Для того чтобы обсудить многие эффекты ОТО, необходимо познакомиться с одним из самых важных решений (а возможно, и самым важным) уравнений ОТО — решением немецкого астронома Карла Шварцшильда (1873–1916). Оно получено в 1916 году, всего лишь через несколько месяцев после публикации Эйнштейном своих уравнений гравитационного поля. Это решение соответствует статическому сферически симметричному вакуумному пространству–времени. (О вакуумных решениях уравнений Эйнштейна см. Дополнение 4.) Слова, выделенные курсивом — это условия (ограничения), при которых искалось решение. Эти же условия определяют, чему в реальности должно соответствовать найденное решение — это пространство–время вокруг изолированного сферически симметричного тела. «Изолированного» — это в идеале, а в реальности — вокруг тела, достаточно удалённого от всех остальных тел. Таким образом, в очень хорошем приближении это решение описывает и гравитационное поле вокруг Солнца и каждой из планет Солнечной си стемы, шаровых звёздных скоплений. Поэтому с использованием именно этого решения были проверены первые эффекты ОТО.

Решение Шварцшильда в математическом плане простое, поэтому мы немного с ним повозимся, Собственно, решением уравнений явилась метрика:

Здесь также в силу сферической симметрии мы опустили угловую часть, оставив только временную и радиальную. С — постоянная интегрирования, без дополнительных предположений или принципов её определить невозможно. Здесь самое время обратиться к принципу соответствия. При «бесконечном» удалении от центра r → ∞ эта метрика обращается в метрику пространства Минковского в сферических координатах, точно так же, как и метрика пространства–времени Ньютона, которую мы уже обсуждали. Значит, на достаточном удалении нам необходимо сравнить новую метрику с метрикой пространства–времени Ньютона, обсуждавшейся в предыдущей главе. При аккуратной процедуре приближения оказывается, что здесь основное возмущение в метрику плоского мира вносится только первым слагаемым в выражении для интервала. Нужно сравнить его с аналогичным членом в метрике Ньютона. Это нам даст C = -2GM/c², после чего метрика Шварцшильда запишется в окончательном виде:

где величина r_g = 2GM/c² называется гравитационным радиусом. Мы так подробно обсуждаем решение Шварцшильда потому, что это ещё и базовое решения для чёрных дыр, речь о которых впереди. Также потом мы обсудим смысл гравитационного радиуса. А сейчас важно отметить, что появился параметр, определяющий решение, — это масса тела М, обращение в нуль этого параметра превращает решение Шварцшильда в метрику плоского мира.