Слабые гравитационные волны были представлены как метрические возмущения, распространяющиеся в плоском пространстве–времени. Это означает, что вводится некоторое «опорное» фиксированное пространство Минковского. Но его фактически нет в ОТО как теории с динамической метрикой! Но такова постановка задачи: изучение (1) слабых метрических возмущений (2) в плоском пространстве–времени. И (1), и (2) — это ограничения, определённые постановкой задачи, которые в данном случае вводятся везде, во всем физическом пространстве–времени. Эти ограничения позволяют рассматривать только линейные возмущения в пространстве Минковского. Такое исследование принципиально не отличается от исследования электродинамики в пространстве Минковского. У линейного гравитационного поля исключаются не физические степени свободы, аналогично тому, как это делается в электродинамике.

А в итоге получается, что для системы слабых гравитационных волн (этой конкретной задачи) локальные сохраняющиеся величины (плотности энергии, импульса, и т. д.) определяются вполне однозначно.

Опорное, или фоновое, пространство–время не обязательно должно быть плоским, оно обычно определяется характером конкретных моделей или задач. Так, например, для реальных гравитационных волн естественно выбрать в качестве фона пространство–время какого-либо космологического решения. Конкретный выбор фона является одним из ограничений, которое позволяет корректно говорить о локализации. Гравитационные волны, в силу теории, должны переносить положительную энергию. Именно на этом основан метод детектирования, который заключается в том, что под их воздействием должны смещаться зеркала в интерферометрах. Кроме того, это уже, хотя и косвенно, подтверждено наблюдениями. Для некоторых двойных систем достоверно известно, что их компоненты сближаются. Это означает, что их отрицательная энергия связи по абсолютной величине становится больше, т. е. с гравитационными волнами происходит отток положительной энергии.

В отношении эйнштейновского примера с изолированной системой можно сказать, что также вводится некоторое «опорное» фиксированное пространство Минковского, но не везде, а в очень удалённой окрестности системы, В этом случае также удаётся локализовать сохраняющиеся величины, то есть определить глобальные (полные для всей системы) сохраняющиеся величины. Таким образом, можно определить энергию, импульс и т. д. всего, что «внутри», рассматривая энергию гравитационного поля вместе со всей материей.

Основываясь на этом принципе, можно определить энергию, скажем, чёрной дыры Шварцшильда. Удаляясь от центра, попадаем в почти плоскую область, где возмущения метрики очень слабые. Теперь их можно рассматривать как самостоятельное поле в пространстве Минковского. Характер убывания возмущений позволяет рассчитать полную энергию, которая заключена под сферой, определённой положением наблюдателя. В пределе, на бесконечности получим полную энергию всей системы. Для чёрной дыры Шварцшильда — это mc², где m — параметр массы в решении.

В силу сложности определения сохраняющихся величин в ОТО, существует множество методов их построения, среди них встречаются ошибочные, противоречащие некоторым фундаментальным требованиям. Расчёт полной энергии чёрной дыры является одним из тестов на удовлетворение этим требованиям.

Обсуждая решение Шварцшильда, мы отмечали, что это внешнее вакуумное решение, которое может быть в равной степени связано как с чёрной дырой, так и с обычной регулярной звездой. Тогда что получается, если в обоих случаях решение характеризуется одним и тем же параметром m, то обе системы будут иметь одну и ту же полную энергию mc²? Так и есть. Несмотря на принципиально различную внутреннюю структуру, и обычная звезда, и чёрная дыра будут иметь одинаковую энергию. Если в случае звезды можно получить эту же полную энергию интегрированием по всему объёму без принципиальных трудностей, то в случае с чёрной дырой они неизбежно возникнут в силу нетривиальной геометрической структуры, связанной с наличием горизонта событий и сингулярности.

Таким образом, эйнштейновское «погружение в галилеевское пространство» и интегрирование по удалённой окрестности элегантно решает проблему определения глобальной энергии (и других сохраняющихся величин) для таких объектов, как чёрные дыры,

Для определения глобальных сохраняющихся величин удалённое фоновое пространство–время не обязательно должно быть плоским, оно также определяется характером конкретных моделей и задач. Будучи искривлённым, оно может иметь симметрии, используя которые можно построить соответствующие сохраняющиеся величины.

В последнее время большое внимание уделяется так называемым квазилокальным характеристикам, например, квазилокальной энергии, которые рассчитываются для конечного объёма. Уравнения ОТО устроены так, что позволяют связать динамику гравитационного поля, вещества и материальных полей внутри объёма с поведением метрики на границе. Тогда оказывается, что если граничные условия для метрики и её производных на границе объёма заданы (известны), то можно определить сохраняющиеся величины для всего объёма.

Рис. 11.2. Эмми Нётер

Рассказывая о законах сохранения, нельзя не упомянуть выдающегося немецкого математика Эмми Нётер (1882–1935).

С её именем связаны различные разделы математики, она является основателем нового направления — абстрактной алгебры. Но для физиков её имя прежде всего связано с законами сохранения, построение которых основано на универсальных принципах, сформулированных и опубликованных в 1918 году. Особо важны теоремы Нётер при анализе и развитии теорий, имеющих внутренние группы симметрий, которым соответствуют разного вида сохраняющиеся заряды. Именно эти теории представляют строение материи во всем её многообразии.

Что касается ОТО, то искривлённое пространство-время, как правило, не имеет симметрий, Поэтому нельзя, пользуясь теоремами Нётер, представить глобальные сохраняющиеся величины в общем случае. Однако ОТО инвариантна относительно общего вида координатных преобразований, здесь использование её принципов вполне продуктивно. Результатом оказываются локальные законы сохранения — обобщённые уравнения непрерывности (см. Дополнение 2).