Глава 8
Посредственный инженер и трансцендентный профессор

Симметрия перестала быть туманным ощущением скрытого порядка или художественным восприятием изящества и красоты. Она превратилась в ясную математическую концепцию со строгим логическим определением. Появилась возможность вычислять симметрии и доказывать о них теоремы. Родился новый предмет — теория групп. Погоня человечества за симметрией достигла поворотной точки. В качестве платы за вход в сообщество посвященных требовалась готовность мыслить более концептуально. Концепция группы носила абстрактный характер, на несколько шагов удаленный от традиционного «простого продукта», состоящего из чисел и геометрических форм.

Группы уже доказали, чего они стоят, когда была решена вековая загадка — вопрос о разрешимости уравнений пятой степени. Вскоре стало ясно, что тот же круг идей позволяет разобраться и с несколькими другими задачами, неразрешимыми в течение веков. При этом не всегда привлекалась именно теория групп как таковая — порой требовалось рассуждать так, как рассуждали Абель, Галуа и их последователи. И даже когда казалось, что группы не используются, они на самом деле находились совсем рядом, под самой поверхностью вещей.

Среди нерешенных задач, доставшихся потомкам в наследство от греческих геометров, три приобрели вызывающую известность — задача о трисекции угла, задача об удвоении куба и задача о квадратуре круга. Даже сегодня трисекция угла и квадратура круга привлекают к себе внимание многочисленных любителей, которые, по-видимому, не вполне охватили своим умом то обстоятельство, что когда математики говорят «невозможно», то именно это и имеется в виду. Удвоение куба несколько отстает по уровню популярности.

Об этих трех задачах часто говорят как о «трех задачах Античности», но такое определение создает преувеличенное представление об их важности. Из-за него они как будто стоят в одном ряду с главнейшими загадками в истории, такими как Последняя теорема Ферма, на которую не удавалось дать ответ в течение более 350 лет. Однако отличие здесь в том, что все ясно сознавали: Последняя теорема Ферма — нерешенная задача, причем можно конкретно указать, когда именно она была впервые поставлена в математической литературе. Все математики были в курсе относительно не только самой задачи, но и предполагаемого ответа, а также относительно того, кто первым поставил этот вопрос.

Греческие задачи — иные. Их не найти у Эвклида в перечне нерешенных, требующих внимания задач. Они существовали главным образом по умолчанию, как очевидные попытки обобщить полученные ранее успешные результаты, но почему-то Эвклид предпочитал их не упоминать. Почему? Потому что никто не знал, как взяться за их решение. Приходило ли грекам на ум, что они могут вовсе не иметь решения? Если и так, то никто не поднимал по этому поводу шума. Без сомнения, таким людям как Архимед приходило в голову, что эти задачи невозможно решить, используя циркуль и линейку, поскольку он разработал альтернативные методы, однако нет никаких свидетельств, что сам по себе вопрос о возможности построения представлялся Архимеду важным.

Этот вопрос приобрел важность позднее. Отсутствие решений этих задач свидетельствовало о серьезных пробелах в достигнутом человечеством понимании геометрии и алгебры; они вошли в моду как «фольклорные» задачи, известные профессионалам через некое подобие культурного осмоса. К тому времени как было получено их решение, они приобрели ауру исторической и математической значительности. Их решение воспринималось как важнейший прорыв — в особенности это касалось квадратуры круга. И ответ во всех трех случаях был один и тот же: «невозможно». Невозможно с использованием традиционных инструментов — циркуля и линейки.

Такая ситуация может показаться достаточно негативной. На протяжении большей части жизни люди решают проблемы и преодолевают трудности с помощью самых разнообразных средств, какие только подворачиваются под руку. Если высокое здание нельзя построить из кирпича и раствора, инженеры используют стальную арматуру и железобетон. Никто не стяжал себе славы доказательством того, что кирпичи не подходят для данной стройки.

Математика устроена несколько иначе. Ограничения, присущие используемым инструментам, часто так же важны, как и успехи в их применении. Важность математического вопроса часто зависит не от ответа как такового, а от того, почему ответ оказывается правильным. Так обстояло дело и с тремя задачами Античности.

Гроза всех и вся трисекторов родился в Париже в 1814 году, а звали его Пьер Лоран Ванцель. Отец его был сначала армейским офицером, а потом профессором прикладной математики в Специальной коммерческой школе. Пьер опережал в своем развитии других детей; Адемар Жан Клод Барр де Сен-Венан, который знал Ванцеля, писал, что мальчик демонстрировал «потрясающие способности к математике — предмету, о котором он читает с огромным интересом. Вскоре он превзошел даже своего учителя, который обращался за помощью к девятилетнему Ванцелю, когда испытывал трудности при решении задач».

В 1828 году Пьер поступил в Коллеж Карла Великого. В 1831-м он был первым учеником и по французскому, и по латыни, а также показал первый результат на вступительных экзаменах как в Политехническую школу, так и на естественный факультет того, что сейчас называется Нормальной школой, — ранее такого не удавалось добиться никому. Его интересовало буквально все — математика, музыка, философия, история, и ничто не привлекало сильнее, чем жаркие, ожесточенные споры.

В 1834 году он обратился к инженерному делу, посещая занятия в Школе мостов и дорог. Но вскоре признался своим друзьям, что инженер из него выйдет «не более чем посредственный». Он решил, что на самом деле хочет преподавать математику, и оставил занятия инженерным делом. Такое резкое переключение принесло свои плоды: в 1838 году он начал читать лекции по анализу в Политехнической школе, а к 1841-му стал еще и профессором прикладной механики в своей старой инженерной школе. Сен-Венан говорит нам, что Пьер «обыкновенно работал в течение вечера, не ложась спать до поздней ночи, а затем читал, оставляя себе лишь несколько часов неспокойного сна и при этом злоупотребляя кофе и опиумом, а до своей женитьбы еще и неправильно и нерегулярно питаясь». Женился он на дочери своего бывшего учителя латыни.

Ванцель изучал работы Руффини, Абеля, Галуа и Гаусса, высказывая большой интерес к теории уравнений. В 1837 году его работа «О средствах, позволяющих установить, разрешима ли геометрическая задача с помощью циркуля и линейки» вышла в Лиувиллевском Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Вопрос о возможности построения рассматривался в ней начиная с того места, на котором остановился Гаусс. Ванцель умер в 1848 году в возрасте 33 лет — вероятно, в результате чрезмерной нагрузки из-за избытка преподавания и административных обязанностей.

В вопросах о трисекции угла и удвоении куба данные Ванцелем доказательства невозможности напоминают эпическую работу Гаусса о правильных многоугольниках, только являются намного более простыми. Я начну с задачи об удвоении куба, в которой суть дела очень наглядна. Можно ли циркулем и линейкой построить отрезок длины ³√2?

Выполненный Гауссом анализ правильных многоугольников основан на идее, что любое геометрическое построение сводится к решению ряда квадратных уравнений. По существу, он считает это само собой разумеющимся, поскольку это алгебраически следует из свойств линий и окружностей. Некоторые не слишком сложные алгебраические выкладки позволяют заключить, что для любой допускающей построение величины ее «минимальный многочлен» — простейшее уравнение, которому она удовлетворяет — имеет степень, равную степени двойки. Это уравнение может быть линейным, квадратным, иметь степень 4, 8, 16, 32, 64… — одну из степеней числа 2.

С другой стороны, число ³√2 удовлетворяет кубическому уравнению x³ − 2 = 0, и это и есть его минимальный многочлен. Его степень равна 3, что не есть степень числа 2. Поэтому допущение о возможности удвоения куба с использованием циркуля и линейки в силу безупречной логики ведет к заключению, что 3 есть степень числа 2. Это очевидным образом неверно. Тем самым, методом reductio ad absurdum показано, что интересующего нас построения не существует.

Трисекция угла невозможна по схожим причинам, однако доказательство тут немного сложнее.

Во-первых, некоторые углы можно точно разделить на три части. Хороший пример дается углом 180°, который при делении на три части дает 60° — угол, который можно построить при построении правильного шестиугольника. Таким образом, доказательство невозможности следует начать с выбора некоторого другого угла и с доказательства, что этот угол нельзя разбить на три равные части. Проще всего взять уже появлявшийся у нас угол 60°. Одна треть от него составляет 20°, и мы покажем, что угол 20° построить циркулем и линейкой нельзя.

Вот отрезвляющие соображения. Возьмем транспортир — инструмент для измерения углов. На нем четко нанесены углы 10°, 20° и так далее. Но эти углы не вполне точные — хотя бы из-за того, что линии, которыми они обозначены, имеют некоторую толщину. Можно отмерить угол в 20° с достаточной точностью для архитектурных или инженерных чертежей. Но, используя эвклидовы методы, нельзя построить угол, в точности равный 20°; сейчас мы это покажем.

Ключевую роль здесь играет тригонометрия — наука о количественных мерах углов. Предположим, что мы начинаем с шестиугольника, вписанного в окружность радиуса 1. Там имеются углы 60°, и если мы сможем разбить один из них на три равные части, мы сможем, тем самым построить отрезок, выделенный жирным на рисунке.

Пусть его длина равна x. Тригонометрия говорит нам, что x удовлетворяет уравнению 8x³ − 6x − 1 = 0. Как и в задаче об удвоении куба, это кубическое уравнение, и оно также представляет собой минимальный многочлен, которому удовлетворяет x. Но если бы отрезок длины x можно было построить, то степень его минимального многочлена была бы степенью числа 2. Мы пришли к тому же противоречию и к тому же выводу: данное построение невозможно.

Способ, которым я представил эти доказательства, скрывает более глубокую структуру. С более абстрактной точки зрения решения этих двух задач Античности Ванцелем сводятся к симметрийным аргументам: группы Галуа уравнений, которые отвечают геометрии, имеют «неправильную» структуру для построений циркулем и линейкой. Ванцель был хорошо знаком с группами Галуа и в 1845 году нашел новое доказательство того факта, что некоторые алгебраические уравнения нельзя решить в радикалах. Доказательство близко следовало идеям Руффини и Абеля, но позволяло упростить эти идеи и выразить их более ясно. Во введении Ванцель пишет:

Единственной остающейся задачей Античности была квадратура круга, сводящаяся к построению отрезка, длина которого была бы точно равна π. Доказать невозможность такого построения оказалось намного сложнее. Почему? Дело не в том, что у числа π минимальный многочлен неправильной степени, а в том, что, как оказалось, у него вообще нет минимального многочлена — нет такого полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами, корень которого был бы равен π. Таким корнем может быть число, сколь угодно близкое к π, но невозможно получить в качестве корня точно число π.

Математики девятнадцатого столетия осознавали, что различие между рациональными и иррациональными числами можно было с пользой для себя сделать более тонким. Имелись иррациональные числа различных видов. Относительно «ручные» иррациональности, подобные √2, нельзя точно выразить в виде дроби (т.е. записать как рациональное число), но их можно представить, используя рациональные числа. Они удовлетворяют уравнениям, коэффициенты которых — рациональные числа; в случае числа √2 это уравнение x² − 2 = 0. Про такие числа говорят, что они алгебраические. Но математики осознали, что в принципе могут существовать иррациональные числа, не являющиеся алгебраическими, связь которых с рациональными числами намного менее прямая, чем для алгебраических чисел. Они во всем выходили за границы царства рациональности.

Самый первый вопрос состоял в том, действительно ли такие «трансцендентные» числа существуют? Греки полагали, что все числа могут быть рациональными, пока Гиппас не развеял эти иллюзии, а Пифагор, как говорят, пришел в такое негодование, что велел выбросить за борт гонца, принесшего эту весть. (Более вероятно все же, что Гиппаса просто изгнали из пифагорейской школы.) Математикам девятнадцатого столетия было известно, что всякая вера в то, что все числа являются алгебраическими, равным образом должна была привести к трагедии, но в данном случае они довольно долго не могли найти своего Гиппаса. Все, что требовалось, — это доказать, что некоторое конкретное вещественное число — разумным кандидатом было число π — не является алгебраическим. Но уже достаточно трудно доказать, что некоторое число — например, π — иррационально, для чего надо убедиться в том, что не существует ни одной пары целых чисел, которая давала бы π в результате деления одного числа на другое. Чтобы доказать, что некоторое число не является алгебраическим, надо заменить эти гипотетические целые числа на все возможные уравнения любой степени, а затем прийти к противоречию. Дело сильно запутывается.

Первый значительный прогресс был достигнут немецким математиком и астрономом Иоганном Ламбертом в 1768 году. В работе о трансцендентных числах он доказал, что π иррационально, и его метод проложил дорогу всем последующим исследователям. Ламберт существенно использовал идеи из анализа, в особенности концепцию интеграла. (Интеграл заданной функции представляет собой функцию, скорость изменения которой есть исходная функция.) Исходя из предположения, что π в точности равняется некоторой дроби, Ламберт предложил вычислить достаточно сложный интеграл изобретенный им специально для этой цели, куда входили не только многочлены, но и тригонометрические функции. Имеются два разных способа вычисления этого интеграла. Один из них дает в ответе нуль. Другой показывает, что ответ не равен нулю.

Если π — не дробь, то ни один из способов вычисления не применим, так что никаких проблем не возникает. Но если π — дробь, то, следовательно, нуль равен чему-то, что нулю не равно. Приехали.

Подробности доказательства Ламберта носят технический характер, но способ, которым оно работает, оказывается очень информативным. Для начала ему пришлось соотнести π с чем-то более простым, и на помощь в этом деле пришла тригонометрия. Следующая задача состояла в том, чтобы сконструировать такую ситуацию, в которой при рациональном π случилось бы нечто особенное. Именно тут в дело вступили многочлены — при поддержке умной мысли о том, что надо использовать некоторый интеграл. Затем доказательство свелось к сравнению двух различных методов вычисления этого интеграла и демонстрации того факта, что эти методы приводят к разным ответам. Это достаточно техническая и громоздкая часть доказательства, однако для специалиста она не представляет никаких сложностей.

Доказательство Ламберта было значительным шагом вперед. Однако же великое множество иррациональных чисел построить можно; наиболее очевидным примером такого числа является √2 — диагональ единичного квадрата. Таким образом, доказательство иррациональности числа π не означало, что построить его нельзя. Оно означало лишь, что бессмысленно было пытаться точно выразить π в виде дроби, но это совсем другая постановка вопроса.

Математики здесь встретились с необычной дилеммой. Они научились проводить различие между алгебраическими и трансцендентными числами и полагали, что это важно. Но они все еще не знали, существует ли хоть какое-нибудь трансцендентное число. В практическом плане предполагаемое различие могло оказаться бессодержательным.

Потребовалось время. Существование трансцендентных чисел было доказано лишь в 1844 году. Решающего прорыва в этой области добился Лиувилль. Ранее он извлек на свет божий из кипы академического хлама работы Галуа, а теперь сумел изобрести трансцендентное число. Оно выглядело следующим образом:

где все более и более длинные последовательности нулей разделены отдельными единицами. Важное обстоятельство состоит в том, что количество нулей в этих последовательностях должно очень быстро возрастать.

Числа такого типа являются «почти» рациональными. Для них существуют необычайно точные рациональные приближения — главным образом из-за наличия длинных отрезков, состоящих из нулей. Например, в приведенном выше числе более длинный из таких отрезков состоит из 17 последовательных нулей, а это означает, что число, которое стоит перед этим, — то есть 0,110001 — служит намного лучшим приближением к числу Лиувилля, чем обычно получается для выбранной наугад десятичной дроби. Конечно, 0,110001, как и любая конечная десятичная дробь, рациональна — она равна ¹¹⁰⁰⁰¹/_1000000. Вместо точности в 6 десятичных знаков она дает точность в 23 десятичных знака. Следующая ненулевая цифра — это 1 на 24-м месте.

Лиувилль понял, что алгебраические числа, не являющиеся при этом рациональными, всегда довольно плохо приближаются рациональными. Дело не только в том, что такие числа иррациональны; для получения хорошего рационального приближения приходится использовать очень большие числа, чтобы записать близкую по величине дробь. Поэтому Лиувилль специально определил число, обладающее исключительно хорошими рациональными приближениями — слишком хорошими для того, чтобы это число могло быть алгебраическим. Поэтому оно должно было быть трансцендентным.

Единственное, за что можно критиковать эту умную идею, — это то, что число Лиувилля является очень искусственным. Не видно его связи с чем бы то ни было еще в математике. Оно взято из воздуха с единственной целью получить очень хорошие приближения рациональными числами. Оно было бы никому не интересно, если бы не это его единственное замечательное свойство: про него удается доказать, что оно трансцендентно. Математики, таким образом, убедились в существовании трансцендентных чисел.

Оставался вопрос, существуют ли интересные трансцендентные числа, но по крайней мере теория трансцендентных чисел приобрела смысл. Дело было за тем, чтобы наполнить ее интересным смыслом. Прежде всего, трансцендентно ли π? Если да, то вопрос с древней задачей о квадратуре круга решается нокаутом. Все числа, допускающие построение, являются алгебраическими, следовательно, трансцендентные построить невозможно. Если π трансцендентно, то квадратура круга невозможна.

Число π вполне заслуженно знаменито из-за своей связи с окружностями и сферами. Кроме него математика содержит и другие замечательные числа, наиболее важное из которых — вероятно, даже более важное, чем π — известно как e. Его численное значение приближенно равняется 2,71828, и, как и π, оно иррационально. Это число появилось в 1618 году, на заре истории логарифмов; оно правильно определяет банковский процент, если вычислять сложные проценты по все более и более коротким отрезкам времени. В письме Лейбница к Гюйгенсу от 1690 года оно было обозначено буквой b. Обозначение e было введено Эйлером в 1727 году и впервые появилось в печати в «Механике» в 1736-м.

Используя комплексные числа, Эйлер открыл замечательное соотношение между e и π, которое часто называют самой прекрасной формулой во всей математике. Эйлер доказал, что e^iπ = −1. (Эта формула допускает интуитивное объяснение, но там используются дифференциальные уравнения.) После сделанного Лиувиллем открытия следующий шаг к доказательству трансцендентности π занял еще 29 лет, и доказательство относилось к числу e. В 1873 году французский математик Шарль Эрмит доказал, что e трансцендентно. Жизненный путь Эрмита удивительно похож на жизненный путь Галуа — он поступил в Коллеж Людовика Великого, его учил Ришар, он пытался доказать неразрешимость уравнения пятой степени и хотел учиться в Политехнической школе. Но в отличие от Галуа, буквально цепляясь зубами, он туда все же попал.

Один из учеников Эрмита, знаменитый математик Анри Пуанкаре, заметил, что мозг Эрмита работал необычным образом: «Назвать Эрмита логиком! Ничто, на мой взгляд, не лежит дальше от истины. Создавалось впечатление, что методы возникают у него в голове каким-то непостижимым образом». При доказательстве трансцендентности числа e это сослужило Эрмиту добрую службу. Доказательство представляло собой развитое обобщение данного Ламбертом доказательства иррациональности числа π. В нем также использовался анализ; предлагалось вычислить некий интеграл двумя способами; и если бы e было алгебраическим, то два полученных ответа не совпадали бы: один равнялся бы нулю, а другой нет. Трудный шаг состоял в том, чтобы найти, какой именно интеграл надо вычислить.

Доказательство как таковое занимает около двух печатных страниц. Но что это за чудесные страницы! Можно было бы искать всю жизнь и не найти правильный интеграл.

Число e, по крайней мере, представляет собой «естественный» объект в математических исследованиях. Оно присутствует в математике повсеместно, и оно жизненно важно, в особенности в комплексном анализе и в теории дифференциальных уравнений. Хотя Эрмит и не продавил задачу о числе π, он по крайней мере продвинулся вперед по сравнению с достаточно искусственным примером Лиувилля. Теперь математики знали, что вполне обыденные математические операции естественным образом приводят к числам, которые оказываются трансцендентными. Один из последователей Эрмита вскоре использовал его идеи, чтобы доказать, что среди этих чисел есть и число π.

Карл Луис Фердинанд фон Линдеманн родился в 1852 году в семье филолога Фердинанда Линдеманна и дочери директора школы Эмили Крузиус. Фердинанд переходил с одного места работы на другое и, в частности, побывал директором газового завода.

Как и многие студенты в Германии в конце девятнадцатого столетия, Линдеманн-младший переезжал из одного университета в другой — из Геттингена в Эрланген, оттуда в Мюнхен. В Эрлангене он защитил диссертацию по неэвклидовой геометрии под руководством Феликса Клейна. Он путешествовал за границу, в Оксфорд и Кембридж, а затем в Париж, где познакомился с Эрмитом. В 1879 году, защитив диссертацию, дающую право преподавать в высшем учебном заведении, он стал профессором в университете Фрайбурга. Четыре года спустя он перебрался в Кенигсбергский университет, где встретил свою будущую жену Элизабет Кюсснер — дочь преподавателя, игравшую в театре. Десять лет спустя он стал полным профессором в Мюнхенском университете.

В 1882 году, на полпути между поездкой в Париж и своим назначением в Кенигсберг, Линдеманн понял, как распространить метод Эрмита на доказательство трансцендентности числа π. Именно это и принесло ему славу. Некоторые историки полагают, что Линдеманну просто повезло — что он просто случайно наткнулся на правильное обобщение блестящей идеи Эрмита. Но, как однажды заметил гольфист Гари Плеер, «чем лучше я играю, тем больше мне везет». Так же, по-видимому, обстояло дело и с Линдеманном. Если могло повезти кому-то, то почему не повезло Эрмиту? Позднее Линдеманн обратился к математической физике, занявшись исследованиями электрона. Наиболее известным из его учеников был Давид Гильберт.

Данное Линдеманном доказательство трансцендентности числа π опиралось на метод, впервые использованный Ламбертом и развитый Эрмитом: придумать подходящий интеграл, вычислить его двумя способами и показать, что если число π алгебраическое, то ответы не согласуются. Интеграл был очень тесно связан с тем, который использовал Эрмит, только еще более сложному. Связь между e и π выражалась в прекрасном соотношении, открытом Эйлером. Если бы π было алгебраическим, то e приобрело бы некоторые новые неожиданные свойства — похожие на свойства алгебраических чисел, но все же отличающиеся от них. Ядро доказательства Линдеманна относилось к числу e, а не к π.

С появлением доказательства Линдеманна эта глава математики пришла к своему первому действительно важному выводу. Невозможность квадратуры круга оказалась не более чем побочным эффектом. Гораздо важнее для математиков было понять, почему так происходит. Теперь они могли двигаться вперед и развивать теорию трансцендентных чисел, которая сегодня представляет собой активную (и дьявольски сложную) область исследований. Даже наиболее очевидные и на вид правдоподобные гипотезы о трансцендентных числах остаются по большей части недоказанными.

Вооруженные достижениями Абеля и Галуа, мы можем вернуться к задаче о построении правильных многоугольников. Для каких чисел n можно построить правильный n-угольник циркулем и линейкой? Ответ на этот вопрос весьма необычен.

В Disquisitiones Arithmeticae Гаусс сформулировал необходимые и достаточные условия на целое число n, но доказал только их достаточность. По его утверждению, у него было доказательство, что те же условия являются и необходимыми, но, как и большая часть его результатов, оно осталось неопубликованным. Гаусс в действительности выполнил сложную часть работы, а Ванцель привел недостающие подробности в своей статье 1837 года.

Чтобы лучше понять данный Гауссом ответ, рассмотрим правильный 17-угольник. Что есть такого в числе 17, что позволяет построить правильный многоугольник с 17 сторонами? Почему это невозможно, скажем, для чисел 11 или 13? Заметим, что все эти три числа — простые. Легко показать, что если правильный n-угольник допускает построение, то можно построить правильный p-угольник для каждого простого числа p, на которое делится n. Надо просто взять каждый ⁿ/_p-угол. Например, если взять каждую третью вершину в правильном 15-угольнике, получим правильный 5-угольник. Так что имеет смысл рассматривать простое число сторон, а затем получить полное решение, используя результаты для простых чисел.

Число 17 простое, что для начала уже неплохо. Выполненный Гауссом анализ, переформулированный в более современных терминах, основан на том факте, что решения уравнения x¹⁷ − 1 = 0 образуют вершины правильного 17-угольника на комплексной плоскости. У этого уравнения имеется один очевидный корень x = 1. Остальные 16 — это корни многочлена 16-й степени, и можно показать, что этот многочлен есть x¹⁶ + x¹⁵ + x¹⁴ + … + x² + x + 1. 17-угольник строится путем решения цепочки квадратных уравнений, а это оказывается возможным потому, что 16 есть степень числа 2: 16 = 2⁴.

Аналогично в более общем случае аргументы того же типа показывают, что когда p — нечетное простое число, правильный p-угольник допускает построение, если и только если p − 1 есть степень числа 2. Такие нечетные простые числа называются (простыми) числами Ферма, потому что Ферма первым взялся их исследовать. Грекам было известно о построении правильного 3-угольника и правильного 5-угольника. Заметим, что 3 − 1 = 2 и 5 − 1 = 4 суть степени числа 2. Результаты греков, таким образом, согласуются с критерием Гаусса, а 3 и 5 — первые два из чисел Ферма. С другой стороны, 7 − 1 = 6, что не есть степень двойки, так что правильный 7-угольник не допускает построения циркулем и линейкой.

Затратив еще немного труда, можно получить характеризацию Гаусса: правильный n-угольник допускает построение, если, и только если, n является степенью двойки или же степенью двойки, умноженной на различные простые числа Ферма.

Остается выяснить, каковы же числа Ферма. Следующим после 3 и 5 идет Гауссово 17. Следующее — 257, а за ним — уже довольно большое число 65 537. Это единственные известные простые числа Ферма. Никто не доказал, что дальнейшие числа Ферма существуют — но никто не доказал и того, что их нет. Насколько нам известно на данный момент, может существовать абсолютно гигантское простое число Ферма, пока не известное человечеству. Согласно знаниям, имеющимся на сегодняшний день, это число составляет по меньшей мере 2^33554432 + 1, и этот монстр и в самом деле может оказаться следующим простым числом Ферма. (Показатель степени 33 554 432 сам есть степень числа 2, а именно 225. Все числа Ферма на единицу превосходят двойку, возведенную в степень, являющуюся степенью двойки.) Это число имеет более десяти миллионов знаков. Даже после сделанных Гауссом великих открытий мы все равно не знаем в точности, какие именно правильные многоугольники можно построить, но единственным пробелом в наших знаниях остается вопрос о существовании очень больших чисел Ферма.

Гаусс доказал, что правильный 17-угольник допускает построение, но в действительности не дал описания самого построения, хотя и заметил, что основной шаг состоит в построении отрезка, длина которого равна

Поскольку квадратные корни можно построить всегда, искомое построение скрыто в этом замечательном числе. Первое явное построение осуществил Ульрих фон Югэнен в 1803 году. В 1893 году Герберт Уильям Ричмонд нашел более простой вариант.

В 1832 году Ф. Ж. Ришло опубликовал ряд статей о построении правильного 257-угольника под заголовком De resolutione algebraica aequationis x²⁵⁷ = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata, который сам уже производит не меньшее впечатление, чем число сторон его многоугольника.

Имеется апокрифическая байка о том, как сверхстарательному аспиранту было предложено построить в своей диссертации 65 537-угольник, после чего тот появился вновь лишь двадцать лет спустя. Реальность почти столь же курьезна: Ж. Эрмес из Лингенского университета посвятил этой задаче десять лет, закончив ее в 1894 году; его неопубликованная работа хранится в Геттингенском университете. К сожалению, Джон Хортон Конуэй — быть может, единственный из математиков нашего времени, когда-либо взглянувший на эти документы, — сомневается, что там все верно.