманена античными названиями, которые мы удержали из литературного наследия греков. Геометрией называется искусство измерения, арифметикой – искусство счета. Математике Запада нечего больше делать с этими обоими видами ограничения, но она не придумала себе нового названия. Слово «анализ» выражает далеко не все.

Свои исследования античный математик и начинает и кончает единичным телом и ограничивающей его поверхностью. Мы знаем, в сущности, только абстрактный пространственный элемент точки; лишенный наглядности, возможности измерения и наименования, он представляет собою, собственно, только центр отношения. Прямая для грека есть измеримая граница, для нас – неограниченный точечный континуум. Лейбниц приводит в качестве примера для принципа бесконечно малых прямую, которую можно рассматривать как предельный случай круга с бесконечно большим радиусом; точка же оказывается опять-таки предельным случаем. Для духа античного человека квадратура круга была классической предельной проблемой. Вот что казалось греческому духу самой глубокой тайной мировой формы: превратить криволинейно ограниченные плоскости в прямоугольные и, не меняя их величины, сделать их таким образом измеримыми. Для нас стало очень простым делом – изобразить число л алгебраическими средствами, не поднимая при этом и речи о геометрических образах.

Античный математик знает только то, что он видит я осязает. Где кончается ограниченная, ограничивающая видимость – сфера его полета мысли, – там находит конец и его наука. Западноевропейский математик, как только он, освобожденный от античных предрассудков, становится самим собой, углубляется в совершенно абстрактную область бесконечного числового множества, не трех, а n измерений, внутри которого его так называемая геометрия может и часто должна обойтись без всякой помощи наглядного. Если античный человек обращается к художественному выражению своего чувства формы, то он стремится придать человеческому телу в танце и состязании, в мраморе и бронзе такое положение, в котором плоскости и контуры имели бы максимум соразмерности и выразительности. Настоящий художник Запада закрывает глаза и теряется в области бестелесной музыки, где гармония и полифония ведут к творениям величайшей «потусторонности», выходящим за пределы всех возможностей оптической определенности. Стоит только представить себе, что понимают под фигурой афинский скульптор и северный контрапунктист, и тогда станет совершенно ясной противоположность этих двух миров, двух математик. Греческая математика пользуется словом «sфma» для обозначения тела. С другой стороны, правовой язык применяет то же слово к личности в противоположность вещи («sцmata cai pragmata»; personae et res).

Феномен античного, целого, телесного числа невольно поэтому ищет отношения к телесному началу человека, к «sфma». Единица едва ли принималась как настоящее число. Она – «архе», изначальная основа числового ряда, изначало всех чисел и, следовательно, всех величин, всех мер, всякой вещественности. Ее числовой знак в кругу пифагорейцев всегда был символом материнского лона, изначала всей жизни. Двойка, первое настоящее число, которое удваивает единицу, была связана с принципом мужского начала, и ее знаком стало изображение фаллоса. Наконец, священная троица символизировала акт соединения мужчины и женщины, зачатия – и вполне понятен эротический смысл двух особенно важных для античности процессов – роста величины и порождения величины, сложения и умножения; знаком тройки было соединение двух первых чисел. Отсюда проливается новый свет на упомянутый выше миф о дерзости раскрытия иррационального. Иррациональное, выражаемое нами применением бесконечных десятичных дробей, есть разрушение органически-телесного, созидательного порядка, который был установлен богами. Нет сомнения, что пифагорейская реформа античной религии восстановила древний культ Деметры. Деметра родственна Гее, матери-земле. Есть глубокая зависимость между ее почитанием и этим возвышенным пониманием числа.

Так античный мир с внутренней необходимостью стал постепенно культурой малого. Аполлоновская душа стремилась заклясть смысл завершенного посредством принципа обозримой границы; ее «табу» направлено на непосредственную наличность и близость чуждого. Что давно прошло, что невидимо, того и нет. Грек, как и римлянин, приносил жертвы богам той страны, где ему случалось быть, – все другие исчезали из его кругозора. Как греческий язык не имеет названия для пространства – мы будем постоянно подчеркивать мощную символику таких явлений языка, – так нет у грека нашего чувства ландшафта, чувства горизонта, далей, облаков, а также понятия отечества, широко раскинувшегося и охватывающего великую нацию. Отчизна для античного человека – это то, что он мог окинуть взором со стен родного города, не больше. Что лежало по ту сторону видимой границы такого политического атома, было чуждо, даже враждебно. Здесь начинается уже страх античного существования, и это объясняет чудовищную ожесточенность, с какой эти крошечные города уничтожали друг друга. Полис – это самое маленькое из всех мыслимых государств, и его политика, ясно выраженная политика «близкого», – полная противоположность нашей дипломатии кабинетов, политике безграничного. Античный храм, если охватить его единым взором, – самое маленькое из всех классических строений. Геометрия от Архита до Эвклида – как это делает под их влиянием школьная геометрия еще и теперь – занимается маленькими, удобными для обращения фигурами и телами, и для нее, таким образом, были скрыты трудности, которые всплывают при оперировании астрономическими расстояниями, не всегда допускающими пользование Эвклидовой геометрией. Но вместе с тем тонкий античный дух как будто тогда уже предугадывал проблему неэвклидовых геометрий: возражения против известной аксиомы о параллельных, содержание которой с давних пор не удовлетворяло геометров, близко наталкивали на возможное решение вопроса. Наложения элементарного счисления, например 2 x 2 = 4, казалось само собою разумеющимся, – настолько же нам само собою разумеющимся кажется оперирование бесконечным, выходящим за пределы наглядности. Все математические взгляды, которые Западная Европа отвергала или принимала, с глубокой необходимостью подчинялись языку форм счисления бесконечно малых задолго до того, как было открыто само дифференциальное счисление. Арабская алгебра, индийская тригонометрия, античная механика были сразу включены в анализ. Положения элементарного счисления, например 2 x 2 = 4, – казалось бы, самые «очевидные» – с аналитической точки зрения оказываются проблемами, решение которых при помощи выводов из теории множеств в отдельных своих частях вообще еще не удалось; Платону и его времени все это показалось бы явным сумасбродством и служило бы доказательством полного отсутствия математической одаренности.

Можно, конечно, трактовать геометрию алгебраически или алгебру геометрически; это значит или устранить то, что дается глазу, или дать ему господствовать. Первое делаем мы, второе – греки. Архимед, который в своем прекрасном исследовании спирали затрагивает известные общие факты, лежащие в основе также и метода определенного интеграла у Лейбница, сейчас же подчиняет стереометрическому принципу свой на первый взгляд вполне модернистический метод. Индиец, само собою разумеется, дал бы в этом случае тригонометрическую формулировку. (Теперь нельзя уже установить, что именно в известной нам индийской математике возникло в древнеиндийский период, то есть до Будды.)

Из основного противоположения античного и западноевропейского числа вытекает столь же глубоко идущее противоположение того отношения, в котором стоят друг к другу элементы каждого из этих комплексов. Соотношение величин называется пропорцией, соотношение же отношений определяет сущность функции. Оба слова, выходя за пределы математики, имеют очень большое значение для техники соответствующих искусств – пластики и музыки. Если совершенно отвлечься от того смысла, который имеет слово «пропорция» для соразмерности частей отдельной статуи, то только типичные античные произведения искусства – статуи, рельефы, фрески – допускают увеличение и уменьшение масштаба – слова, которые для музыки, искусства безграничного, не имеют никакого смысла. Вспомните об искусстве гемм, задача которого сводилась к простому уменьшению статуй натуральной величины. В пределах же теории функций понятие трансформации групп, напротив того, имеет решающее значение, и музыкант подтвердит, что аналогичные образования составляют существенную часть нового учения о композиции. Я напомню только об одной тончайшей инструментальной форме XVIII столетия – «теме с вариациями».

Всякая пропорция предполагает постоянство, всякая трансформация – изменчивость элементов: здесь следует сравнить положения конгруэнтности у Эвклида, доказательства которых фактически покоятся на наличном отношении 1:1, с современным выведением при помощи угловых (тригонометрических) функций.

Конструкция – которая в широком смысле включает все методы элементарной арифметики – есть альфа и омега античной математики: она состоит в создании единичного, стоящего перед нашими глазами объекта. Циркуль – вот резец этого второго изобразительного искусства. Способ работы при исследованиях в области теории функций, цель которого не результат в виде определенной величины, а рассмотрение всех формальных возможностей, может быть характеризован как род теории композиции, близко напоминающий музыкальную. Целый ряд понятий теории музыки мог бы быть непосредственно применен к аналитическим операциям физики – «тональность», «фразировка», «хроматика» и пр., – и очень возможно, что некоторые зависимости выиграли бы при этом в ясности.

Всякая конструкция утверждает наглядную очевидность, всякая операция ее исключает, причем одна создает оптически данное, другая его разлагает. Так появляется дальнейшее противоположение обоих видов математической деятельности: античная математика «малого» рассматривает конкретный, единичный случай, вычисляет определенное задание, единичную конструкцию. Математика бесконечного занимается целыми классами формальных возможностей, группами функций, операций, уравнений, кривых, имея в виду не какой-нибудь результат (в арифметическом смысле), а свой собственный ход исследования. Два столетия тому назад – и современными математиками это едва сознается – возникла идея всеобщей морфологии математических операций, которая раскрывает действительный смысл всей новой математики. Здесь обнаруживается всеобъемлющая тенденция западноевропейского духа вообще, которая в дальнейшем будет становиться все яснее, тенденция, которая оказывается исключительно достоянием фаустовского духа и его культуры и ни в какой другой не находит ничего родственного. Огромное большинство вопросов, которыми занимается наша математика как наиболее ей близкими (у древних этому отвечает квадратура круга), например исследование признаков сходимости бесконечных рядов (Коши) или обращение эллиптического, или общеалгебраического, интеграла в периодические функции (Абель, Гaycc), показалось бы, вероятно, «древним», которые искали в качестве результата обыкновенные определенные величины, какой-то остроумной, несколько запутанной игрой, как это кажется и в наше время распространенному мнению широких кругов. Нет ничего менее популярного, как современная математика, и в этом также есть доля символики бесконечной дали, дистанции. Все великие творения Запада, от Данте до «Парсифаля», – непопулярны; все античные, от Гомера до Пергамского алтаря, – популярны в высшей степени.

Итак, все содержание западноевропейского мышления числа сосредоточивается в классической проблеме, дающей ключ к тому труднодоступному понятию бесконечного – фаустовского бесконечного, – которое очень далеко от бесконечного арабского и индийского миросозерцания. Дело идет о теории пределов, как бы более узко ни рассматривать число в отдельном случае, как бесконечный ряд, кривую или функцию. Этот предел есть самая резкая противоположность античного предела, до сих пор так не называвшегося, который представляет собою неизменно ограниченную плоскость измеримой величины. Вплоть до XVIII столетия популярные эвклидовские предрассудки затемняли смысл принципа дифференциала. Как бы осторожно ни применять здесь почти напрашивающееся понятие бесконечно малого, ему все же будет присущ легкий оттенок античной неизменности, подобие величины; такое понятие мог бы признать Эвклид, хотя он и не знал его совершенно. Нуль есть константа, целое число в линейном континууме между +1 и – 1; аналитическим исследованиям Эйлера сильно повредило, что он – как и многие вслед за ним – принимал дифференциал за нуль. Только выясненное окончательно Коши понятие предела устраняет этот остаток античного чувства числа и делает учение о бесконечно малых свободной от противоречия системой. Только переход от «бесконечно малой величины» к «нижнему пределу всякой возможной конечной величины» ведет к концепции такого переменного числа, которое всегда остается меньше всякой отличной от нуля конечной величины и таким образом не имеет больше ни малейшей черты величины. В этом окончательном понимании предел вообще уже не есть то, к чему приближаются. Он сам представляет собою приближение – процесс, операцию. Он не состояние, а действие. Здесь, в проблеме, имеющей решающее значение для западноевропейской математики, внезапно раскрывается, что наша душевность организована исторично6.

Освободить геометрию от наглядности, алгебру от понятия величины и обе объединить, по ту сторону элементарных рамок конструкции и счета, в могучее сооружение теории функций – таков был великий путь западноевропейского мышления числа. Так античное постоянное число было превращено в переменное. Геометрия, ставшая аналитической, растворила все конкретные формы. Она заменяет математическое тело, неизменная картина которого создавала геометрические понятия, абстрактно пространственными отношениями, более уже неприложимыми к чувственно данной наглядности. Оптические образования Эвклидовой геометрии она заменяет геометрическими местами, относящимися к координатной системе, начало которой может быть произвольно выбрано, и сводит предметное существование геометрического объекта к требованию, что во время операции, имеющей дело уже не с измерениями, а с уравнениями, выбранная система координат не должна изменяться. Но и координаты рассматриваются далее уже только как чистые значения, которые не столько определяют положения точек – абстрактных элементов пространства, сколько их представляют и заменяют. Число, граница ставшего, символически изображается уже не картиной фигуры, а картиной уравнения. «Геометрия» меняет свой смысл. Координатная система как картина исчезает, и точка становится совершенно абстрактной числовой группой. Переход архитектуры Возрождения посредством новшеств Микеланджело и Виньолы в архитектуру барокко – вот точная копия этого внутреннего превращения анализа. На фасадах дворцов и церквей чувственно чистые линии перестают быть действительными. На месте ясных координат флорентийско-римского расположения колонн и деления на этажи всплывают элементы счисления «бесконечно малых», разливающиеся потоком части зданий, волют, картушей. Конструкция исчезает под изобилием декоративного – математически выражаясь – функционального. Колонны и пилястры, соединенные в группы и пучки, тянутся через весь фасад, не давая покоя глазу, собираются и рассеиваются. Плоскости стен, крыш, этажей растворяются в лепных украшениях и орнаментах, исчезают и распадаются под цветным освещением. Свет, который играет переливами в этом мире форм зрелого барокко – от Бернини около 1650 года до рококо в Дрездене, Вене, Париже, – стал чисто музыкальным элементом. Дрезденский Цвингер – это симфония. Вместе с математикой и архитектура в XVIII столетии развилась в мир форммузыкального характера.

На пути этой математики должен был наступить наконец момент, когда не только границы искусственных геометрических образов, но и границы зрительного чувства вообще, как со стороны теории, так и со стороны самой души в ее стремлении к неудержимому выражению своих внутренних возможностей, стали восприниматься как границы, как препятствия, где, следовательно, идеал трансцендентной протяженности привел в корне к противоречию с ограниченными возможностями непосредственной очевидности. Античная душа, которая, в ее преданности платоновской и стоической «атараксии», предоставляла чувственному полный простор действовать и управлять и скорее пассивно принимала, чем создавала, как это доказывает скрытый эротический смысл пифагорейских чисел, никогда не могла иметь желания преступить телесное теперь и здесь. Если пифагорейское число обнаруживалось в сущности отдельных вещей в природе, то число Декарта и математиков после него было чем-то таким, что должно было быть завоевано и насильственно взято, – властное, абстрактное отношение, независимое от всяких чувственных данностей, но всегда готовое эту независимость сделать значимой в отношении к природе. Воля к власти – употребляя великую формулу Ницше, – которая со времени ранней готики «Эдды», соборов и крестовых походов, даже со времени воинственных викингов и готов знаменует деятельность души в ее отношении к своему миру, проявляется также и в энергии западноевропейского числа в его отношении к наглядности. Это – «динамика». В аполлоновской математике дух служит глазу, в фаустовской – дух преодолевает глаз.

Математическое «абсолютное» и тем самым совершенно не античное пространство (чего не решались заметить математики в почтительном страхе перед эллинской традицией) было с самого начала не шаткой пространственностъю ежедневных впечатлений, ходкой живописи или обманчиво однозначной и точной априорной наглядностью Канта, но чистой абстрактностью, идеальным и невыполнимым постулатом души, которая все меньше удовлетворялась чувственным как средством выражения и наконец решительно от него отвернулась. Проснулся внутренний взор.

Теперь только глубоким мыслителям должно было стать ясным, что Эвклидова геометрия, единственная и правильная для наивного взгляда всех времен, при рассмотрении с этой высшей точки зрения оказывается не более чем гипотезой, исключительная значимость которой по отношению к другим, притом совершенно лишенным наглядности видам геометрии никогда не может быть доказана, как это мы точно знаем со времени Гаусса, не говоря уже о пресловутом «согласии» с действительностью – этой догме профанов, опровергаемой каждым взглядом вдаль, где сходятся все параллели. Ядро этой геометрии – аксиома о параллельных Эвклида – оказывается утверждением, которое может быть заменено другими, именно что через точку к прямой можно провести две, много или ни одной параллельной; эти утверждения приводят к совершенно непротиворечивым трехмерным геометрическим системам, которые могут применяться в физике и особенно в астрономии и иногда даже предпочитаются Эвклидовым.

Уже простое требование неограниченности протяженного – которую со времени Римана и его теории неограниченных, но в силу их кривизны не бесконечных пространств можно отличить от бесконечности – противоречит собственному характеру всякой непосредственной наглядности, которая зависит от отражений света, то есть от материальных границ. Возможны, однако, такие абстрактные принципы полагания границы, которые в совершенно новом смысле преодолевают возможности оптической ограниченности. Для проницательного взора уже в картезианской геометрии лежит тенденция выхода за пределы трех измерений непосредственно переживаемогопространства как границ, вовсе не необходимых для символики чисел. И если начиная только с 1800 года представление многомерного пространства – было бы лучше заменить это слово «новым» – стало более широким основоположением для аналитического мышления, то первый шаг в этом направлении был сделан уже в тот момент, когда степени, вернее, логарифмы, освобожденные от их изначальных отношений к чувственно реализируемым плоскостям и телам – посредством применения иррациональных и комплексных показателей, – были введены в область функционального как объекты отношений совершенно общего характера. Тот, кто вообще может здесь ориентироваться, поймет, что переходом от а3 как естественного максимума к аn уже снимается безусловность пространства трех измерений.

После того как пространственный элемент точки потерял уже оптический характер отрезка координат в наглядно-представляемой системе и стал определяться как группа трех независимых чисел, – не могло быть больше препятствий к тому, чтобы заменить число 3 числом n. Произошло изменение самого понятия измерения: оно теперь уже не число меры, не оптические свойства точки в отношении к ее положению в системе, но неограниченное число измерений представляет здесь совершенно абстрактные свойства некоторой числовой группы. Эта числовая группа – из n независимых упорядоченных элементов – является картиной точки; она называется одной точкой. Логически отсюда развитое уравнение называется плоскостью, является картиной плоскости. Совокупность всех точек n измерений называется n-мерным пространством, В этом трансцендентном пространственном мире, который не стоит уже ни в каком отношении к чувственности, царят открываемые анализом отношения, которые находятся в полном согласии с результатами экспериментальной физики. Эта пространственность высшего порядка есть символ, который сполна оказывается достоянием западноевропейского духа. Только этот дух в этих формах должен был заклинать ставшее и протяженное посредством этого рода усвоения – вспомним о «табу», – заклинать чуждое, принуждать, следовательно, пытаться «познать» и понять. Только в этой сфере числового мышления, которая доступна всегда очень небольшому кругу людей – но то же самое можно сказать и по отношению к наиболее глубоким моментам нашей музыки, нашей живописи, нашей догматики, – получают характер чего-то действительного и такие образования, как система гиперкомплексных чисел (квартернионы векториального счисления), и, наконец, такой, совершенно непонятный знак, как ∞n. Следует ясно понять, что действительность не есть только чувственная действительность, что скорее душевное может сделать свои идеи действительными посредством образований, совершенно других, чем наглядные.

Из этой замечательной интуиции символических пространств вытекает последний и заключительный взгляд всей западноевропейской математики – расширение и одухотворение функциональной теории в теорию групп. Группы суть множества или совокупности однородных математических образований, например всех дифференциальных уравнений некоторого определенного типа, множества, которые построены и упорядочены по аналогии с дедекиндовским числовым корпусом. Дело идет, таким образом, о мире совершенно новых чисел, которые и для внутреннего глаза посвященного все же не вполне свободны от известной доли чувственности. Выдвигаются исследования известных элементов этих величайших по своей абстрактности формальных систем, которые инвариантны по отношению к одной-единственной группе операций – трансформаций системы, от действий в пределах которой они остаются независимыми. Общая задача этой математики получает, таким образом, следующую формулировку (по Клейну): «Пусть дано n-мерное многообразие («пространство») и группа трансформаций. Принадлежащие к многообразию образования должны быть исследованы в отношении таких свойств, которые не изменяются трансформациями группы».

На этой высочайшей вершине математика Запада заканчивает свое развитие, исчерпав все свои внутренние возможности и исполнив свою миссию – быть отображением и самым чистым выражением идеи фаустовской душевности в том же самом смысле, как это сделала математика античной культуры в третьем столетии. Обе науки, единственные, органическая структура которых уже теперь допускает по отношению к себе историческое рассмотрение, возникли из совершенно разных концепций числа – концепций Пифагора и Декарта, – обе достигли своей зрелости столетие спустя в роскошном полете мысли, и обе завершают здание своих идей после цветущего состояния в течение трех столетий в ту же самую эпоху, когда культура, к которой они принадлежали, переходит в цивилизацию мировых городов. Эта глубокая внутренняя связь станет далее ясной. Несомненно, что время великих математиков для нас прошло. Теперь идет та же работа хранения, округления, утончения, выборки – талантливая малая работа вместо великих творений, которая характерна и для александрийской математики позднего эллинизма.

Все это может быть пояснено исторической схемой.