3. Спичечные игры

С помощью спичек очень удобно разбирать старинные задачи-игры с переправами. Вот один из примеров.

Отец, мать и двое детей подошли к реке. С помощью спичек мы изобразим это так: отец – целая спичка головкой вверх; мать – целая спичка головкой вниз; дети – две половинки спичек; река – два параллельных ряда спичек. У берега стоит лодка (спичечный коробок); лодка может поднять либо только одного взрослого, либо же двоих детей. Как могут все они переправиться на другой берег?

Ряд последовательных переправ, необходимых для того, чтобы всем очутиться на противоположном берегу, показан в табличке;

В результате 9-ти переправ все четверо окажутся на другом берегу.

Расщепленную на конце спичку поставьте на стол (как показано на рис. 39) недалеко от его края; а на самый край положите спичку так, чтобы она немного выступала за край. Теперь подбросьте лежащую спичку щелчком так, чтобы она опрокинула стоящую. Игра гораздо интереснее, если поставить на стол несколько спичек, отметив их бумажками и обозначив различным числом очков, как при игре в кегли. Участвует в этой игре двое или трое.

Обычная игра в «чет или нечет» общеизвестна. Но вот любопытное видоизменение этой игры. Вы зажимаете в руке некоторое число спичек, а ваш партнер должен отгадать, четное ли это число или нечетное, причем он не произносит ничего вслух, а молча кладет на вашу руку в первом случае – 2 спички, во втором – 1 спичку. Эти спички присоединяютсяк тем, которые были в руке, и затем подсчетом всехэтих спичек проверяют: четное или нечетное число спичек оказалось в вашей руке?

При таком способе игры спрашивающий имеет возможность играть без проигрыша. Что он должен для этого делать?

Спрашивающий должен брать всегда нечетноечисло спичек. Этим он обеспечивает своему партнеру проигрыш во всяком случае, положит ли тот 2 или 1 спичку. Действительно:

нечетное число +1 = четному числу

нечетное число +2 = нечетному числу,

т. е. в обоих случаях получается противоположное тому, что было указано партнером.

Вы просите товарища взять в одну руку нечетное число спичек, в другую – четное и утверждаете, что сможете безошибочно отгадать, в какой руке у него нечетное число спичек – в правой или в левой.

Для этого вы просите его умножить то число спичек, которое зажато в правой руке, на 10, а то, что в левой, на 5, оба результата сложить и сказать вам сумму.

По этой сумме вы тотчас же говорите ему, в правой или в левой руке находится нечетное число спичек.

Как вы это можете сделать?

Отгадывание основано на том, что когда хотя бы один из двух множителей – число четное, то произведение всегда получается четное, например:

8x6 = 48;

8x7 = 56;

когда же оба множителя нечетных, то произведение – нечетное:

7x7 = 49.

Поэтому, если нечетное число спичек в правой руке (т. е. умножается на 10), а четное в левой (умножается на 5), то в обоих случаях получатся четныепроизведения, и сумма их, конечно, будет четная.Если же в правой руке четное число (умножается на 10), а в левой – нечетное (умножается на 5), то придется сложить четное произведение с нечетным, и сумма получится нечетная.

Итак, когда товарищ ваш назвал вам четнуюсумму, вы говорите, что четноечисло спичек у него в левойруке; при нечетной же сумме наоборот.

В этой игре участвуют двое. На стол кладется кучка из 20 спичек, и играющие, один после другого, берут из этой кучки не более трех спичек каждый. Проигрывает тот, кто берет последнюю взятку, и, значит, выигрывает тот, кто оставляет противнику всего одну спичку.

Как должны вы начать игру и вести ее дальше, чтобы наверняка выиграть?

Желая выиграть, вы должны начать с того, что берете 3 спички. Из оставшихся 17 противник ваш может взять 1, 2 или 3 спички, по своему желанию, оставив в кучке 16, 15 или 14 спичек. Сколько бы он ни взял, вы следующим ходом (беря 3, 2 или 1 спичку) оставляете ему 13 спичек. Дальнейшими ходами вы должны оставить в кучке последовательно 9, 5 и, наконец, 1 спичку, т. е. выигрываете.

Говоря короче: вы берете в начале игры 3 спички, а в дальнейшем каждый раз столько, чтобы ваша взятка вместе с предыдущей взяткой партнера составляла 4 спички.

Этот план игры найден следующим рассуждением. Вы всегда сможете оставить противнику 1 спичку, если предыдущим ходом оставили ему 5 (тогда, сколько бы он ни взял – 3, 2, 1 – останется 2, 3, 4, т. е. благоприятное для вас число спичек). Но, чтобы иметь возможность оставить 5, вы должны предыдущим ходом оставить 9, и т. д. Так, «пятясь назад», легко рассчитать все ходы.

Вот видоизменение предыдущей игры. Берется кучка из 32 спичек. Каждый игрок по очереди извлекает из нее не более 4-х спичек. Кто возьмет последнюю спичку, тот считается выигравшим.

Как следует играть, чтобы непременно выиграть?

Как следует играть в том случае, если взявший последнюю спичку считается проигравшим?

Ведя расчет с конца, вы без труда раскроете секрет беспроигрышной игры. Он состоит в том, чтобы, начиная игру, взять 2 спички; при следующих же ваших ходах вы оставляете в кучке 25, 20, 15, 10, наконец 5 спичек; тогда последняя спичка будет непременно ваша. Другими словами: берите каждый раз столько спичек, чтобы ваша взятка вместе с предыдущей взяткой партнера составляла 5 спичек.

Указанное правило годится и в том случае, если взявший последнюю спичку считается проигравшим,но только при первом ходе вы должны взять тогда не 2, а 1 спичку.

Игры подобного рода могут быть крайне разнообразны, в зависимости от начального числа спичек в кучке и от предельной величины взятки. Однако знакомые с начатками алгебрымогут без труда найти способ выигрывать при всяких условиях игры. Сделаем же эту маленькую экскурсию в область алгебры. Читатели, которые чувствуют себя неподготовленными сопровождать нас, могут прямо перейти к следующей статейке.

Итак, пусть число спичек в куче – а,а наибольшая взятка, какая разрешается условиями игры – п.Выигрывает тот, кто берет последнюю спичку. Составим частное:

a / (n +1)

Если оно не дает остатка, то надо предоставить начинать игру своему партнеру и брать каждый раз столько, чтобы общее число спичек, взятых обоими от начала игры, последовательно равнялось

n+1 2(n+1) 3(n+1) 4(n+1) и т. д.

Если же при делении a / (n +1) получается остаток, который обозначим через r,то вы должны начать игру сами и в первый раз взять rспичек, а в дальнейшем держаться чисел:

r+(n+1) r+2(n+1) r+3(n+1) и т. д.

Ради упражнения попробуйте применить указанные правила к следующим частным случаям (выигравшим считается взявший последнюю спичку):

1) число спичек в кучке 15; взятка не свыше 3;

2) число спичек 25; взятка не свыше 4;

3) число спичек 30; взятка не свыше 6;

4) то же, но взятка – не свыше 7.

Разумеется, когда секрет беспроигрышной игры известен обоим партнерам, то выигрыш предрешен, и игра утрачивает смысл.

В этой игре также начинают с составления кучки (из 27 спичек) и назначают наибольший размер взятки 4 спички. Но конец игры не похож на конец предыдущих игр: здесь считается выигравшим тот, у кого по окончании игры окажется четное число спичек.

И в этом случае существует секрет беспроигрышной игры. Какой?

Начав рассчитывать с конца, вы найдете следующий способ беспроигрышной игры: если у вас уже имеется нечетное число спичек, то при дальнейших взятках вы должны оставлять противнику всякий раз такое число спичек, которое на 1 меньшекратного [23] 6 – т. е. 5 спичек, 11, 17, 23. Если же у вас взято четное число спичек, то вы берете взятки с таким расчетом, чтобы на столе оставалось число кратное 6-ти или на 1 больше,т. е. 6 или 7, 12 или 13, 18 или 19, 24 или 25.

Владея этим секретом, вы можете выиграть, даже если и не вы начали игру. Когда же начинать приходится вам, то считайте, что у вас взято 0 спичек: нуль принимайте за число четное (ведь за ним следует нечетное число – один) и поступайте согласно указанным правилам.

Интересно еще рассмотреть вопрос о беспроигрышной игре, если условие конца игры было другое: выигрывает тот, у кого нечетноечисло спичек. В этом случае указанные раньше правила нужно применять наоборот: при четномчисле имеющихся у вас спичек оставлять противнику на 1 меньшекратного 6-ти, при нечетномчисле – кратное 6-ти или на 1 больше.Начиная игру, вы оставляете противнику в этом случае 23 спички.

Эта старинная игра представляет собою усложненное видоизменение предыдущих. На стол кладут три кучки спичек; в каждой кучке может быть любое число спичек, но не больше 7-ми (одна спичка тоже называется в этой игре «кучкой»). Игра состоит в том, что играющие берут по очереди из однойкучки любоечисло спичек (можно и все взять), но только из однойкакой-нибудь кучки, по желанию берущего. Кто возьмет последнюю спичку со стола, тот считается выигравшим.

Рассмотрим пример. Первоначальное распределение спичек по кучкам, предположим, таково:

Затем, по мере того, как играющие поочередно берут то из одной, то из другой кучки несколько спичек, последовательные изменения в числе спичек будут такие:

Кто возьмет эту последнюю спичку, тот выигрывает.

Здесь также существует секрет беспроигрышной игры. Доискаться его самому вам едва ли удастся (теория «нима» очень сложна); поэтому мы сообщим его, хотя и без обоснования. Надо играть так, чтобы после вашего хода на столе оставалась одна из следующих семи комбинаций спичек:

Числа подобраны так, что, каково бы ни было первоначальное расположение, всегда возможно привести его к одному из сейчас указанных отнятием спичек из одной кучки. Необходимо только указать еще, что делать, если число спичек в одной из кучек сделалось равным нулю, т. е. если кучка исчезла. Тогда надо взять столько спичек, чтобы обе оставшиеся кучки уравнялисьпо числу спичек. Играя по этим правилам, вы непременно выиграете, т. е. возьмете последнюю спичку. Например, в рассмотренном сейчас случае, если бы первый ход был ваш, вы должны были бы вести игру так: