Алгоритмы быстрых вычислений
Одно дело обнаружить закономерности в геометрических формах или последовательности букв, но как увидеть паттерны в традиционных математических формулах? Я уже приводил в книге некоторые математические приемы, но те, о которых сейчас пойдет речь, были придуманы специально для того, чтобы помочь вам думать нестандартно. Как? В них нарушаются все правила, которым вас, вероятно, учили в связи с подобными вычислениями.
В этой части книги я познакомлю вас с девятью типами алгоритмов быстрых вычислений. Следуя моим указаниям и производя в уме кое-какие вычисления, вы сможете без труда решать некоторые сложные на первый взгляд примеры. Сложности возникнут, когда вы будете знать все девять методик, а вас попросят решить конкретный пример при помощи одной из них. Вот тогда придется сообразить, каким именно способом воспользоваться, а затем быстро применить его. (Можно использовать записи или работать по памяти.)
ТИП 1.
ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ЧИСЕЛ ИЗ ШЕСТОГО ДЕСЯТКА
Пример. 57 х 57
Шаг 1. Всегда начинайте с числа 25. Затем прибавьте к нему число единиц в заданном числе (25 + 7 = 32).
Шаг 2. Возведите в квадрат число единиц в заданном числе (7x7 = 49). Припишите результат к числу, полученному на шаге 1.
Ответ: 57 х 57 = 3249
Замечание: Если число, полученное на шаге 2, меньше 10, слева
к нему нужно приписать 0.
Пример. 53 х 53
Шаг 1. 25 + 3 = 28
Шаг 2. 3x3 = 9 (поскольку это число меньше 10, припишем к нему справа 0)
Ответ: 53 х 53 = 2809
ТИП 2.
ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ЧИСЕЛ, ЗАКАНЧИВАЮЩИХСЯ НА 5
Пример. 65 х 65
Шаг 1. Возьмите число десятков в заданном числе (6) и умножьте его на число, на единицу большее (7). 6 х 7 = 42.
Шаг 2. Припишите число 25 справа к полученному числу.
Ответ: 65 х 65 = 4225
ТИП 3.
ПЕРЕМНОЖЕНИЕ ДВУХ ЧИСЕЛ, ЗАКАНЧИВАЮЩИХСЯ НА 5
И РАЗЛИЧАЮЩИХСЯ МЕЖДУ СОБОЙ РОВНО НА 10
Пример. 75 х 85
Шаг 1. Возьмите число десятков меньшего числа (7) и умножьте его на число на единицу большее, чем число десятков в большем числе (8+ 1 = 9; 7x9 = 63).
Шаг 2. Припишите справа к полученному числу 75.
Ответ: 75 х 85 = 6375
ТИП 4.
ПЕРЕМНОЖЕНИЕ ДВУХ ЧИСЕЛ, ЗАКАНЧИВАЮЩИХСЯ НА 5
И РАЗЛИЧАЮЩИХСЯ МЕЖДУ СОБОЙ РОВНО НА 20
Пример. 65 х 85
Шаг 1. Возьмите меньшее число десятков (6) и умножьте на число, на 1 превосходящее большее число десятков (8+ 1 = 9; 6x9 = 54). А теперь добавьте к полученному результату 1 (54 + 1 = 55).
Шаг 2. Припишите справа к полученному числу 25.
Ответ: 65 х 85 = 5525
ТИП 5.
ПЕРЕМНОЖЕНИЕ ДВУХ ЧИСЕЛ ДЕСЯТОГО ДЕСЯТКА
Перемножая два числа десятого десятка, напишите после каждого в скобках число, на которое оно отстоит от 100. Поскольку 93 отстоит от 100 на 7, а 96 — на 4, пример 93 х 96 следует записать так: 93 (7) х 96 (4).
Пример. 93 (7) х 96 (4)
Шаг 1. Сложите числа в скобках (7 + 4 = 11) и вычтите результат из 100 (100-11 = 89).
Шаг 2. Перемножьте числа в скобках и припишите результат справа к числу, полученному на шаге 1 (7 х 4 = 28). Ответ: 93 х 96 = 8928
Если число, полученное на шаге 2, меньше 10, слева к нему нужно приписать 0.
Пример. 97 (3) х 98 (2)
Шаг 1. 3 + 2 = 5; 100-5 = 95
Шаг 2. 3 х 2 = 06
Ответ: 97 х 98 = 9506
ТИП 6.
ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ЧИСЕЛ ПЯТОГО ДЕСЯТКА
Пример. 43 х 43
Шаг 1. Начните с 15. Добавьте к 15 число единиц (15 + 3 = 18).
Шаг 2. Посмотрите, на сколько возводимое в квадрат число меньше 50, и возведите в квадрат эту разницу (50-43 = = 7; 7 х 7 = 49). Припишите это число справа к числу, полученному на шаге 1.
Ответ: 43 х 43 = 1849
Если результат возведения в квадрат на шаге 2 меньше 10, припишите к нему справа 0.
Пример. 48 х 48
Шаг 1. 15 + 8 = 23
Шаг 2. 50-48 = 2; 2 х 2 = 4 Ответ: 48 х 48 = 2304
ТИП 7. ПЕРЕМНОЖЕНИЕ ДВУХ ЧИСЕЛ ОТ 100 ДО 100
Пример. 106 х 108
Шаг 1. Первая цифра ответа всегда 1.
Шаг 2. Для получения следующих двух цифр сложите единицы обоих чисел (6 + 8 = 14).
Шаг 3. Для получения двух последних цифр перемножьте единицы (6x8 = 48).
Ответ: 106 х 108 = 11 448
Если результат, полученный на шаге 2 или 3, меньше 10, припишите к нему слева 0.
Пример. 102 х 104
Шаг 1. Первая цифра всегда 1.
Шаг 2. 2 + 4 = 06
Шаг 3. 2 х 4 = 08 Ответ: 102 х 104 = 10 608
ТИП 8. ПЕРЕМНОЖЕНИЕ ДВУХ ЧИСЕЛ ОТ 200 ДО 209
Пример. 204 х 209
Шаг 1. Первая цифра ответа всегда 4.
Шаг 2. Для получения следующих двух цифр сложите единицы обоих чисел и удвойте результат (4 + 9 = 13; 13 х х 2 = 26).
Шаг 3. Для получения двух последних цифр перемножьте единицы (4x9 = 36).
Ответ: 204 х 209 = 42 636
Если результат, полученный на 2 или 3 шагах, меньше 10,
припишите к нему слева 0.
Пример. 207 х 201
Шаг 1. Первая цифра всегда 4.
Шаг 2. 7+1 = 8; 8 х 2 = 16
Шаг 3. 7 x 1 = 07
Ответ: 207 х 201 = 41 607
ТИП 9.
ПЕРЕМНОЖЕНИЕ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ,
ЗАКАНЧИВАЮЩИХСЯ НА 1
Пример. 71 х 51
Шаг 1. Перемножьте цифры разряда десятков (7x5 = 35) и припишите справа 0 (350).
Шаг 2. Сложите цифры разряда десятков и добавьте то, что получилось, к результату предыдущего шага (7 + 5 = 12; 350 + 12 = 362).
Шаг 3. Припишите справа к полученному результату 1.
Ответ: 71 х 51 = 3621
Пример. 31 х 41
Шаг 1. 3x4 = 12; приписываем 0, получаем 120
Шаг 2. 3 + 4 = 7; 120 + 7 = 127
Шаг 3. Приписываем справа к полученному результату 1. Ответ: 31 х 41 = 1271
