Замечание о больших и малых числах
В этой книге вы встретите множество очень больших и очень малых чисел. Человеческий мозг не приспособлен визуализировать числа много больше 100 и много меньше 1/100, хотя свои способности в этом деле можно развить. Например, я, постоянно имея дело с числами, могу более или менее наглядно представить себе миллион, однако разница между триллионом и квадриллионом выходит за пределы моих способностей к визуализации. Многие числа в этой книге намного больше триллионов и квадриллионов. Как с ними обращаться? Ответ основан на одной из важнейших перепрошивок всех времен — изобретении экспоненциальной, или научной, нотации для записи чисел.
Начнем с очень большого числа. Население Земли составляет около 6 миллиардов человек. Миллиард — это 10, умноженное само на себя девять раз. Его можно представить, приписав к единице девять нулей:
Один миллиард = 10х10х10х10х10х10х10х10х10 = 1000 000 000.
В сокращенной форме 10, помноженное на себя девять раз, записывается как 109, или десять в девятой степени. Таким образом, население Земли — это примерно:
6 миллиардов = 6 X 109.
В данном случае 9 является показателем или порядком величины.
А вот другое, куда большее число — общее количество протонов и нейтронов в составе Земли:
число протонов и нейтронов в Земле (примерно) = 5 X 1051.
Очевидно, что их значительно больше, чем людей. Но насколько больше? Десять в пятьдесят первой степени — это результат перемножения пятидесяти одной десятки, а миллиард — только девяти. Так что у 1051 на 42 таких сомножителя больше, чем у 109. Это значит, что ядерных частиц на Земле примерно в 1042 раз больше, чем людей. (Заметьте, что я проигнорировал множители 5 и 6 в приведенных формулах. Они не слишком отличаются друг от друга, так что, если нам достаточно «оценки по порядку величины», ими можно просто пренебречь.)
Возьмем два действительно больших числа. Общее число электронов в той области Вселенной, которую можно наблюдать с помощью самых мощных телескопов, составляет около 1080. Общее число фотонов — около 1090. Может показаться, что 1090 не намного больше, чем 1080, но это обманчивое впечатление: 1090 в 1010 раз больше, чем 1080, а 10 000 000 000 — это очень большое число. Внешне кажется, что 1080 и 1081 — это почти одно и то же, между тем второе число в десять раз больше первого. Так что даже небольшое изменение порядка величины может означать огромное изменение записанного числа.
Теперь рассмотрим очень маленькие числа. Размер атома, например, составляет примерно десятимиллиардную долю метра. В десятичной записи: размер атома = 0,0000000001 м.
Обратите внимание, что единица стоит на десятой позиции после запятой. В научной нотации для одной десятимиллиардной используется отрицательный показатель степени, а именно -10: 0,0000000001 = 1010.
Числа с отрицательным порядком величины малы, а с положительным — велики.
Обратимся к другому числу, еще меньшей величины. По сравнению с обычными объектами элементарные частицы, подобные электрону, — очень легкие. Килограмм — это масса литра воды. Масса электрона многократно меньше. В действительности один электрон весит примерно 9 х 10-31 килограмма.
В научной нотации очень упрощается умножение и деление чисел. Все, что для этого нужно, — это складывать и вычитать показатели. Вот несколько примеров:
1051 = 1042 х 109
1081/1080=10
10-31 х 109= 10-22.
Показатели степени — не единственное сокращение, которое люди используют для описания очень больших чисел. Некоторые такие числа носят собственные имена. Например, гугол — это 10100 (единица, за которой следует 100 нулей), а гуголплекс — это 1гугол (1, за которой идет гугол нулей) — это ужасно большое число.
Познакомившись с этими основами, давайте вернемся в не столь абстрактный мир, скажем, в Сан-Франциско, в третий год первого президентского срока Рональда Рейгана, — холодная война в самом разгаре, а новая война еще только начинается.
