14. Обобщения Ньютона

Книга: Объясняя мир. Истоки современной науки

С Ньютоном мы подходим к кульминации научной революции. Но что за странный тип сыграл такую важную роль в истории науки! Ньютон никогда не покидал маленький район Англии, в который входили Лондон, Кембридж и его родная деревня в Линкольншире. Он даже никогда не видел моря, приливы и отливы которого так его интересовали. Достигнув средних лет, Ньютон не имел близких отношений ни с одной женщиной, и даже с матерью его отношения были прохладными. Его очень волновали вопросы, не имеющие никакого отношения к науке, в том числе хронология Книги пророка Даниила. Каталог рукописей Ньютона, выставленный на продажу на аукционе «Сотби» в 1936 г., насчитывал 650 000 слов в текстах по алхимии и 1,3 млн слов в текстах по религии. С теми, кто казался ему соперником, Ньютон мог быть коварным и отвратительным. Тем не менее этот человек связал воедино физику, астрономию и математику, что не удавалось сделать философам со времен Платона.

Некоторые авторы настаивают, что Ньютон не был современным ученым. Среди этих заявлений хорошо известно высказывание Джона Мейнарда Кейнса, купившего на аукционе «Сотби» в 1936 г. некоторые бумаги Ньютона: «Ньютон не был первым человеком века разума. Он был последним из волшебников, вавилонян и шумеров, последним из великих умов, смотревших на внешний и внутренний мир теми же глазами, как и те, кто начал создавать наше научное наследие чуть ли не 10 000 лет тому назад». Но Ньютон не был просто талантливым пережитком магического прошлого. Не будучи ни волшебником, ни в полном смысле слова современным ученым, он пересек границу между натурфилософией прошлого и тем, что стало современной наукой. Достижения Ньютона, несмотря на все его недостатки, обеспечили парадигму, которой в дальнейшем следовали все ученые и благодаря которой наука стала современной.

Исаак Ньютон родился в рождественский день 1642 г. на семейной ферме в имении Вулсторп в Линкольншире. Его отец, неграмотный йомен (мелкий землевладелец), умер вскоре после рождения сына. У матери было более высокое положение в обществе, она была джентри (мелкопоместная дворянка), а ее брат закончил Кембриджский университет и стал священником. Когда Ньютону было три года, его мать снова вышла замуж и уехала из Вулсторпа, оставив сына на попечение бабушки. С десяти лет Ньютон посещал королевскую школу, занимавшую одну комнату в городке Грэнтем, в двенадцати километрах от Вулсторпа. Там он жил в доме местного аптекаря. В Грэнтеме он изучал латынь и теологию, арифметику и геометрию, немного греческий и древнееврейский.

В возрасте семнадцати лет Ньютона вернули домой, чтобы он занялся фермерством, но выяснилось, что для этого занятия он совершенно не подходит. Через два года его отправили в Тринити-колледж Кембриджского университета, где он стал студентом-сайзером, то есть с него не брали плату за обучение, проживание и питание, но он должен был выполнять различные работы в колледже и прислуживать тем студентам, которые имели возможность оплачивать свои счета. Как и Галилей в Пизе, Ньютон начал свое образование с изучения трудов Аристотеля, но вскоре углубился в собственные разработки. На втором курсе он стал вести серию заметок под названием «Вопросник» (Questiones quandam philosophicae) в тетради, в которой ранее делал заметки о работах Аристотеля и которая, к счастью, сохранилась до наших дней.

В декабре 1663 г. Кембриджский университет получил пожертвование от Генри Лукаса, члена английского парламента, учредившего именную профессуру – должность Лукасовского профессора математики – со стипендией £100 в год. Начиная с 1664 г. эту должность занимал Исаак Барроу, первый профессор математики в Кембридже, который был на двенадцать лет старше Ньютона. Примерно в это время Ньютон начал изучать математику под началом Барроу и самостоятельно, а также получил степень бакалавра искусств. В 1665 г. чума поразила Кембридж, университет был практически закрыт, и Ньютон уехал домой в Вулсторп. В эти годы, начиная с 1664 г., он начал свои научные исследования, о которых мы поговорим ниже.

Вернувшись в 1667 г. в Кембридж, Ньютон был избран в братство Тринити-колледжа, что давало ему £2 в год и право свободно пользоваться библиотекой колледжа. Он много работал с Барроу, помогая ему записывать лекции. Затем, в 1669 г. Барроу освободил должность Лукасовского профессора математики, чтобы полностью посвятить себя теологии. По предложению Барроу должность перешла к Ньютону, который, получив финансовую поддержку от матери, начал жить на широкую ногу, покупая новую одежду, мебель и даже немного увлекшись азартными играми.

А незадолго до этого, сразу же после реставрации монархии Стюартов в 1660 г., несколько лондонцев, в том числе Бойль, Гук, а также астроном и архитектор Кристофер Рен, создали научное общество, где собирались, чтобы обсуждать вопросы натурфилософии и наблюдать за демонстрацией экспериментов. Вначале в нем был только один иностранец – Христиан Гюйгенс. В 1662 г. общество получило королевскую грамоту и стало называться Лондонским королевским обществом. Оно сохранилось до наших дней как Британская национальная академия наук. В 1672 г. Ньютон был избран членом Лондонского королевского общества, а позже стал его президентом.

В 1675 г. Ньютон столкнулся с кризисной ситуацией. После восьми лет членства в братстве Тринити-колледжа он, как и все другие братья в колледже Кембриджа, должен был принять духовный сан в англиканской церкви. Для этого требовалось поклясться в вере в Святую Троицу, но для Ньютона, который отверг решение Никейского собора о том, что Бог-отец и Бог-сын являются единым целым, это было невозможно. К счастью, документ, по которому была учреждена должность Лукасовского профессора математики, включал оговорку о том, что человек, ее занимающий, не обязан каким-либо образом заниматься делами церкви. На этом основании король Карл II выпустил указ о том, что от занимающего должность Лукасовского профессора математики впредь не должны требовать вступления в духовный сан. Таким образом, Ньютон и дальше мог оставаться в Кембридже.

А теперь перейдем к той огромной работе, которую в 1664 г. Ньютон начал в Кембридже. Эти исследования включали в себя оптику, математику и то, что позже было названо динамикой. Работы Ньютона в каждой из названных областей характеризуют его как одного из величайших ученых в истории.

Главные экспериментальные достижения Ньютона касались оптики. Студенческий «Вопросник» (Questiones quandam philosophicae) характеризует своего автора как ученого, заинтересовавшегося природой света. В отличие от Декарта, Ньютон пришел к заключению, что свет не оказывает никакого давления на глаза, поскольку, если бы это было так, небо казалось бы нам более ярким, когда мы бежим. В 1665 г. в Вулсторпе он внес свой величайший вклад в оптику – создал теорию цвета. Еще со времен античности известно, что, когда свет проходит через искривленное стекло, появляются различные цвета, но считалось, что эти цвета каким-то образом производятся самим стеклом. Ньютон предположил, что белый свет состоит из всех цветов одновременно, а угол преломления луча в стекле или воде зависит от его цвета. Например, для красного цвета он немного меньше, чем для синего, поэтому лучи разного цвета разделяются, когда свет проходит через призму или каплю воды. Это объясняло то, чего не понимал Декарт, – появление цветов радуги. Чтобы проверить эту идею, Ньютон провел два важных эксперимента. Во-первых, использовав призму, чтобы выделить лучи синего или красного цвета, Ньютон попытался еще раз пропустить их через другие призмы и увидел, что дальнейшего разложения на новые цвета не происходит. Затем, расставив призмы определенным образом, он сумел соединить обратно все цвета, которые получаются при преломлении белого цвета, и увидел, что при этом снова получается белый цвет.

Зависимость угла преломления от цвета имела одно неприятное свойство: стеклянные линзы телескопов, которые были у Галилея, Кеплера и Гюйгенса, фокусировали различные цвета белого по-разному, искажая изображения далеких объектов. Чтобы избежать этой хроматической аберрации, Ньютон в 1669 г. изобрел телескоп, где свет первоначально фокусировался с помощью вогнутого зеркала, а не с помощью линзы (затем плоское зеркало направляло лучи из трубы телескопа в окуляр, состоящий из линзы, из-за чего не от всей хроматической аберрации удалось избавиться). С помощью телескопа-рефлектора длиной всего 15 см Ньютону удалось добиться увеличения в 40 раз. Все основные современные астрономические оптические телескопы – это телескопы-рефлекторы, потомки того, который изобрел Ньютон. Когда я побывал в сегодняшней штаб-квартире Лондонского королевского общества в Карлтон-Хаус-Террас, в качестве поощрения меня провели в подвальный этаж, чтобы взглянуть на маленький телескоп Ньютона, второй из тех, что он сделал.

В 1671 г. Генри Олденбург, секретарь и духовный лидер Королевского общества, предложил Ньютону опубликовать описание своего телескопа. Ньютон поместил письмо с этим описанием и свою работу о цвете в «Философские записки королевского общества» в начале 1672 г. После этого разгорелась полемика по поводу значимости и оригинальности работы Ньютона, в которой особое участие принимал Гук, бывший с 1662 г. куратором экспериментов при Королевском обществе и с 1664 г. читавший лекции по механике, профинансированные сэром Джоном Кутлером (так называемые «кутлеровские лекции»). Гук не был слабым оппонентом. Он сам внес значительный вклад в развитие астрономии, микроскопии, часового механизма, механики и градостроительства. Гук заявлял, что сам проводил такие же эксперименты со светом, как и Ньютон, и что они не доказывают ничего – призма просто добавляет цвета́ к белому свету.

В 1675 г. в Лондоне Ньютон прочитал лекцию по своей теории света. Он предполагал, что свет, как и любое вещество, состоит из множества маленьких частиц, что противоречило точке зрения, которой в то время придерживались Гук и Гюйгенс (о том, что свет – это волна). Это был один из тех случаев, когда научное чутье Ньютона подводило его. Существовало множество наблюдений, доказывающих волновую природу света. Действительно, в современной квантовой механике свет описывается как совокупность не имеющих массы частиц, которые называются фотонами, но в свете, с которым мы сталкиваемся в повседневной жизни, количество фотонов огромно, и вследствие этого свет ведет себя как волна.

В своей работе «Трактат о свете», вышедшей в 1678 г., Гюйгенс описал свет как волну возмущений в среде, эфире, состоящем из огромного количества мельчайших материальных частиц, располагающихся в тесном соседстве. Как и волна в океане в области больших глубин не перемещает воду вдоль поверхности океана, а лишь вызывает ее вертикальные колебания, так и свет, по теории Гюйгенса, – это волна возмущений среди частиц эфира, которая движется вдоль луча света, но сами частицы при этом вдоль луча не перемещаются. Каждая затронутая частица становится новым источником возмущения, что создает общую амплитуду волны. Конечно, после работ Джеймса Клерка Максвелла в XIX в. мы знаем (даже если отвлечься от квантовых эффектов), что Гюйгенс был прав только наполовину: свет – это действительно волна, но волна возмущений в электрическом и магнитном поле, а не волна возмущений материальных частиц.

Используя волновую теорию света, Гюйгенс сумел вывести, что свет в однородной среде (или в пустоте) ведет себя так, как будто двигается по прямым линиям, то есть волновое возмущение частиц как будто слагается из колебаний частиц только вдоль этих линий. Он по-новому объяснил правило равенства углов падения и отражения и закон преломления Снеллиуса, не используя априорное предположение Ферма о том, что свет совершает свой путь за наикратчайшее время (см. техническое замечание 30). По теории преломления Гюйгенса луч света преломляется, проходя под непрямым углом границу между двумя средами, скорость света в которых отличается, примерно так же, как и отряд солдат изменяет направление своего движения вслед за передовым флангом строя, переходя с хорошей дороги на болотистую местность, где его скорость снижается.

Немного отклоняясь от темы, скажу, что по волновой теории Гюйгенса, в отличие от Декарта, свет движется с конечной скоростью. Гюйгенс утверждал, что эффекты, вызванные этой конечной скоростью, просто трудно заметить, потому что свет движется очень быстро. Если бы, к примеру, свету был необходим час, чтобы преодолеть расстояние от Земли до Луны, то во время лунного затмения Луна располагалась бы не непосредственно напротив Солнца, а отставала бы от него примерно на 33°. Поскольку такого отставания мы не наблюдаем, Гюйгенс сделал вывод, что скорость света должна быть, по крайней мере, в 100 000 раз быстрее скорости звука. Это предположение недалеко от истины – на самом деле соотношение этих скоростей составляет примерно миллион раз.

Также Гюйгенс описал недавние наблюдения спутников Юпитера датским астрономом Оле Рёмером. Эти наблюдения показывали, что период обращения Ио кажется короче, когда Земля и Юпитер приближаются друг к другу, и длиннее, когда они расходятся (на Ио обратили особое внимание, поскольку у него самый короткий орбитальный период из всех галилеевских спутников Юпитера – всего 1,77 суток). Гюйгенс интерпретировал это как явление, которое позже стало называться эффектом Доплера: когда Юпитер и Земля сближаются или расходятся, расстояние между ними при каждом последующем окончании периода обращения Ио соответственно уменьшается или увеличивается. Поэтому, если свет движется с конечной скоростью, временной интервал между наблюдениями каждого полного периода обращения Ио будет, соответственно, меньше или больше, чем если бы Земля и Юпитер находились в состоянии покоя. Точнее говоря, долевой сдвиг в наблюдаемом периоде обращения Ио должен быть равен отношению относительной лучевой скорости Земли и Юпитера к скорости света. При этом относительная лучевая скорость может принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от того, отдаляются Земля и Юпитер или сближаются (см. техническое замечание 31). Измерив видимые изменения периода Ио и зная относительную скорость Земли и Юпитера, можно высчитать скорость света. Поскольку Земля движется быстрее Юпитера, именно вклад Земли в относительную скорость наибольший. В те времена размеры Солнечной системы были известны не очень хорошо, так же как и численное значение относительной скорости расхождения Земли и Юпитера, но, опираясь на данные Рёмера, Гюйгенс сумел высчитать, что свету требуется 11 минут, чтобы преодолеть расстояние, равное радиусу земной орбиты. Этот результат не зависел от конкретного значения радиуса. Иначе говоря, поскольку астрономическая единица определяется именно как радиус земной орбиты, то Гюйгенс определил, что свет проходит астрономическую единицу за 11 минут. Современное значение скорости света составляет одну астрономическую единицу за 8,32 минуты.

И Гюйгенсу, и Ньютону были доступны экспериментальные свидетельства того, что свет имеет волновую природу: открытие дифракции иезуитом из Болоньи Франческо Мария Гримальди, учеником Риччоли, опубликованное после его смерти в 1665 г. Гримальди обнаружил, что тень от тонкого прутика в солнечном свете выглядит не идеально четкой, но окаймленной тонкими полосками. Это явление связано с тем фактом, что длина волны света не является ничтожно малой по сравнению с толщиной прутика, но Ньютон считал, что это проявление некоторого рода рефракции, возникающей на поверхности прутика. Вопрос о корпускулярной или волновой природе света перешел в разряд решенных для большинства физиков к началу XIX в., когда Томас Юнг открыл интерференцию – узор, получающийся из-за усиления или угасания световых волн, которые проходят в одну точку разными путями. Как уже было упомянуто, в XX в. стало понятно, что обе эти теории не являются взаимоисключающими. В 1905 г. Эйнштейн понял, что, хотя свет в большинстве случаев ведет себя как волна, энергия в нем передается в маленьких пакетах, которые позже получили названия фотонов. Каждый из них обладает крошечной энергией и импульсом, пропорциональными частоте света.

Ньютон в конце концов представил свою работу по свету в книге «Оптика», написанной на английском в начале 1690-х гг. Она была опубликована в 1704 г., после того, как Ньютон уже стал знаменит.

Ньютон был не только великим физиком, но и выдающимся математиком. Начиная с 1664 г. он изучал работы по математике, в том числе «Начала» Евклида и «Геометрию» Декарта. Вскоре Ньютон смог разрабатывать собственные решения различных задач, многие из которых были связаны с бесконечностью. Например, он рассматривал бесконечные ряды типа x – x²/2 + x³/3 – x⁴/4+… и показал, что сумма такого ряда сходится в логарифм 1 + х.

В 1665 г. Ньютон начал размышлять о бесконечно малых величинах. Он задумался над задачей: предположим, что нам известно расстояние D (t), пройденное за время t. Каким образом можно найти скорость в любой момент времени? Ньютон рассуждал, что при неравномерном движении скорость в любой момент времени составляет отношение пройденного расстояния к затраченному времени в любой бесконечно малый интервал времени. Введя символ о для обозначения бесконечно малого интервала времени, он определил скорость за время t как отношение к o расстояния, пройденного в интервал времени между t и t + o, то есть скорость равна [D (t + o) – D (t)]/o. Например, если D (t) = t³, тогда D (t + o) = t³ + 3t²o + 3to² + o³. Поскольку о стремится к нулю, мы можем не учитывать слагаемые, пропорциональные o² и o³, и принять равенство D (t + o) = t³ + 3t²o. Таким образом, D (t + o) – D (t) = 3t²o и скорость равна просто 3t². Ньютон назвал это флюксией D (t), но позже это стало называться производной, одним из основных инструментов современного дифференциального исчисления.

Далее Ньютон заинтересовался проблемой нахождения площадей фигур, ограниченных кривыми. Его ответ представляет собой фундаментальную теорему математического анализа. Пусть надо найти такую функцию, флюксией которой является функция, представленная в виде кривой. Например, как мы уже видели ранее, y = 3x² – это флюксия функции y = x³, поэтому площадь под параболой y = 3x² между х = 0 и любым другим х равна x³. Ньютон назвал это «обратным методом флюксий», в современной математике это называется интегрированием.

Ньютон изобрел дифференциальное и интегральное исчисления, но долгое время эти работы не были широко известны. Только в 1671 г. он решил их опубликовать вместе со своей работой по оптике, но, очевидно, в Лондоне не нашлось книгоиздателя, который согласился бы на эту публикацию без солидной платы.

В 1669 г. Барроу передал рукопись Ньютона «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» (De analysi per aequationes numero terminorum infinitas) математику Джону Коллинзу. Ее копию увидел во время своего посещения Лондона в 1676 г. философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц, бывший ученик Гюйгенса, который был на несколько лет младше Ньютона и независимо от него открыл основную суть математического анализа годом ранее. В 1676 г. Ньютон описал некоторые из своих результатов в письмах, рассчитывая, что Лейбниц увидит эти письма. В 1684 и 1685 гг. Лейбниц опубликовал свою работу по математическому анализу в статьях, не ссылаясь на Ньютона. В этих публикациях Лейбниц ввел термин «математический анализ» и его современные обозначения, в том числе знак интеграла.

Чтобы обозначить свои права на математический анализ, Ньютон описал свои собственные методы на двух листах, включенных в издание «Оптики» 1704 г. В январе 1705 г. в анонимном отзыве на «Оптику» было отмечено, что эти методы были заимствованы у Лейбница. Ньютон предполагал, что этот отзыв написал сам Лейбниц. Затем в 1709 г. в «Философских записках Королевского общества» вышла статья Джона Кейла, защищавшего приоритет Ньютона на это открытие. В 1711 г. Лейбниц ответил злобной отповедью в адрес Королевского общества. В 1712 г. Королевское общество собрало анонимный комитет для разрешения противоречия по этому вопросу. Два века спустя список членов этого комитета был рассекречен, и выяснилось, что он состоял практически целиком из сторонников Ньютона. В 1715 г. комитет пришел к решению, что математический анализ является заслугой Ньютона. План доклада по этому вопросу набросал для комитета сам Ньютон. Его заключения подкреплялись анонимным отзывом на доклад, автором которого также был он сам.

Современные ученые считают, что Ньютон и Лейбниц открыли математический анализ независимо. Ньютон сделал это на десятилетие раньше Лейбница, но Лейбниц получил всю славу, опубликовав свою работу. Ньютон, напротив, единственный раз, в 1671 г. попытавшись найти издателя для своих заметок по математическому анализу, похоронил свою работу до тех пор, пока не был вынужден извлечь ее наружу, начав противостояние с Лейбницем. Чаще всего решение выйти на публику становится критическим моментом в процессе научного открытия. Оно свидетельствует о том, что автор считает, что его работа верна и может быть использована другими учеными. Именно по этой причине сегодня заслуги за научное открытие достаются тому, кто первый его опубликует. Но, несмотря на то что Лейбниц был первым, кто опубликовал работы по математическому анализу, как мы увидим далее, именно Ньютон, а не Лейбниц, сумел приложить математический анализ к научным задачам. Хотя, как и Декарт, Лейбниц был великим математиком, чьи философские труды вызывают огромное восхищение, он не внес особого вклада в развитие естественных наук.

Именно теории движения и притяжения Ньютона вызвали величайший, исторический переворот. Идея о том, что сила тяжести, которая заставляет предметы падать на землю, ослабевает при увеличении расстояния от Земли, зародилась еще в древности. Именно это предполагал еще в IX в. много путешествовавший ирландский монах Дунс Скот (Иоанн Скот Эригена), который, правда, никак не связывал эту силу с движением планет. Предположение о том, что сила, удерживающая планеты на их орбитах, ослабевает пропорционально квадрату расстояния от Солнца, возможно, впервые было сделано в 1645 г. французским священником Исмаэлем Буйо, который позднее был избран в Лондонское королевское общество и на которого ссылался Ньютон. Но именно Ньютон это доказал и связал силу с притяжением.

Пятьдесят лет спустя Ньютон описал, как он начал изучать притяжение. Хотя его заявления нуждаются в большом количестве разъяснений, я чувствую, что не могу не процитировать их, потому что именно в этих заявлениях Ньютон своими собственными словами описывает то, что стало поворотным моментов в истории цивилизации. Согласно Ньютону, это произошло в 1666 г., когда:

«…Я начал размышлять о притяжении, простирающемся до орбиты Луны и дальше (обнаружив, как оценить силу, с которой шар вращается внутри сферы и оказывает давление на поверхность сферы). Из закона Кеплера, согласно которому периоды обращения планет вокруг Солнца находятся в пропорции 3:2 с расстоянием от центров их орбит, я вывел, что сила, удерживающая планеты на их орбитах, должна аналогично соотноситься с квадратами расстояний от центра, вокруг которого они вращаются, с помощью этого сравнил Луну на ее орбите с силой притяжения на поверхности Земли и нашел, что они подходят очень хорошо. Все это [в том числе его работы по бесконечно малым числам и математическому анализу] было сделано за два “чумных” года, 1665 и 1666 гг. В те дни я был в расцвете моей эры изобретений и размышлял о математике и философии более чем когда-либо…»

Как я уже сказал, эти высказывания требуют некоторых разъяснений.

Во-первых, слова, которые Ньютон взял в скобки: «обнаружив, как оценить силу, с которой шар вращается внутри сферы и оказывает давление на поверхность сферы», относятся к расчету центробежной силы, который к тому времени уже был проведен Гюйгенсом – примерно в 1659 г. (возможно, Ньютон об этом не знал). Для Гюйгенса и Ньютона (как и для нас) ускорение имело более широкое определение, чем просто число, выражающее изменение скорости за прошедшее время; это имеющее направление количество, показывающее как изменение скорости за прошедшее время в определенном направлении, так и модуль скорости. При движении по окружности ускорение присутствует даже при постоянной скорости – это центростремительное ускорение, которое складывается из постоянного поворота в сторону центра окружности. Гюйгенс и Ньютон пришли к заключению, что тело, движущееся с постоянной скоростью v по окружности радиусом r, обладает ускорением v²/r в сторону центра окружности, поэтому сила, необходимая для того, чтобы оно удерживалось на этой окружности и не улетало по прямой в окружающее пространство, должна быть пропорциональна v²/r (см. техническое замечание 32). Сопротивление центростремительному ускорению Гюйгенс назвал «центробежной силой», которую тело испытывает, когда его раскручивают на конце веревки по кругу. Для этого тела сопротивление обеспечивается центробежной силой, которая проявляется в натяжении веревки. Но планеты не привязаны веревками к Солнцу. Что же тогда противостоит центробежной силе, испытываемой планетами при практически круговом движении вокруг Солнца? Как мы увидим далее, ответ на этот вопрос привел Ньютона к открытию обратной пропорции квадратов в законе тяготения.

Далее, в словах «из закона Кеплера, согласно которому периоды обращения планет вокруг Солнца соотносятся в пропорции 3:2 с расстоянием до центра их орбит» Ньютон говорит о Третьем законе Кеплера (как мы его сегодня называем) – квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы средних радиусов их орбит, или, другими словами, о том, что периоды пропорциональны степени 3/2 («пропорция 3:2») средних радиусов орбит. Период вращения тела со скоростью v по окружности радиусом r равен длине окружности 2πr, деленной на скорость v, поэтому для круговых орбит Третий закон Кеплера гласит, что отношение r² / v² пропорционально r³, следовательно, их обратное отношение v²/r² пропорционально 1/r³. Из этого следует, что сила, удерживающая планеты на их орбитах, пропорциональная v²/r, должна быть пропорциональна 1/r². Это и есть закон обратной пропорции квадратов в законе тяготения.

Само по себе это можно рассматривать просто как способ переформулировать Третий закон Кеплера. В рассуждениях Ньютона о планетах ничто не указывало на связь между силой, удерживающей планеты на их орбитах, и общеизвестными явлениями, связанными с силой тяготения на поверхности Земли. Эта связь появляется после того, как Ньютон начинает рассуждать о Луне. Утверждение Ньютона о том, что он «сравнил Луну на ее орбите с силой притяжения на поверхности Земли и нашел, что они подходят очень хорошо», указывает на то, что он рассчитал центростремительное ускорение Луны и нашел, что оно меньше ускорения свободного падения тел вблизи поверхности Земли в том самом соотношении, которого можно ожидать, если оба эти ускорения обратно пропорциональны квадрату расстояния от центра Земли.

Если быть точнее, Ньютон взял радиус орбиты Луны (хорошо известный по измерению суточного параллакса Луны), равный 60 земным радиусам; в действительности он составляет около 60,2 земных радиуса. Он использовал грубое округление значения радиуса Земли, в результате чего получилось весьма приблизительное значение радиуса орбиты Луны, и, зная, что сидерический период обращения Луны вокруг Земли составляет примерно 27,3 суток, он смог оценить скорость Луны и из нее вывести центростремительное ускорение. Это ускорение оказалось меньше ускорения свободного падения у поверхности Земли на показатель, приближенно (очень приближенно) равный 1/(60)², чего и можно было ожидать, если считать силу, удерживающую Луну на ее орбите, той же, что притягивает тела к земной поверхности, лишь уменьшенной в соответствии с законом обратных квадратов (см. техническое замечание 33). Именно это Ньютон имел в виду, когда говорил о двух силах, что «нашел, что они подходят очень хорошо».

Это был кульминационный шаг в объединении земного и небесного в науке. Коперник поместил Землю среди других планет, тогда как Тихо Браге показал, что в небесах происходят изменения, а Галилей увидел, что поверхность Луны неровная, как и поверхность Земли, но ни одно из этих нововведений не связывало движение планет с силами, которые можно наблюдать на Земле. Декарт пытался понять движение тел в Солнечной системе как результат взаимодействия вихрей в эфире, сравнивая их с вихрями в луже воды на Земле, но его теория не имела успеха. Теперь же Ньютон показал, что сила, которая удерживает Луну на орбите вокруг Земли и планеты на их орбитах вокруг Солнца, – это та же самая сила притяжения, которая заставляет яблоко падать на землю Линкольншира и имеет те же самые количественные характеристики. После этого открытия о разграничении между небесным и земным, которое начиная со времен Аристотеля сдерживало развитие физики, пришлось навсегда забыть. Но от этого открытия все еще было далеко до Закона всемирного тяготения, который гласит, что любое тело во Вселенной, а не только Земля и Солнце, притягивает любое другое тело с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

В аргументах Ньютона все еще зияли четыре огромные прорехи:

1. Сравнивая центростремительное ускорение Луны с ускорением свободного падения тел у поверхности Земли, Ньютон предполагал, что сила, производящая это ускорение, ослабевает обратно пропорционально квадрату расстояния но расстояния от чего? Это не имело большого значения для Луны, которая находится от Земли так далеко, что Земля может быть принята за точку, когда речь идет о движении Луны. Но для яблока, падающего на землю Линкольншира, Земля простирается непосредственно под деревом, от места, расположенного всего в нескольких метрах, до места на противоположной стороне Земли, отдаленного на 12 742 км. Ньютон предполагал, что расстояние, которое соотносится с любым падающим телом у поверхности Земли, – это расстояние до центра Земли, но это не было очевидно.

2. Ньютоновское объяснение Третьего закона Кеплера не принимало во внимание совершенно очевидную разницу между планетами. Каким-то образом не придавалось никакого значения тому, что Юпитер намного больше Меркурия; разница между их центростремительными ускорениями зависела только от расстояния до Солнца. Еще более значительным было то, что ньютоновское сравнение центростремительного ускорения Луны и ускорения свободного падения у поверхности Земли полностью игнорировало разницу между Луной и любым падающим телом, например, яблоком. Почему эта разница не имеет никакого значения?

3. В работе, датированной им 1665–1666 гг., Ньютон интерпретировал Третий закон Кеплера как положение о том, что для любых разных планет произведение центростремительного ускорения на квадраты их расстояний от Солнца будет одинаковым. Но общее значение этого произведения совсем не равно произведению центростремительного ускорения Луны на квадрат ее расстояния до Земли; оно намного больше. Что влияет на эту разницу?

4. Наконец, в своей работе Ньютон считал, что орбиты планет и Луны являются круговыми и небесные тела движутся по ним с постоянной скоростью, хотя Кеплер доказал, что орбиты являются не окружностями, а эллипсами, Солнце и Земля находятся не в центре эллипса, а скорости планет и Луны только приближаются к постоянным.

Начиная с 1666 г. Ньютон пытался разобраться с этими неувязками. Тем временем другие ученые приходили к тем же выводам, что и Ньютон. В 1679 г. старый соперник Ньютона Гук опубликовал свои «кутлеровские лекции», в которых содержались некоторые предположения по поводу движения и притяжения, хотя и без математических доказательств:

«Все любые небесные тела имеют притяжательную или тяготительную силу, направленную к их центрам, вследствие чего они притягивают не только свои собственные части и удерживают их так, чтобы они не разлетались, что мы можем наблюдать на самой Земле, но что они также притягивают и все небесные тела, которые находятся в сфере действия их активности… Вторым предположением является следующее: все любые тела, которые принуждены к прямолинейному и простому движению, будут продолжать свое движение вперед по прямой линии, пока они не будут отклонены некоторыми иными действующими силами и перейдут в движение, описывающее круг, эллипс или другую несоставную кривую линию. Третье предположение утверждает, что эти притягательные силы тем более мощны в своем действии, чем ближе к их центрам окажется тело, на которое оказывается действие».

Гук написал Ньютону об этих размышлениях, в том числе о законе обратных квадратов. Ньютон отмахнулся, ответив, что не слышал о работе Гука и что «метод бесконечно малого» (имеется в виду математический анализ) необходим для понимания движения планет.

Затем, в августе 1684 г. произошел судьбоносный визит астронома Эдмунда Галлея в Кембридж к Ньютону. Как Ньютон и Гук, а также и Рен, Галлей видел связь между законом обратных квадратов и Третьим законом Кеплера для круговых орбит. Галлей задал Ньютону вопрос о том, какой в действительности будет форма орбиты тела, двигающегося под влиянием силы, которая убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. Ньютон ответил, что орбита получится в форме эллипса, и пообещал выслать доказательство. Позже в том же году Ньютон написал десять страниц под заглавием «Движение тел по орбите», где были описаны основные принципы движения тел под воздействием силы, распространяющейся от центрального тела.

Три года спустя Королевское общество опубликовало «Математические начала натуральной философии» (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) Ньютона, несомненно, величайшую книгу в истории физики.

Перелистывая «Математические начала», современный физик может удивиться, увидев, как мало они напоминают современные сочинения по физике. В книге много геометрических чертежей, но мало уравнений. Создается даже ощущение, что Ньютон забыл обо всех своих достижениях в области математического анализа. Но не совсем. Во многих его чертежах можно увидеть некоторые черты, которые предполагаются как бесконечно малые величины или бесконечные ряды. Например, показывая, как работает закон равных площадей Кеплера для любой силы, исходящей из центра, Ньютон представил, что планета получает из центра бесконечное количество импульсов притяжения к центру, каждый из которых отделяется от другого бесконечно малым промежутком времени. Это просто метод расчета, не только корректный, но быстрый и легкий, проводимый с помощью общих формул математического анализа, хотя нигде в «Математических началах» эти формулы так и не появляются. Ньютоновская математика в этой книге не слишком отличается от математики, которую использовал Архимед для того, чтобы высчитать площадь окружности, или Кеплер – для расчета объема бочек с вином.

Стиль «Математических начал» напоминает читателю стиль «Начал» Евклида. Книга начинается с определений:

Определение I

«Количество материи есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объему ее».

То, что в переводе называется «количеством материи», на латинском у Ньютона называлось massa и сегодня также называется «массой». Здесь Ньютон определяет ее как произведение плотности и объема. Хотя он не дает определение плотности, его определение массы остается полезным, потому что читатели могут принять как само собой разумеющееся, что тела из одного вещества, например, железа при данной температуре, будут иметь одинаковую плотность. Как показал Архимед, измерения удельного веса дают значения плотности по отношению к воде. Ньютон отмечает, что мы выводим массу тела из его веса, но не смешивает понятия веса и массы.

Определение II

«Количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе».

То, что Ньютон называет «количеством движения», сегодня называется «импульсом». Ньютон определяет его как произведение скорости и массы.

Определение III

«Врожденная сила материи есть присущая ей способность сопротивления, по которой всякое отдельное тело, поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения».

Далее Ньютон объясняет, что эта сила пропорциональна массе тела и «если отличается от инерции массы, то разве только воззрением на нее». Иногда мы характеризуем массу по ее роли как то качество, которое сопротивляется изменению движения, и называем ее «инертной массой».

Определение IV

«Приложенная сила есть действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения».

Здесь определяется общая концепция силы, но еще не дается никакого численного значения, которое мы должны приписать данной силе.

В определениях V–VIII определяется центростремительное ускорение и его свойства.

После определений идет «Поучение» (или пояснение), в котором Ньютон отказывается давать определения пространства и времени, но предлагает их описание:

«I. Абсолютное, истинное математическое время само по себе и по своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью…

II. Абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему-либо внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным».

И Лейбниц, и епископ Джордж Беркли критиковали это определение времени и пространства на основании того, что только относительное положение во времени и пространстве имеет смысл. В «Поучении» Ньютон объясняет, что обычно мы имеем дело с относительными положениями и скоростями, но теперь он получил новый ключ к понятию абсолютного пространства: в ньютоновской механике ускорение (в отличие от положения и скорости) имеет абсолютное значение. Как может быть иначе? Из повседневного опыта известно, что ускорение оказывает свое влияние, и нет никакой необходимости спрашивать: ускорение относительно чего? Из того, что сила отбросила нас на спинки сидений, мы понимаем, что ускоряемся, если находимся в машине, которая резко набирает скорость, независимо от того, смотрим ли мы в этот момент в окно. Как мы увидим далее, в XX в. точки зрения Ньютона и Лейбница на пространство и время были объединены в Общей теории относительности.

Затем Ньютон переходит к трем знаменитым законам движения:

Первый закон

«Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние».

Это уже было известно Гассенди и Гюйгенсу. Не совсем понятно, почему Ньютон решил выделить это положение в отдельный закон, так как Первый закон является тривиальным (хотя и важным) следствием из Второго.

Второй закон

«Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует».

Здесь под «изменением количества движения» Ньютон имеет в виду изменение импульса, который он называет «количеством движения» в определении II. В действительности скорость изменения импульса пропорциональна этой силе. Традиционно мы определяем единицы, в которых измеряется сила, так, что скорость изменения импульса фактически равна силе. Поскольку импульс – это масса, умноженная на скорость, скорость его изменения – это масса, умноженная на ускорение. Таким образом, Второй закон Ньютона определяет, что масса, умноженная на ускорение, равна силе, деленной на ускорение. Но знаменитое равенство F = ma в «Математических началах» так и не появляется; таким образом Второй закон был сформулирован европейскими математиками в XVIII в.

Третий закон

«Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе, взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны».

В истинно геометрическом стиле Ньютон приводит серию следствий, выведенных из этих законов. Самое значимое среди них – следствие III, где формулируется закон сохранения импульса (см. техническое замечание 34).

Закончив с определениями, законами и следствиями, Ньютон в Книге I начинает делать из них выводы. Он доказывает, что только центральные силы (силы, направленные к одной точке в центре) заставляют тело двигаться так, чтобы за равные промежутки времени отсекать равные площади; что центральные силы обратно пропорциональны квадрату расстояния и только такие центральные силы производят движение по коническому сечению, то есть по кругу, эллипсу, параболе или гиперболе; что при движении по эллипсу такая сила создает периоды, пропорциональные 3/2 длины большей оси эллипса (которая, как было упомянуто в главе 11, является усредненным по всей протяженности ее пути расстоянием от планеты до Солнца). Таким образом, центральная сила, обратно пропорциональная квадрату расстояния, отвечает за все три закона Кеплера. Также Ньютон заполняет пробелы в своем сравнении центростремительного ускорения Луны и ускорения свободного падения, доказывая в отделе XII части I книги, что сферическое тело, состоящее из частиц, каждая из которых производит силу, обратно пропорциональную квадрату расстояния, производит общую силу, обратно пропорциональную квадрату расстояния до центра сферы.

В конце отдела I Книги I содержится примечательное «Поучение», в котором Ньютон отмечает, что он больше не полагается на понятие бесконечно малых величин (исчезающих количеств). Он объясняет, что «флюксии», такие как скорости, не являются отношениями бесконечно малых величин, как он ранее описывал их, но вместо этого: «Предельные отношения исчезающих количеств не суть отношения пределов этих количеств, а суть те пределы, к которым при бесконечном убывании количеств приближаются отношения их и к которым эти отношения могут подойти ближе, чем на любую наперед заданную разность». Это, в сущности, современная идея предела, на которой сегодня основывается математический анализ. Единственное, что несовременно в «Математических началах», так это мысль Ньютона о том, что пределы должны изучаться методами геометрии.

Книга II представляет собой длинное описание движения тел в жидкости, главная цель которого – определение законов, управляющих силами сопротивления для таких тел. В этой книге Ньютон развенчивает теорию вихрей Декарта. Затем он переходит к расчету скорости звуковых волн. Его результат в Предложении 49 (о том, что скорость является квадратным корнем из отношения давления и плотности) верен только по порядку величины, поскольку в то время никто не знал, как учитывать изменения температуры во время расширения и сжатия. Но вместе с расчетами скорости океанских волн это было вызывающим интерес достижением – впервые в истории кто-то воспользовался законами физики, чтобы обеспечить более или менее реалистичный расчет скорости волн какого-либо вида.

Наконец, Ньютон переходит к доказательствам из астрономии в Книге III, которая называется «Система мира». В то время, когда вышло первое издание «Математических начал», существовало всеобщее согласие по поводу правильности Первого закона Кеплера, то есть эллиптической формы орбит планет, но все еще оставались некоторые сомнения по поводу Второго и Третьего законов о том, что радиус-вектор от Солнца до планеты описывает равные площади за равные промежутки времени, и о том, что квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит. Кажется, Ньютон зацепился за законы Кеплера не потому, что они были хорошо сформулированы, а потому что подходили к его собственной теории. В Книге III он отмечает, что спутники Юпитера и Сатурна ведут себя соответственно Второму и Третьему законам Кеплера, что наблюдаемые фазы пяти планет (кроме Земли) доказывают, что они обращаются вокруг Солнца, что все шесть планет подчиняются законам Кеплера и что Луна удовлетворяет Второму закону Кеплера. Его собственные тщательные наблюдения кометы 1680 г. показывают, что она тоже движется по коническому сечению: по эллипсу или гиперболе, в любом случае – очень близко к параболе. Из всего этого (и своих более ранних сравнений центростремительного ускорения Луны и ускорения свободного падения тел около поверхности Земли) Ньютон заключил, что существует центральная сила, подчиняющаяся закону обратных квадратов, которая притягивает спутники Юпитера, Сатурна и Земли к планетам, а также все планеты и кометы – к Солнцу. Из того факта, что ускорение производится силой тяжести независимо от природы тела, которое ускоряется, будь это планета, спутник или яблоко, и зависит только от природы тела, производящего силу, и расстояния между ними, а также учитывая тот факт, что ускорение, производимое любой силой, обратно пропорционально массе тела, на которое оно воздействует, Ньютон пришел к выводу, что сила тяготения, действующая на любое тело, должна быть пропорциональна массе тела, что отменяет зависимость от массы тела при расчетах ускорения. Это создает четкое различие между силой тяготения и магнетизмом, который по-разному действует на тела с разным составом, даже когда они имеют одинаковую массу.

Далее в Предложении 7 Ньютон использовал свой Третий закон движения, чтобы определить, как сила притяжения зависит от природы тела, ее производящего. Рассматривая два тела, 1 и 2, с массами m₁ и m₂, Ньютон показал, что сила притяжения, оказывающая влияние со стороны тела 1 на тело 2, пропорциональна m₂, а сила, оказывающая влияние со стороны тела 2 на тело 1, пропорциональна m₁. Но в соответствии с Третьим законом эти силы равны по модулю, поэтому каждая из них должна быть пропорциональна m₁ и m₂.. Ньютон мог проверить Третий закон в случаях столкновения тел, но не при гравитационных взаимодействиях. Как подчеркивал Джордж Смит, только много лет спустя стало возможно подтвердить пропорциональность силы притяжения инертной массе как притягивающего, так и притягиваемого тела. Тем не менее Ньютон пришел к заключению, что «тяготение существует во всех телах повсеместно, и оно пропорционально количеству материи в каждом из них». Именно поэтому произведения центростремительного ускорения различных планет на квадрат их расстояния до Солнца намного больше, чем произведение центростремительного ускорения Луны на квадрат ее расстояния до Земли: все дело в том, что Солнце, которое притягивает планеты, намного массивнее, чем Земля.

Эти результаты Ньютона обычно представляют в виде формулы для силы притяжения F между двумя телами с массами m₁ и m₂, разделенными расстоянием r:

F = G ∙ m₁ ∙ m₂ / r²,

где G – это универсальная постоянная, сегодня известная как постоянная Ньютона, или гравитационная постоянная. Ни эта формула, ни постоянная G не появляются в «Математических началах». Даже если бы Ньютон ввел эту постоянную, он не смог бы определить ее значение, потому что не знал массу Солнца и Земли. В расчетах движения Луны или планет G появляется только как множитель для массы, соответственно, Земли или Солнца.

Даже не зная значения G, Ньютон смог использовать свою теорию притяжения, чтобы рассчитать соотношения масс различных тел в Солнечной системе (см. техническое замечание 35). Например, зная отношения расстояний от Юпитера и Сатурна до их спутников и до Солнца и зная отношения орбитальных периодов Юпитера и Сатурна и их спутников, он смог высчитать отношения центростремительных ускорений для спутников Юпитера и Сатурна в направлении их центральных планет к центростремительным ускорениям самих этих планет в направлении к Солнцу. Из этого Ньютон смог вывести соотношение масс Юпитера, Сатурна и Солнца. Поскольку у Земли также есть спутник, ту же самую технику можно в принципе использовать, чтобы высчитать соотношение масс Земли и Солнца. К сожалению, несмотря на то что расстояние между Землей и Луной было хорошо известно благодаря суточному параллаксу Луны, суточный параллакс Солнца был слишком мал, чтобы его измерить, таким образом соотношение расстояний между Землей и Солнцем и Землей и Луной не было известно (как мы уже видели в главе 7, информация, полученная Аристархом, и расстояния, которые он высчитал, пользуясь ею, были безнадежно неточны). Тем не менее Ньютон пошел дальше и рассчитал соотношения масс, используя значение расстояния от Земли до Солнца, которое было, скорее, нижней границей этой величины и составляло примерно половину настоящего значения. В таблице приводятся вычисленные Ньютоном соотношения масс, приведенные в качестве следствия из Теоремы VIII Книги III «Математических начал», в сравнении с современными значениями.

Как видно из этой таблицы, полученный Ньютоном результат для Юпитера совпадает с истинным значением очень хорошо, для Сатурна – неплохо, но для Земли – очень отличается, потому что расстояние от Земли до Солнца не было известно. Ньютон был вполне осведомлен о проблемах, которые возникают по причине неточности в наблюдениях, но, как и большинство ученых до начала XX в., был достаточно небрежен по поводу точности в результатах своих расчетов. К тому же Ньютон, как и его предшественники Аристарх и аль-Бируни, приводил эти результаты с гораздо большим количеством значащих цифр, чем это позволяла точность данных, на которых были основаны расчеты.

Кстати, первая серьезная оценка размеров Солнечной системы была проведена в 1672 г. Жаном Рише и Джованни Доменико Кассини. Они измерили расстояние до Марса, наблюдая разницу в направлении на Марс из Парижа и Кайенны. Поскольку соотношения расстояний от планет до Солнца уже были известны из теории Коперника, таким образом, они получили и расстояние от Земли до Солнца. В современных единицах их результат составлял 140 млн км, что достаточно близко к современному значению в 149 598 500 млн км для среднего расстояния. Более точные измерения были проведены позже путем сравнения наблюдений из различных точек Земли прохождений Венеры по диску Солнца в 1761 и 1769 гг., что дало расстояние между Землей и Солнцем в 153 млн км.

В 1797–1798 гг. Генри Кавендиш наконец сумел измерить силу притяжения между двумя телами в лабораторных условиях, из чего стало возможным вывести значение G. Но Кавендиш вместо этого, используя хорошо известное значение ускорения свободного падения в гравитационном поле Земли у ее поверхности (9,8 м/с²) и известное значение объема Земли, высчитал, что средняя плотность Земли в 5,48 раз превышает плотность воды.

Это соответствовало исторически сложившейся в физике практике – оформлять полученные результаты как отношения или пропорции, а не определенные величины. Например, как мы уже видели, Галилей доказал, что расстояние, пройденное свободно падающими на поверхность Земли телами, пропорционально квадрату времени, но он никогда не говорил, что постоянный множитель при квадрате времени, который дает пройденное расстояние, равен 9,8 м/с за каждую секунду. Как минимум это было связано с тем, что не существовало универсальных единиц измерения длины. Галилей мог получить отношение ускорения к силе тяжести в столько-то локтей в секунду, но что бы это говорило англичанину или даже итальянцу, живущему за пределами Тосканы? Международная стандартизация единиц длины и массы началась в 1742 г., когда Лондонское королевское общество послало во французскую Академию наук две линейки, размеченные стандартными английскими дюймами. Французы разметили эти линейки своими единицами длины и отослали обратно в Лондон. Но общепринятая система единиц измерения появилась только в 1799 г., когда международную метрическую систему начали постепенно принимать в разных странах. Сегодня мы говорим, что G составляет 66,74 триллионных м³/с² на килограмм. Это означает, что небольшое тело массой один килограмм на расстоянии одного метра производит гравитационное ускорение в 66,74 триллионных метра в секунду за каждую секунду.

После изложения теорий движения и притяжения Ньютон в «Математических началах» переходит к разработке некоторых следствий, которые выходят далеко за рамки трех законов Кеплера. Например, в Предложении 14 он объясняет прецессию перигелия орбит планет (для Земли), измеренную аз-Заркали, хотя сам Ньютон не пытается провести количественные вычисления.

В Предложении 19 Ньютон замечает, что все планеты должны быть сплющены у полюсов, поскольку их вращение производит центробежную силу, которая сильнее всего у экватора и уменьшается к полюсам. Например, вращение Земли создает центростремительное ускорение, на экваторе равное 0,034 м/с за секунду. Сравним эту величину с ускорением свободного падения – 9,8 м/с за секунду: центробежная сила, создаваемая вращением Земли, намного слабее силы притяжения, но полностью пренебречь ею нельзя, а Земля действительно имеет почти шаровидную форму, но слегка сплющена у полюсов. Наблюдения в 1740-х гг. в конце концов доказали, что один и тот же маятник раскачивается на экваторе медленнее, чем на более высоких широтах, в точности, как и ожидалось, поскольку на экваторе маятник находится немного дальше от центра Земли, сплющенной у полюсов.

В Предложении 39 Ньютон доказывает, что воздействие силы тяготения на сплющенную у полюсов Землю вызывает прецессию ее оси вращения, ту самую «прецессию равноденствий», которую впервые заметил Гиппарх (у Ньютона был свой особый интерес к этой прецессии: соотнося ее значения с древними наблюдениями звезд, он пытался установить даты предполагаемых исторических событий, например, путешествия Ясона и аргонавтов). В первом издании «Математических начал» Ньютон приводит свои расчеты, которые показали, что доля Солнца в годичной прецессии составляет 6,82° дуги, а воздействие со стороны Луны больше в 6,3 раза, что дает общие точки равноденствия в 50" дуги за год, и это идеально согласуется с годовой прецессией в 50", измеренной к тому времени и близкой к современному значению в 50,375". Это был впечатляющий результат, но позднее Ньютон понял, что найденная им величина прецессии под влиянием Солнца, а значит, и ее вклад в общую прецессию был в 1,6 раза занижен. Во втором издании он скорректировал величину воздействия со стороны Солнца, а также соотношение вкладов Солнца и Луны в общий эффект прецессии, так что их сумма опять же оказалась близкой к 50" и осталась в согласии с наблюдательными данными. Ньютон получил верное качественное объяснение прецессии равноденствий, и его расчет дал ему величину правильного порядка для этого явления, но чтобы добиться необходимого согласия с наблюдениями, ему пришлось прибегнуть ко многим ухищрениям.

Это только один пример того, как Ньютон подгонял свои расчеты, чтобы получать результаты, хорошо согласующиеся с наблюдениями. Наряду с этим примером Р. Вестфол приводит другие, в том числе расчеты Ньютоном скорости звука и его сравнение центростремительного ускорения Луны с ускорением свободного падения у поверхности Земли. Возможно, Ньютон чувствовал, что его настоящие или воображаемые соперники никогда не будут удовлетворены никакими выводами, кроме тех, которые идеально совпадают с наблюдениями.

В Предложении 24 Ньютон излагает свою теорию приливов. Грамм за граммом Луна притягивает океанские воды сильнее, чем твердую Землю, центр которой находится дальше. В то же время Луна притягивает твердую Землю сильнее, чем океанскую воду на противоположной Луне стороне Земли. Таким образом, в океане появляется приливный горб, образующий волну как со стороны, обращенной к Луне, так и с противоположной, где сила притяжения Луны вытягивает Землю из воды. Этим объясняется, почему в некоторых местах высокие приливы отделяются промежутком примерно в 12 часов, а не в 24. Но это явление слишком сложно для теории приливов, которую можно было доказать опытом во времена Ньютона. Он знал, что Солнце, как и Луна, играет роль в образовании приливов. Приливы с максимально высоким уровнем и отливы с минимальным уровнем, известные как сизигийные приливы, возникают в новолуние или полнолуние, то есть когда Солнце, Луна и Земля оказываются на одной линии, взаимно усиливая воздействие силы притяжения. Но самая большая сложность проистекает из того факта, что все гравитационные воздействия в океане тесно связаны с формой континентов и топографией океанского дна, которые Ньютон не мог принимать в расчет.

Подобная ситуация часто возникала в истории физики. Теория тяготения Ньютона успешно объяснила простые явления, такие как движение планет, но не смогла дать количественно оцениваемых характеристик для более сложных явлений, например, приливов. Сегодня мы оказались в той же ситуации с теорией сильного поля, которое сдерживает кварки в протонах и нейтронах внутри атомных ядер, теорией, которая известна как квантовая хромодинамика. Она вполне успешно объясняет определенные процессы при высоких энергиях, такие как образование различных сильно взаимодействующих частиц при аннигиляции быстрых электронов и их античастиц. Это убеждает нас, что теория правильна. Но мы не можем использовать ее, чтобы высчитать точные значения, которые хотели бы объяснить, например, массы протонов и нейтронов, потому что расчеты слишком сложны. Здесь, как и в ситуации с ньютоновской теорией приливов, лучше всего набраться терпения. Физические теории проходят проверку, когда они дают нам возможность надежно рассчитывать достаточное количество простых параметров, даже если мы не можем рассчитать все, что нам захочется.

Книга III «Математических начал» представляет расчеты того, что уже было измерено, и дает прогнозы относительно еще не измеренных параметров, но даже в последнем, третьем издании «Математических начал» Ньютон не смог указать на свои прогнозы, которые были бы подтверждены за сорок лет со времени выхода первого издания. Тем не менее, подводя итоги, можно сказать, что фактическая доказанность теорий движения и притяжения Ньютона перевешивала все. Ньютону не было нужды следовать примеру Аристотеля и объяснять, почему притяжение существует, и он не пытался это сделать. В своем «Общем поучении» Ньютон заключает:

«До сих пор я изъяснил небесные явления и приливы наших морей на основании силы тяготения, но я не указывал причины самого тяготения. Эта сила происходит от некоторой причины, которая проникает до центра Солнца и планет без уменьшения своей способности и которая действует не пропорционально величине поверхности частиц, на которые она действует (как это обыкновенно имеет место для механических причин), но пропорционально количеству твердого вещества, причем ее действие распространяется повсюду на огромные расстояния, убывая пропорционально квадратам расстояний… Причину же этих свойств силы тяготения я до сих пор не мог вывести из явлений, гипотез же я не измышляю».

Книга Ньютона начинается с подобающей оды авторства Галлея. Вот ее последние строки:

Вы, кто питаться при жизни божественным нектаром рады,
Ньютона славьте, ковчег нам открывшего истины скрытой,
Ньютона, Музам Парнаса любезного, в чьей груди чистой
Феб пребывает, сознанье ему божеством наполняя.
Смертному больше, чем это, к богам не дано приближаться.

«Начала» описывают законы движения и принципы закона всемирного тяготения, но это не исчерпывает их важность. Ньютон дал будущей науке модель того, какой должна быть физическая теория: набор простых математических принципов, которые точно удовлетворяют широкому спектру различных явлений. Хотя Ньютон точно знал, что притяжение является не только физической силой, именно поэтому его теория была всеобщей – каждая частица во Вселенной притягивает любую другую частицу с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. «Начала» не только вывели законы движения планет Кеплера как точное решение упрощенной задачи – движения точечного источника массы в ответ на притяжение единственной массивной сферы, – они объяснили (хотя в некоторых случаях только качественно) огромное количество других явлений: прецессию равноденствий, прецессию перигелия, траектории движения комет, приливы и отливы, падение яблок. По сравнению с этим все предыдущие физические теории не были столь всеобъемлющими.

После публикации «Начал» в 1686–1687 гг. Ньютон стал знаменитым. Его выбрали членом парламента от Кембриджского университета в 1689 г. и – еще раз – в 1701 г. В 1694 г. он стал смотрителем Монетного двора, где провел реформу Монетной системы Англии. При этом Ньютон сохранил свою должность Лукасовского профессора математики. Когда царь Петр Великий приезжал в Англию в 1698 г., он собирался посетить Монетный двор, чтобы встретиться с Ньютоном, но я не нашел никаких свидетельств того, состоялась ли эта встреча. С 1699 г. Ньютон занял должность управляющего Монетным двором, которая гораздо лучше оплачивалась. Он разбогател и отказался от своего профессорства. В 1703 г., после смерти его старого врага Гука, Ньютон стал президентом Лондонского королевского общества. В 1705 г. Ньютон был возведен в рыцарское достоинство. Когда в 1727 г. он умер от мочекаменной болезни, его удостоили государственных похорон, несмотря на то что он отказался принять Святые Дары англиканской церкви. Вольтер писал, что Ньютон «был погребен, как король, облагодетельствовавший своих подданных».

Теория Ньютона не была принята повсеместно. Несмотря на то что он сам принадлежал к унитарианской церкви, некоторые англичане, такие как теолог Джон Хатчинсон и епископ Беркли, критиковали обезличенный натурализм его теории. Это было несправедливо по отношению к набожному Ньютону. Он даже доказывал, что только божественное вмешательство может объяснить, почему взаимное гравитационное притяжение планет не нарушает гармонию Солнечной системы и почему некоторые тела, такие как Солнце и звезды, светят своим собственным светом, в то время как другие – планеты и их спутники – сами по себе темные. Сегодня мы, конечно, понимаем, что свет Солнца и звезд имеет естественное происхождение – они сияют, потому что разогреты ядерными реакциями их недр.

Хотя это и было несправедливо по отношению к Ньютону, доля истины была в критике Хатчинсона и Беркли. Следуя примеру работ Ньютона, а не его личному мнению, к концу XVIII в. физика полностью рассталась с религией.

Другим препятствием к восприятию работы Ньютона было застарелое искусственное противостояние между математиками и физиками, которое мы видели в комментарии Гемина Родосского в главе 8. Ньютон не говорил, подобно Аристотелю, языком сущностей и качеств и не пытался объяснить причину тяготения. Священник Николя Мальбранш (1638–1715) в своем отзыве на «Начала» говорил, что это работа геометра, а не физика. Мальбранш явно думал о физике аристотелевского образца. Он не понимал того, что Ньютон изменил само определение физики.

Особенно сильно теорию притяжения Ньютона критиковал Христиан Гюйгенс. Он во многом восхищался «Началами» и не сомневался, что движение планет управляется силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния, но Гюйгенс возражал по поводу того, действительно ли каждая частица вещества притягивает любую другую частицу с силой, пропорциональной произведению их масс. В этом вопросе Гюйгенс, возможно, был введен в заблуждение неточностями в измерениях скоростей маятников на разных широтах, которые, казалось, доказали, что замедление маятников около экватора может быть полностью объяснено воздействием центробежной силы, возникающей из-за вращения Земли. Если это было так, то подразумевалось, что Земля не сплющена у полюсов, как это было бы, если бы частицы земли притягивались друг к другу так, как это описал Ньютон.

Еще при жизни Ньютона его теория была встречена в штыки во Франции и Германии последователями Декарта и старого соперника Ньютона Лейбница. Они возражали против нее на основании того, что притяжение, действующее через миллионы километров, является загадочным элементом натурфилософии, и продолжали настаивать, что действию притяжения должно быть найдено рациональное объяснение, а принимать его как данность нельзя.

В этом европейские натурфилософы придерживались древнего идеала науки, восходящего к эллинистической эпохе, о том, что научные теории должны обязательно быть основаны исключительно на рациональных объяснениях. Мы научились тому, что от этого надо иной раз отказаться. Даже несмотря на то, что наша очень успешно работающая теория электронов и света может быть выведена из современной Стандартной модели элементарных частиц, которая может (как мы надеемся), в свою очередь, быть выведена из более глубокой теории, тем не менее, как бы глубоко мы ни копали, мы никогда не найдем теорию, основанную только на чистой логике. Как и я, большинство физиков сегодня смирились с неизбежным фактом, что мы всегда будем удивляться тому, что наши самые глубокие теории именно таковы, какие они есть.

Несогласие с учением Ньютона проявилось в знаменитом обмене письмами, продолжавшемся в 1715 и 1716 гг., между Лейбницем и учеником Ньютона преподобным Сэмьюэлем Кларком, который перевел «Оптику» Ньютона на латынь. Больше всего они спорили о природе Бога: вмешивается ли Он в управление миром, как считал Ньютон, или с самого начала установил определенный порядок, который далее развивается сам? Это противостояние кажется мне слишком несерьезным. Даже если бы его предмет существовал на самом деле, ни Лейбниц, ни Кларк все равно не могли узнать точный ответ на этот вопрос.

В конце концов мнение критиков перестало что-либо значить, поскольку последователи Ньютона добились успехов. Галлей свел воедино результаты наблюдений комет в 1531, 1607 и 1682 гг. в параметры одной почти параболической эллиптической орбиты, доказав, что это были регулярные появления одной и той же кометы. Используя теорию Ньютона, чтобы учесть гравитационные возмущения, связанные с воздействиями масс Юпитера и Сатурна, в ноябре 1758 г. французский математик Алекси Клеро и его соратники предсказали, что эта комета вернется в перигелий в середине апреля 1759 г. Комету заметили в Рождество 1758 г., через 15 лет после смерти Галлея, а перигелия она достигла 13 марта 1759 г. В середине XVIII в. теория Ньютона продвигалась Клеро и Эмили дю Шателе, которые перевели «Начала» на французский язык, а также благодаря протекции любовника дю Шателе Вольтера. Еще один француз Жан Д’Аламбер (1717–1783) в 1749 г. опубликовал первые правильные и точные расчеты прецессии равноденствий, основываясь на работах Ньютона. Было очевидно, что учение Ньютона торжествует во всех областях.

Это происходило не потому, что теория Ньютона удовлетворяла неким ранее существовавшим метафизическим критериям научной теории. Это было не так. Она не отвечала на вопрос о цели, который был краеугольным в физике Аристотеля. Но эта теория объясняла универсальные принципы, которые позволили успешно решить множество задач, которые ранее казались неразрешимыми. Таким образом, она обеспечила неоспоримый образец того, какой может и должна быть физическая теория.

Подобную роль сыграла в истории науки и теория естественного отбора Дарвина. Мы чувствуем глубокое удовлетворение, когда удается что-либо успешно объяснить, как удалось Ньютону объяснить законы движения планет Кеплера, а также многое другое. Сохраняются только те научные теории и методы, которые обеспечивают удовлетворение такого рода, независимо от того, соответствуют ли они какому-то ранее существующему образцу того, как должна делаться наука.

Отказ от теорий Ньютона последователей Декарта и Лейбница заставляет думать о морали в истории науки: опасно отвергать теорию, с помощью которой удалось добиться столь многих впечатляющих результатов, соответствующих наблюдениям, сколько сумел получить Ньютон. Успешные теории могут работать по причинам, которых не понимают сами их творцы, а потом всегда становятся основанием для новых теорий, но никогда не бывают просто ошибочны.

В XX в. не всегда следовали этой морали. В 1920-е гг. началось развитие квантовой механики, совершенно нового раздела в физической теории. На место расчета траекторий планет или частиц пришли расчеты эволюции волн вероятности, интенсивность которых в любом месте и времени говорит нам о возможности обнаружить определенную планету или частицу. Многие основатели квантовой механики, в том числе Макс Планк, Эрвин Шрёдингер, Луи де Бройль и Альберт Эйнштейн, настолько не могли примириться с необходимостью отбросить принципы детерминизма, что они больше не работали над теориями квантовой механики, а лишь указывали на недопустимые последствия этих теорий. Часть критики квантовой механики, высказанная Шрёдингером и Эйнштейном, была обоснована и волнует нас до сих пор, но к концу 1920-х гг. квантовая механика уже была столь успешна в изучении особенностей атомов, молекул и фотонов, что ее начали воспринимать серьезно. Отрицание теорий квантовой физики вышеупомянутыми учеными означало, что они не смогли принять участие в развитии физики твердого тела, атомных ядер и элементарных частиц в 1930-х и 1940-х гг.

Как и квантовая механика, ньютоновская теория Солнечной системы стала подобием того, что позже стало называться Стандартной моделью. Я ввел этот термин в 1971 г., чтобы описать существующую на то время теорию структуры и эволюции расширяющейся Вселенной, объяснив:

«Конечно, вполне возможно, что эталонная модель частично или полностью неверна. Однако ее ценность заключается не в ее непоколебимой справедливости, а в том, что она служит основой для обсуждения огромного разнообразия наблюдаемых данных. Обсуждение этих данных в контексте эталонной космологической модели может привести к уяснению их значения для космологии независимо от того, какая модель окажется правильной в конечном счете».

Немного позже я и другие физики начали использовать термин «стандартная модель» по отношению к разрабатываемой нами теории элементарных частиц и их различных взаимодействий. Конечно, последователи Ньютона не пользовались этим термином, когда говорили о ньютоновской теории Солнечной системы, но, возможно, им стоило бы это сделать. Ньютоновская теория, конечно, обеспечила единую основу для астрономов, пытающихся объяснить наблюдения, не укладывающиеся в элементарные законы Кеплера.

В конце XVIII и начале XIX вв. методы приложения теории Ньютона для решения задач, где задействовано более двух тел, разрабатывались многими учеными. Одно новшество, имеющее огромную значимость для будущего науки, было введено в начале XIX в. Пьером-Симоном Лапласом. Вместо того чтобы суммировать силу притяжения, исходящую от каждого тела в такой совокупности, как Солнечная система, можно высчитать поле – состояние пространства, которое в каждой точке дает величину и направление ускорения, производимого всеми массами вместе. Чтобы рассчитать поле, необходимо решить несколько дифференциальных уравнений, которым оно подчиняется (эти уравнения задают условия изменения поля, когда точка, в которой оно измеряется, смещается по одному из трех перпендикулярных направлений). Этот подход дает почти тривиальное доказательство теоремы Ньютона о том, что сила притяжения, производимая массой сферической формы, обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра сферы. Еще более важным, как мы увидим в главе 15, оказалось то, что концепция поля сыграла принципиально важную роль в понимании природы электричества, магнетизма и света.

Эти математические инструменты особенно впечатляюще были использованы в 1846 г., когда с их помощью удалось предсказать существование и расположение планеты Нептун из отклонений положений планеты Уран от ранее рассчитанной орбиты. Это было сделано независимо Джоном Кучем Адамсом и Жаном Жозефом Леверье. Нептун был обнаружен вскоре после этого в указанном месте.

Некоторые расхождения между теорией и наблюдениями по-прежнему оставались в движении Луны, в движении комет Галлея и Энке и в прецессии перигелия орбиты Меркурия, которая, по наблюдениям, была на 43" за столетие больше, чем можно было ожидать, если принимать во внимание силы притяжения других планет. Для расхождений в движении Луны и комет были в конце концов найдены причины, не связанные с силами притяжения, но случай с прецессией Меркурия не был объяснен до создания в 1915 г. Общей теории относительности Альбертом Эйнштейном.

По теории Ньютона сила притяжения в заданной точке и в заданное время зависит от расположения всех масс, поэтому неожиданное изменение любого из этих положений (например, вспышка на поверхности Солнца) создает мгновенное изменение сил притяжения повсюду. Это противоречило принципу Специальной теории относительности Эйнштейна (созданной в 1905 г.) о том, что ни одно воздействие не может распространяться быстрее света. Такой конфликт указывал на то, что существует необходимость в пересмотре теории тяготения. В Общей теории относительности Эйнштейна неожиданное изменение в расположении масс производит изменение в гравитационном поле лишь в непосредственной близости от этих масс. Затем это изменение со скоростью света распространяется на большие расстояния.

Общая теория относительности отвергла положение Ньютона об абсолютном времени и пространстве. Лежащие в его основе уравнения остаются одинаковыми во всех системах отсчета, независимо от того, движутся ли эти системы отсчета ускоренно или вращаются. Так что Лейбниц был бы этим доволен, но на самом деле Общая теория относительности подтверждает механику Ньютона. Ее математическое описание опирается на общее с теорией Ньютона положение о том, что все тела в заданной точке приобретают одно и то же ускорение, вызванное силой притяжения. Это означает, что можно избавиться от воздействия сил тяготения в любой точке, использовав систему отсчета, известную как инерциальная, которая испытывает то же самое ускорение. Например, мы не почувствуем воздействие земного притяжения в свободно падающем лифте. В этих инерциальных системах отсчета законы Ньютона справедливы по крайней мере для тел, скорость которых не приближается к скорости света.

Успех ньютоновской трактовки движения планет и комет показывает, что инерциальными системами отсчета для Солнечной системы являются те, в которых Солнце, а не Земля, находится в состоянии покоя (или движется с постоянной скоростью). Именно в этой системе координат, в соответствии с Общей теорией относительности, далекие галактики не вращаются вокруг Солнечной системы. В этом смысле теория Ньютона составила прочное основание для того, чтобы предпочесть теорию Коперника теории Тихо Браге. Но Общая теория относительности позволяет нам использовать любую систему отсчета, которая нам нравится, а не только инерциальные системы отсчета. Если мы используем систему отсчета, как у Тихо, где Земля находится в состоянии покоя, тогда будет казаться, что галактики описывают вокруг Земли круги с периодичностью раз в год, и в рамках Общей теории относительности это грандиозное движение создало бы силы сродни притяжению, которые действовали бы на Солнце и планеты и заставили бы их двигаться именно так, как предполагал в своей теории Браге. Кажется, Ньютон размышлял и об этом. В неопубликованном Предложении 43, которое не вошло в «Начала», Ньютон отмечает, что теория Тихо могла бы быть верной, если бы какие-то другие силы, кроме обычной силы тяготения, воздействовали на Солнце и планеты.

Когда в 1919 г. теория Эйнштейна была подтверждена наблюдением предсказанного ею искривления лучей света под воздействием гравитационного поля Солнца, лондонская Times заявила, что Ньютон не прав. Но это заявление было ошибочным. Теорию Ньютона можно рассматривать как упрощенный вариант теории Эйнштейна; она сохраняет точность, когда речь идет об объектах, двигающихся со скоростью намного ниже скорости света. Теория Эйнштейна не только не опровергает теорию Ньютона, она объясняет, почему теория Ньютона работает в тех случаях, когда она работает. Сама Общая теория относительности, без сомнений, является упрощенной версией какой-то всеобъемлющей теории.

В Общей теории относительности гравитационное поле может быть полностью описано определением для каждой точки в пространстве и времени инерциальной системы отсчета, в которой воздействие притяжения отсутствует. Математически это похоже на то, как если бы мы составляли карту небольшого района любого участка неплоской поверхности, которая выглядит плоской, – например, карту города на поверхности Земли. Искривление поверхности может быть описано путем составления атласа наложенных друг на друга местных карт. На самом деле это математическое сходство позволяет нам описать любое гравитационное поле как изгиб пространства и времени.

Таким образом, понятийная основа Общей теории относительности отличается от теории Ньютона. Во многих случаях в общей относительности понятие гравитационного поля замещается концепцией искривленного пространства-времени. Некоторым людям было трудно это воспринять. В 1730 г. Александр Поуп написал памятную эпитафию Ньютону:

Был этот мир глубокой мглой окутан,
«Да будет свет!» – И вот явился Ньютон.

В XX в. английский поэт-сатирик Дж. С. Сквайр добавил еще две строчки:

Но сатана недолго ждал реванша.
Пришел Эйнштейн – и стало все, как раньше.

Не верьте этому. Общая теория относительности во многом соответствует духу теорий движения и притяжения Ньютона: она основана на общих принципах, которые могут быть выражены уравнениями, следствия которых выводятся математически, применимы к широкому спектру явлений и подтверждаются наблюдениями. Разница между теориями Эйнштейна и Ньютона намного меньше, чем разница между теорией Ньютона и тем, что было сделано до него.

Остается один вопрос: почему научная революция XVI и XVII вв. произошла именно в то время и в том месте? Объяснений этому предостаточно. В XV в. в Европе произошло множество изменений, которые подготовили основание для научной революции. Появились централизованные государства: во Франции – при правлении Карла VII и Людовика XI, в Англии – при Генрихе VII. Падение Константинополя в 1453 г. заставило греческих ученых искать пристанище на западе – в Италии и дальше. Возрождение повысило интерес к изучению мира природы, что привело к появлению высоких требований к точности древних текстов и их переводов. Изобретение печатного станка с наборным шрифтом сделало общение ученых более простым и дешевым. Открытие и изучение Америки укрепили уверенность в том, что древние многого не знали. К тому же в соответствии с исследованиями Мертона протестантская Реформация начала XVI в. подготовила почву для великих научных прорывов в Англии XVII в. Социолог Роберт Мертон предполагал, что протестантизм создал социальные отношения, благоприятные для науки, а также своеобразную смесь рационализма с эмпиризмом и верой в законы природы, которые поддаются пониманию, – он сумел вычленить эти качества в работе ученых-протестантов.

Трудно судить, насколько важным оказалось влияние внешних факторов на научную революцию. Но, хотя я не могу сказать, почему в Англии конца XVII в. Исаак Ньютон открыл классические законы механики и притяжения, я думаю, что знаю, почему эти законы приобрели ту форму, какую они имеют. Это весьма просто – с очень хорошим приближением мир следует законам Ньютона.

Завершив обзор истории физической науки от Фалеса до Ньютона, я бы хотел поделиться некоторыми осторожными мыслями о том, что привело нас к современной концепции науки, которую представляют достижения Ньютона и его последователей. В древние времена или Средневековье никто даже не думал о том, что построение чего-то напоминающего современную науку может быть целью. На самом деле, если бы наши предки могли только представить, какой будет наука в наши дни, возможно, это им совсем бы не понравилось. Современная наука обезличена, в ней нет места сверхъестественному вмешательству и (не считая бихевиористики) человеческим ценностям. В ней нет никакого понятия цели и смысла, и она не оставляет никакой надежды на определенность. Так как же мы пришли к этому?

Сталкиваясь со ставящими в тупик явлениями окружающего мира, в любой культуре люди пытались найти им объяснение. Даже когда они отказывались от мифологии, большая часть попыток что-либо объяснить не приводила ни к чему мало-мальски убедительному. Фалес пытался понять, что такое материя, предположив, что она является водой, но что он мог сделать с этой идеей? Какую новую информацию она ему дала? Никто в Милете или где-либо еще не мог вывести что-либо из мысли о том, что все вокруг – вода.

Но время от времени кому-нибудь удавалось найти способ объяснить какое-либо явление. Найденное им объяснение так хорошо подходило к этому явлению и проясняло так много, что награждало нашедшего чувством глубокого удовлетворения, особенно когда понимание можно было выразить количественно и наблюдения хорошо подтверждали его. Представьте себе, что должен был почувствовать Птолемей, когда, добавив эквант к эпициклам и эксцентрикам Аполлония и Гиппарха, он получил теорию движения планет, которая позволила предсказать с достаточной точностью, где на небе можно будет найти планету в любой момент. Мы можем понять охватившую его радость из строк, которые я уже цитировал ранее: «…когда я в мыслях неустанно и жадно прослеживаю пути светил, тогда я не касаюсь ногами земли: на пиру Зевса наслаждаюсь амброзией – пищей богов».

Но радость была с изъяном – как всегда. Не нужно быть последователем Аристотеля, чтобы озадачиться странными петлеобразными движениями планет по эпициклам в теории Птолемея. Также в ней имела место чудовищная подгонка данных: требовался ровно один год для одного оборота центров эпициклов Меркурия и Венеры вокруг Земли, а Марсу, Юпитеру и Сатурну – для одного оборота вокруг своих эпициклов. Более тысячи лет философы спорили о том, какова же на самом деле была роль таких астрономов, как Птолемей: действительно ли он понял небесное движение или просто подогнал данные?

Какое удовлетворение должен был почувствовать Коперник, когда смог объяснить, что вся подгонка и петлеобразные орбиты в схеме Птолемея появились из-за того, что мы смотрим на Солнечную систему с движущейся Земли. Все еще с изъяном, теория Коперника не полностью совпадала с данными наблюдений без введения чудовищных усложнений. Как же должен был наслаждаться математически одаренный Кеплер, заменив беспорядок Коперника движением по эллипсам, которое объясняли его три закона!

Таким образом, мир обучал нас, подкрепляя наши хорошие идеи моментами удовлетворения. Спустя века мы поняли, как можем исследовать окружающий мир. Мы научились не волноваться о цели мироздания, потому что стремление к его пониманию никогда не приводило к той радости, которая нам была нужна. Мы научились отказываться от полной определенности, потому что объяснения, которые делали нас счастливыми, никогда не были окончательными и определенными. Мы научились проводить эксперименты, не беспокоясь об искусственности наших построений. Мы развили эстетическое чувство, позволяющее предугадывать, какие теории могут работать, и оно добавляет нам удовлетворения, когда наши теории начинают работать. Элементы нашего понимания суммируются. Это процесс, который нельзя запланировать или предсказать, но его результат – надежные знания и, попутно, радость открытий, которой мы наслаждаемся.

Назад: 13. Переосмысление метода

Дальше: 15. Эпилог. Великое упрощение

14. Обобщения Ньютона

F = G ∙ m1 ∙ m2 / r²,

F = G ∙ m₁ ∙ m₂ / r²,