Теперь мы в состоянии построить уравнения гравитации в ОТО. Как мы рассказали в главе 6, в начале XX века было постулировано, что гравитационное взаимодействие выражается в искривлении пространства–времени. При этом пространство–время искривляется под воздействием материи, которая, в свою очередь, движется в этом искривлённом собой пространстве–времени. Это и есть логическая основа для построения уравнений общей теории относительности. Но как их построить правильно?

Логика очевидна: нужно связать тензор энергии- импульса материи с кривизной пространства–времени. Самый простой и очевидный способ: отнести Т_ab в правую часть уравнений, а левую определить как некую комбинацию компонент тензора кривизны. Но как это сделать? Дело в том, что все уравнения вместе (гравитационные уравнения и уравнения для материи) должны быть совместны, иначе не будет существовать решений. Но как мы уже отметили, анализ уравнений материи в искривлённом пространстве–времени приводит к выводу, что тензор энергии–импульс а материи должен удовлетворять закону сохранения (непрерывности). Но тогда, чтобы все уравнения были совместны, нужно найти такую комбинацию из величин, связанных с кривизной, и которую мы собираемся написать в левой части уравнений, чтобы она тождественно удовлетворяла такому же закону сохранения. Такая комбинация была найдена — это так называемый тензор Эйнштейна G_ab, построенный из компонент тензора Римана, а в конечном итоге зависящий от метрического тензора. Тогда уравнения для гравитационного поля записываются в виде:

G_ab = κТ_ab.

Здесь κ — постоянная Эйнштейна, которая выражается через ньютонову гравитационную постоянную G и скорость света с: κ = 8πG/c⁴. Эти уравнения были построены и представлены Эйнштейном в работах 1915 и 1916 годов на основании соображений, изложенных выше. Практически одновременно они были представлены немецкими математиком Давидом Гильбертом.